1.3 空间向量及其运算的坐标表示解析版

1.3空间向量及其运算的坐标表示【考点梳理】考点一：空间直角坐标系1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．考点二：空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．考点三：空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．考点四：空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3考点五：空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).考点六：空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【题型归纳】题型一：空间向量的正交分解问题1．（2024秋·高二课时练习）已知向量a,b,c是空间的一个基底，向量a+b,a−b,c是空间的另一个基底，一向量A．−12,32,3 B．3【答案】A【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果．【详解】向量p在基底a,b,c下的坐标为设p在基底a+b,则p=x所以x+y=1x−y=−2z=3，解得故p在基底a+b,故选：A．2．（2023·全国·高二专题练习）在空间直角坐标系中，已知A0,1,0，B3,2,2，点D满足AD=2AB，则点A．5,4,3 B．3,4,3C．6,3,4 D．1,2,3【答案】C【分析】设Dx,y,z，根据AD=2AB【详解】设Dx,y,z，则AD由AD=2AB得x=6y−1=2故选：C.3．（2022秋·安徽安庆·高二校考阶段练习）已知空间三点O0,0,0，A−1,1,0，B0,1,1，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点HA．12,−12,0 B．−1【答案】B【分析】根据空间向量的坐标表示与线性运算得到BH→【详解】由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），∴OA→且点H在直线OA上，可设H（﹣λ，λ，0），则BH→又BH⊥OA，∴BH→•OA即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣1＝0，解得λ=1∴点H（−12，故选B．【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，注意共线向量的坐标表示，是基础题．题型二：空间向量的坐标运算问题4．（2023春·四川内江·高二四川省资中县第二中学校考期中）已知A(1,2,−1)，B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则BC=（

A．(−2,0,−2) B．(2,0,2) C．(−1,0,−1) D．(0,−2,−2)【答案】A【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系对称的特点求出点B,C坐标作答.【详解】点A(1,2,−1)，则A关于平面xOy的对称点B(1,2,1)，点B关于y轴的对称点C(−1,2,−1)，所以BC=(−2,0,−2)故选：A5．（2023春·福建莆田·高二校考期中）已知向量a=(1,−2,1),a+b=(−1,2,−1),A．(2,−4,2) B．(−2,4,−2)C．(−2,0,−2) D．(2,1,−3)【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算求解.【详解】由题可得b=故选:B.6．（2023·全国·高二专题练习）已知点A2,4,0、B1,3,3，且满足2AQ=QBA．113,53,1 B．53【答案】B【分析】设点Qx,y,z，根据空间向量的坐标运算可求得点Q【详解】设点Qx,y,z，由2AQ=所以，2x−2=1−x2y−4=3−y故选：B.题型三：空间向量的模长的坐标问题7．（2023秋·高二课时练习）已知空间向量a=2,−2,1,b=A．1093,0,4 C．1092,−2,1 【答案】C【分析】根据投影向量的定义结合空间向量的坐标运算求解即可.【详解】空间向量a所以向量b在向量a上的投影向量为bcos故选：C.8．（2023春·福建漳州·高二统考期末）已知空间向量a=1,−3,2,b=1,1,t，若A．5 B．17 C．26 D．14【答案】C【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列式求出t=1，再根据空间向量的线性运算和模长公式可求出结果.【详解】因为a⊥b，所以1×1−3×1+2t=0，得t=1，所以a−2b=所以a−2b=故选：C9．（2023秋·高二课时练习）在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，E在棱PD上，F在直线CE上，则AF的最小值是（

