山东省青岛市2025-2026学年高三上学期部分学生1月调研检测数学试题及答案

2026年高三年级部分学生调研检测

数学试题2026.01

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知z(1+i)=2,则|z|=

A.√2B.2C.2√2D.4

2.已知x,y为实数，则“x>y”是“x>y|”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数则f(log₂7)=

B.C.D.

4.已知圆台的上、下底面半径分别为1,2,侧面积为6π,则这个圆台的体积为

B.2√3πD.

5.过点(0,-2)与圆x²+y²-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则cosa=

B.D.·

6.设集合中最大元素与最小元素分别为m,n,则m-n=

A.2B.3C.4D.5

7.已知实数x,y满足x²⁰25+2026x=1,y²025+2026y=-1,则x+y=

A.-1B.0C.1D.2

8.已知椭圆C的左、右焦点分别为F₁,F₂,上顶点为B,直线BF₂与C相交于另一点A,当

△F₁AB为等腰三角形时，C的离心率为

B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知函数在区间[0,π]上有且只有三个零点，则

A.π是f(x)的一个周期B.f(x)的最大值为1

C.w的取值范围是D.f(x)有两个极大值点

10.已知抛物线C:y²=3x的焦点为F,圆D与C有且只有一个公共点M,圆D与x轴相

切于点F,点N在圆D上，且MN与x轴平行，则

A.|FMHFN|B.|FM>|MN|

C.|FM|=1D.圆D的半径为

11.已知函数f(x)的定义域为{x|x>0},f(x)是单调函数，f(x)>0,且

x²f(y)-y²f(x)≤(x³-y³)f(x)f(y),则

A.f(x)的图象关于直线y=x对称B.f(1)=1

C.f(x)在(0,+∞)上单调递减

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为

13.已知2sinθ+cosθ=1,θ∈(0,π),则tanθ=·

14.已知正n边形A₁A₂…Aₙ(n为偶数)内接于单位圆O,且满足|OA₁+OA₁≤√3(i=1,2,…,n)

的顶点A共有n-3个，若正三角形MNP的顶点M,N在圆O上，则|的最大值

为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

在△ABC中，已知D为边BC上一点，∠C=2∠B,∠B=2∠BAD.

(1)证明：

(2)若AB+AC=AB·AC,求BD.

16.(15分)

已知双曲线的焦距为4,焦点到渐近线的距离为√3,过左焦

点F的直线I交C于A,B两点.

(1)求C的方程；

(2)若1与坐标轴均不垂直，线段AB的垂直平分线交x轴于点M,求的值.

17.(15分)

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°,AC=4,BC=2,AA₁=6,点P在

线段B₁C₁上运动(包含端点),点Q为AC的中点，设平面PBQ与平面A₁B₁C₁的交线为1.

(1)证明：I//平面ABC;

(2)若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为,求B₁P;

(3)求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值.

数学试题第3页共4页

18.(17分)

设函数f(x)=xlnx+ax,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3.

(1)求a的值；

(2)设函数

(i)讨论g(x)极值点的个数；

(ii)若g(x)≤1,求b的最小值.

19.(17分)

已知数列a,a₂,…,an(n≥3)满足如下条件：

①a₁∈N,i=1,2,…,n;

②0=a₁<a₂<…<an;

③存在正整数i(2≤i≤n),使得a,=2026;

④对任意正整数i,j,k满足1≤i<j<k≤n,都有a,+a≤2a,.

(1)若n=3,求a₃的最大值；

(2)设n的最大值为m,求m的值；

(3)当n取最大值m时，求am的最小值.

数学试题第4页共4页

2026年高三年级部分学生调研检测

数学试题2026.01

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知z(1+i)=2,则|z|=

A.√2B.2C.2√2D.4

2.已知x,y为实数，则“x>y”是“x>|y|”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函则f(log₂7)=

A.B.CD.

4.已知圆台的上、下底面半径分别为1,2,侧面积为6π,则这个圆台的体积为

C

AB.2√3πD.

5.过点(0,-2)与圆x²+y²-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则cosa=

A.B.CD.

6.设集合中最大元素与最小元素分别为m,n,则m-n=

A.2B.3C.4D.5

7.已知实数x,y满足x²⁰2⁵+2026x=1,y²025+2026y=-1,则x+y=

A.-1B.0C.1D.2

8.已知椭圆C的左、右焦点分别为F,F₂,上顶点为B,直线BF₂与C相交于另一点当

△F₁AB为等腰三角形时，C的离心率为

ABCD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知函区间[0,π]上有且只有三个零点，则

A.π是f(x)的一个周期B.f(x)的最大值为1

C.w的取值范围；D.f(x)有两个极大值点

10.已知抛物线C:y²=3x的焦点为F,圆D与C有且只有一个公共点M,圆D与x轴相

切于点F,点N在圆D上，且MN与x轴平行，则

A.|FMHFN|B.|FMMN|

C.|FM|=1D.圆D的半径为

11.已知函数f(x)的定义域为{x|x>0},f(x)是单调函数，f(x)>0,且

x²f()-y²f(x)≤(x³-y³)f(x)f(y),则

A.f(x)的图象关于直线y=x对称B.f(1)=1

C.f(x)在(0,+∞)上单调递减D

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为

13.已知2sinθ+cosθ=1,θ∈(0,π),则tanθ=.

14.已知正n边形A₁A₂…A,(n为偶数)内接于单位圆0,且满足|OA₁+OA≤√3(i=1,2,…,n)

的顶点A,共有n-3个，若正三角形MNP的顶点M,N在圆O上，则|的最大值

为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

在△ABC中、已知D为边BC上一点，∠C=2∠B,∠B=2∠BAD.

(1)证明：

(2)若AB+AC=AB·AC,求BD.