）A．433 B．463 C．【答案】D【分析】以O为原点，分别以OC，OD，OP的方向为x轴、y轴和z轴轴的正方向建立的空间直角坐标系，设PE=λPD=0,2λ,−2λ和【详解】如图所以，连接AC，BD，记AC∩BD=O，连接OP，由正四棱锥的性质可知OC，OD，OP两两垂直，则以O为原点，分别以OC，OD，OP的方向为x轴、y轴和z轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA=AB=2，所以A−2,0,0，C2,0,0则CA=−22设PE=λPD=从而CE=故点A到直线CE的距离d=C即AF的最小值是26故选：D.题型四：空间向量的平行的坐标表示问题10．（2023春·云南保山·高二统考期中）已知两个向量a=2,−1,2，b=6,m,n，且a∥A．1 B．3 C．5 D．9【答案】B【分析】根据空间向量的平行，列出比例式，求得m,n，即得答案.【详解】由题意a=2,−1,2，b=故62故m+n=3，故选：B11．（2022秋·北京东城·高二东直门中学校考期中）已知向量a=x,2,4,b=A．−1 B．−3 C．−152 【答案】C【分析】根据平行可设b=ma+【详解】a+因为a+c//b，所以可设故mx+1=3y=m故x+y=−7−1故选：C12．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考期末）设x、y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=3,−6,3且a⊥A．22 B．23 C．4 【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x、y的值，求出向量a+【详解】因为a⊥c，则a⋅c=3x−6+3=0因为b//c，则13=y所以，a+b=故选：D.题型五：空间向量的垂直的坐标表示问题13．（2023·上海·高二专题练习）空间中有四点A，B，C，D，其中AB=(2m,m,2)，CD=(m,m+1,−5)，且AB+CD=A．平行 B．异面 C．必定相交 D．必定垂直【答案】D【分析】利用向量坐标运算、向量垂直与数量积的关系即可得出．【详解】因为AB=(2m,m,2)，CD=(m,m+1,−5)，且所以(3m,2m+1,−3)=5,所以3m=52m+1=133所以AB=103所以AB⋅所以AB⊥所以直线AB和CD必定垂直，故选：D14．（2023·全国·高二专题练习）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别在棱AAA．14 B．12 C．3【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，设E、F坐标，根据C1E⊥EF得出E、【详解】如图所示，以C1为中心建立空间直角坐标系，设E则C1E=AF=2−y=2x−x2故选：B15．（2023春·广西梧州·高二苍梧中学校考阶段练习）设x，y，z∈R，向量a=(x，1，1)，b=1，y，z，A．57 B．36 C．3 D．9【答案】A【分析】根据空间向量平行垂直条件求出参数，再根据模长公式计算即可.【详解】∵a⊥c，∴2x−4+2=0，即x=1，∵b//c，∴∴a=(1,1,1),b=(1,−2,1)，∴a故选：A题型六：空间向量的夹角余弦的坐标问题16．（2023春·福建厦门·高二统考期末）把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，O，E，F分别为AC，AD，BC的中点，则折纸后∠EOF的大小为（

）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】C【分析】依题意画出图形，连接BO，DO，由面面垂直的性质BO⊥平面ADC，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】折起后的图形如下所示，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，又平面ABC⊥平面ADC，平面ABC∩平面ADC=AC，BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面ADC，∴OD，OC，OB三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标：O0,0,0，A0,−1,0，D1,0,0，E12,−1∴OE→=1∴cosOE→,∴OE→,OF故选：C

17．（2023秋·全国·高二期中）设空间两个单位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p与向量OC=A．π6 B．π4 C．π3【答案】C【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列方程组求得n=m=p=22，再由【详解】由题意可得m2+n2=1又cos<OA,OB>=所以<OA故选：C18．（2023秋·高二单元测试）设空间两个单位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p与向量OC=A．2−34 C．2−34或2+34 【答案】C【分析】首先根据OA为单位向量得到m2+n2=1，再利用OA与OC的夹角等于π4，得【详解】∵空间两个单位向量OA=m,n,0，OB=0,n,p与向量∴∠AOC=∠BOC=π4，∵OA又OA⋅OC=m+n又OA为单位向量，∴m联立m+n=62m2+∵OA=m,n,0，∴cos故选：C.题型七：空间向量的坐标运算的综合问题19．（2023秋·福建三明·高二三明一中）已知a=3,2,−1，(1)求a+(2)当ka+b【答案】(1)−10(2)k=32【分析】（1）根据数量积得运算律结合数量积的坐标公式计算即可；（2）由ka+b【详解】（1）已知a=3,2,−1，则a2=14，b2所以a+（2）因为ka所以ka解得k=32或20．（2024秋·高二课时练习）如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB=a，SD=b．(1)求EF；(2)求cosAG【答案】(1)4(2)2a【分析】（1）构建空间直角坐标系并确定相关点的坐标，求得EF的坐标，应用向量模长的坐标运算求EF；（2）由（1）得AG、BC的坐标，利用向量夹角的坐标表示求cosAG【详解】（1）以D为原点，分别以射线DA､DC､DS为x轴､y轴､z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.则Aa,0,0，Ba,a,0，C0,a,0，Ea,a所以EF=−a,0,b（2）由（1）知AG=−a,0,b所以cosAG21．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1

(1)试建立空间直角坐标系，并写出点D，G的坐标；(2)求∠DGF的余弦值．【答案】(1)D(0,−1,1)，(2)45【分析】（1）根据已知条件得到三条线两两垂直建系写出坐标即可;（2）根据空间两点间距离公式求出距离,再在三角形中应用余弦定理即得.【详解】（1）因为EF//CC1，CC1⊥平面ABC

又EC⊂平面ABC，BE⊂平面ABC，所以EF⊥EC，EF⊥BE．又AB=BC，所以BE⊥EC，所以直线EB，EC，EF两两垂直，以E为坐标原点，以EB，EC，EF为轴建立如图所示的空间直角坐标系．易得，AE=AD=BG=1，EB=A所以点D、G的坐标分别为D(0,−1,1)，（2）因为F(0,0,2)，所以DF=(0−0)2+在△DGF中，cos∠DGF=即∠DGF的余弦值为45【双基达标】一、单选题22．（2024秋·高二课前预习）已知向量a=(1,2,3),b=(−1,0,1)，则aA．(−1,2,5) B．(−1,4,5) C．(1,2,5) D．(1,4,5)【答案】A【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案.【详解】a+2故选：A23．（2023秋·高二课时练习）若向量a=2,2,3,b=A．5 B．8C．10 D．12【答案】C【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，b+c=故选：C24．（2023秋·高二课时练习）已知直线l1的一个方向向量a=2,4,x，直线l2的一个方向向量b=2,y,2，若a=6A．-3或1 B．3或−1C．-3 D．1【答案】A【分析】根据空间向量的模的坐标表示结合a=6即可求得x的值，再根据a⋅b【详解】因为a=22+42+所以a⋅b=2×2+4y+2x=0所以当x=4时，y=−3，则x+y=1，当x=−4时，y=1所以x+y=−3或1.故选：A.25．（2023秋·高二单元测试）已知a=cosα,1,sinα，b=sinα,1,cosα，且A．90° B．60° C．30° D．0°【答案】A【分析】根据题意分析可得：a=【详解】因为a=cos2可得a+b⋅所以向量a+b与a−故选：A.26．（2023·全国·高二专题练习）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4

(1)求线段FG的长度；(2)求CG⋅【答案】(1)21(2)6【分析】（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出FG即可；（2）根据空间向量数量积的坐标表示即可得解.【详解】（1）如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则F1,4,0,G0,2,4所以FG=即线段FG的长度为21；（2）C2,0,2则CG=所以CG⋅