16.(15分)

已知双曲线)的焦距为4,焦点到渐近线的距离为√3,过左焦

点F的直线1交C于A,B两点.

(1)求C的方程；

(2)若1与坐标轴均不垂直，线段AB的垂直平分线交x轴于点M,求的值.

17.(15分)

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°,AC=4,BC=2,AA₁=6,点P在

线段B₁C₁上运动(包含端点),点Q为AC的中点，设平面PBQ与平面AB₁C₁的交线为1.

(1)证明：1//平面ABC;

(2)若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为,求B₁P;

(3)求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值.

18.(17分)

设函数f(x)=xlnx+ax,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3.

(1)求a的值；

(2)设函

(i)讨论g(x)极值点的个数；

(ii)若g(x)≤1,求b的最小值.

19.(17分)

已知数列a,a₂,…,a,(n≥3)满足如下条件：

①a,∈N,i=1,2,…,n;

②0=a₁<a₂<…<an;

③存在正整数(2≤i≤n),使得a₁=2026;

④对任意正整数i,j,k满足1≤i<j<k≤n,都有a₁+ak≤2a.

(1)若n=3,求a₃的最大值；

(2)设n的最大值为m,求m的值；

(3)当n取最大值m时，求am的最小值.

2026年高三年级部分学生调研检测

参考答案及评分标准

一、单项迭择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、

1-8:ABCADBBD

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

10.ACD11.人BC

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.8;13.14.24

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(13分)

解：(1)设∠B=θ、则∠C=20.

。

在△4BD屮、出正弦定理得…………3分

(2)由题可知·………………-……7分

在△ABC屮，由正弦定理得，

所以………10分

所以.所以AB=1+2cosθ.

又因为,所以BD=1……………13分

16.(15分)

解：(1)由题可知12c=4.c=2,取焦点(2,0).共到渐近线的距离为

……………3分

故a²=c²-b²=4-3=1.

………………5分

所以C的方程为

数学评分标准第1页(共5页)

(2)山题知直线B斜串存在，设其方程为y=k(x+2)(k≠0,k≠±√3).

A(x₁,y),B(x.y₂),线段AB的中点为(xa,y%),联立方程得

(3-k²)x²-4k²x-4k²-3=0.△=36(1+k²)>0恒成立.

…………8分

所以……11分

线段AB的中垂线方程为.当y=0时。xu=ky%+x,

所以|FMHxμ+2月1

………14分

…---………·15分

17.(15分)

解：(1)因为三棱柱ABC4B₁C,为直三棱柱，所以平面ABC//平面4B₁C.

文因为平面PBO平面AB₁C₁=1.且平面PBON平面ABC=BQ.

所以1//BQ.

又因为BQc平面ABC,1c平面·ABC.

所以1//平面ABC…3分

(2)方法一：综合法

过点P向BC作垂线，记垂足为M,连接QM.因为PMI/CC.所以PM⊥平面ABC.

故QM为PQ在平面ABC内的射影、∠PQM为直线PQ与平面ABC所成的角…·6分

在直角三角形POM中，

所以PM=6、QM=√3,

又因为三角形BCQ是边长为2的等边三角形、所以M为BC的中点，即P为B₁C₁的中点

故B₁P=|………………8分

方法二：向量法

数学汗分标准第2页(共5页)

建立如图所示的空间直角坐标系，设直线PQ与平面ABC的所成角为θ,则：

Q1.v3.0),设P(a,0.6).(0≤a≤2),则PQ=(1-a.√3.-6).

平而ABC的一个法向量n=(0.0.1).

解得a=1.即P为B₁C,的中点。所以B₁P=1………………8分

(3)过点P作PN/BQ.则梯形BQNP为平面PBQ与直三校庄的裁面图形、

BQ=(1.√3,0).BP=(a,0.6).

因为△C,NP相似于△CQB.

所以NP=2-a………11分

点P到BQ的距离

……………14分

=3(a-4)(a²-2a+24)<0恒成立，故y=f(a)在[0,2]上单调逆减。

故当a=0时，f(a)大，此时截面面积有最大值12,

当P在C时，截面为△C₁OM,其面积为√39.

所以，平面PBQ被直三校柱所得的截面面积的最大值为12…………15分

18.(17分)

解：(1)山题得f'(x)=Inx+1+a.(1)=1+a=3,所以a=2……·3分

(2)(i),则g'(x)=Inx+3-bx².

数学评分标准第3页(共5页)

令M(x)=Lnx+3-b².x∈(0,+∞),

l(x)在上大于0,在)上小于0,

故y=h(x)在((上单调递增、在上单调递政.

………6分

①当时，,故g'(x)s0在(0,+∞)上恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上递

调递减，此时g(x)无极值点，

②当时，

令φ(x)=Inx-x+Lx>0,

J=φ(x)在(0,1)上大于0,在(l,+∞)上小于0,

故φ(x)=φ(1)=0.故有Inz≤x-1,故h(x)≤-bx²+x+2.

时，h(x)<0;

又因为时，h(K)<0;

故h(x)在(0,和上各有一个零点。共有两个零点.

此时g(x)有两个极值点

综上所述，当时，g(x)有两个极值点；当时、g(x)无投值点………9分

(ü)由1得b≥3………………12分

下面证明b=3符合要求

当b=3时，

当0<x<1时，m²(x)>0;当x>1时，m′(x)<0.

所以m(x)在(0,1)上单调递增，在(I,+co)上单叫递减……………·15分

所以m(x)≤m(1)=0,即g(x)≤1恒成立，

数学讦分标准第4页(共5页)

因此b=3会熙意，

综上所述，b的最小值为3……--17分

19.(17分)

解：(1)若n=3,当a,=2026时，则只需q+a,≤2a,即

当a=2026时，则只需q+a,≤2a,