27．（2023·全国·高二专题练习）已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB，(1)设|c|=3，c∥(2)求a与b的夹角；(3)若ka+b与k【答案】(1)c=(−2,−1,2)或(2)π(3)k=2或k=−【分析】（1）由空间向量平行，得出c=kBC，设c=−2k,−k,2k，再利用（2）先求得a=1,1,0，b=（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于k的方程，解之即可求得k的值．【详解】（1）由题可知，BC=(−2,−1,2)由c∥BC，得c=k因为|c所以(−2k)2+(−k)所以c=(−2,−1,2)或c（2）因为A(−2,0,2)、B(−1,1,2)、C(−3,0,4)，a=AB，所以a=(1,1,0)，b则cos<所以a与b的夹角为π−（3）因为ka+b又ka+b所以ka解得k=−52或【高分突破】一：单选题28．（2023春·福建福州·高二校考期末）已知点A1,2,1，B4,11,4，D1,2,1，若点P满足AP=2PBA．11 B．57 C．211 D．【答案】C【分析】利用空间向量的坐标运算求出点P的坐标，求出PD的坐标，利用空间向量的模长公式可求得PD的值.【详解】已知点A1,2,1，B4,11,4，设点Px,y,z，由AP=2PB所以，x−1=24−xy−2=211−yz−1=24−z所以，PD=因此，PD=故选：C.29．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）已知向量OA=(2,−2,3)，向量OB=(x,1−y,4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为0,32,−A．(−2,−4,−1) B．(−2,−4,1)C．(−2,4,−1) D．(2,−4,−1)【答案】A【分析】根据题意画出图形，利用中点坐标公式列出方程组，求解即可.【详解】根据题意画出图形，如图：因为向量OA=(2,−2,3)，向量OB且平行四边形OACB对角线的中点坐标为0,3所以A(2,−2,3)，B(x,1−y,4z)，所以2+x2=0−2+(1−y)所以(x,y,z)=(−2,−4,−1).故选：A30．（2023·全国·高二专题练习）已知向量m=2,−4x,1是平面α的法向量，n=6,12,−3y是直线l的方向向量，若l⊥α，则A．−4 B．4 C．−2 D．2【答案】C【分析】由l⊥α可得m//【详解】因为l⊥α，故m//n，故则2,−4x,1=λ6,12,−3y，解得：则x+y=−2.故选：C.31．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在BD上，点

A．1 B．22 C．33 【答案】C【分析】以D为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，设Ea,a,0，0≤a≤1，Fb,1,b，【详解】以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则可设Ea,a,0，其中0≤a≤1，Fb,1,b，其中根据图中可知直线BD和直线B1若能取到两异面直线间的距离，则此时EF距离最小，根据异面直线公垂线的定义知EF⊥BD，EF⊥BEF=b−a,1−a,b，DB=1,1,0，B1则EF⋅BD=b−a+1−a=0解得a=23b=则此时EF=a−b则EF故选：C.

32．（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=1A．32 B．1 C．34 【答案】A【分析】以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后得出AC1和【详解】如图，由已知可得，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系.则A0,0,0，B0,1,0，B10,1,1，C1,0,0所以AC1=所以AC故选：A.33．（2023·全国·高二专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a，其中0<a<22．则MN的长的最小值为（

A．2 B．22 C．32 【答案】A【分析】根据面面垂直性质可证得BC⊥平面ABEF，则以B为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出MN；将MN整理为a−2【详解】∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ABEF，则以B为坐标原点，BA,BE,则A2,0,0，C0,0,2，F2,2,0∵CM=BN=a，∴Ma2,0,2−∴MN=2则MN=a∴当a=2时，MN最小，最小值为2故选：A.二、多选题34．（2023春·福建泉州·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系中，已知O0,0,0，OA=−1,2,1，OB=−1,2,−1A．ABB．AC与BC夹角余弦值为35C．与OA平行的单位向量的坐标为66,−D．OA在OB方向上的投影向量的坐标为−【答案】ABC【分析】A选项先算出AB,BC，然后根据向量的数量积计算AB⋅BC是否为0来判断；B选项先算出【详解】AB=OB−根据向量的数量积运算，AB⋅BC=0AC=OC−根据夹角公式，cosAC与OA平行的单位向量为：e=±OAOA=±(−1,2,1)根据投影向量的坐标公式，OA在OB方向上的投影向量的坐标为：OA⋅故选：ABC35．（2023春·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中）空间直角坐标系中，已知O0,0,0，OA=−1,2,1，OB=−1,2,−1A．ABB．△ABC是等腰直角三角形C．与OA平行的单位向量的坐标为66,−D．OA在OB方向上的投影向量的坐标为−【答案】AC【分析】本题考查空间向量的坐标运算，利用向量的加减法得出AB坐标，再利用向量的模长公式|AB|=(x1−x2)【详解】根据空间向量的线性运算，AB∴|ABAC∴|BC∴|计算可得，△ABC三条边不相等，选项B不正确；与OA平行的单位向量为：e选项C正确；OA在OB方向上的投影向量与OB向量共线，−2故选：AC.36．（2023秋·江西抚州·高二统考期末）如图，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P，使得GP⊥BP，则边CG长度的可能值为（

）A．2 B．22 C．4 D．【答案】CD【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，设CG=a,P（x,0,z），则x2=za【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设CG=a,Px,0,z，则x2=又B2,2,0所以BP=由PB⊥PG，得PB⋅显然x≠0且x≠2，则x∈0,2所以a2因为x∈0,2，所以2x−所以a2=16故选：CD.37．（2022秋·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，AD=AB=1A．A1M⊥MN B．MDC．△BNC面积的最大值为116 D．三棱锥C【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，设M,N坐标，由空间向量的坐标运算得参数关系，继而判断A，B，C，由等体积法转化后判断D．【详解】如图，

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，设AM=m（0<m<1），BN=n（则A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，D1(0,0,2)，M(1,m,0)，N(1,1,n)，D1选项A，由A1M=（0,m,−2)，所以A选项B，MD⋅MB1=m2选项C，由−m2+m−2n=0得n=−12m2+12m选项D，△A1C1D1面积是定值，M到平面A1故选：ACD三、填空题38．（2023春·甘肃白银·高二校考期中）已知a=1,1,0，b=−1,0,2，若向量ka+【答案】1或−1【分析】先求出ka+b【详解】由a=1,1,0，则ka+b又向量ka+b与a+kb则有k−1=λ1−kk=λ2=2λk，解得k=1故答案为：1或−1．39．（2023秋·全国·高二期中）已知a=−3,2,5，b=1,5,−1，则【答案】44【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求得正确答案.【详解】由于a+3所以a⋅故答案为：4440．（2023春·江苏南通·高二统考期中）已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E【答案】−【分析】建立空间直角坐标系，设Px,y,z，由正六边形的性质可知−【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，且AB=BC=CD=DE=EF=AF=1，

由正六边形的性质可得，A0,0,0设Px,y,z，其中−所以AB=1,0,0，所以AB⋅AP=x，所以AB故答案为：−141．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试）已知向量m=a,b,0，n=①向量n与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c，d无关)；②m⋅n的最大值为③m,n(m,④若定义u×v=u·其中正确的命题有．(写出所有正确命题的序号)【答案】①③④【分析】①取z轴的正方向单位向量a=0,0,1，求出a与②计算m⋅③利用数量积求出m,④根据定义求出m×【详解】①取z轴的正方向单位向量a=则cosn,a=n⋅a②m⋅当且仅当a=c，b=d时取等号，因此m⋅③由②可得m⋅n≤1∴cosm∴m,n的最大值为④由③可知：−2∴π4≤m,n综上可知，正确的命题序号是①③④．故答案为：①③④.四、解答题42．（2024秋·高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA(1)求M,N的距离；(2)求cosB【答案】(1)32(2)3010【分析】（1）以点C作为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为（2）利用向量夹角运算公式计算cosB【详解】（1）如图，以C为原点，分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系C−xyz，依题意得B0,1,0，N1,0,1，M(0,12∴MN=所以M,N的距离为32（2）依题意得A11,0,2，B0,1,0，C∴BA1=BA1⋅CB∴cosB43．（2022秋·甘肃·高二校联考期中）（1）求与向量a=(2,−1,2)共线且满足方程a⋅b（2）已知A(2,−1,2)，B(4,5,−1)，C(−2,2,3)，求点P的坐标使得AP=（3）已知a=(3,5,−4)，b=(2,1,8)，求：①a⋅b；②a与b夹角的余弦值；③确定λ、μ的值使