2.2直线的方程 （解析版）

2.2直线的方程【考点梳理】考点一：直线的点斜式方程和斜截式方程类别点斜式斜截式适用范围斜率存在已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y轴上的截距b图示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距考点二：直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)示意图方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1适用范围斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点考点三：直线的一般式方程关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.考点四：直线的五种形式的方程形式方程局限点斜式y－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直线斜截式y＝kx＋b不能表示斜率不存在的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0无考点五：直线各种形式方程的互化【题型归纳】题型一：与直线点斜式方程有关的问题1．（2023·全国·高二）过点且倾斜角为150°的直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解.【详解】依题意，直线l的斜率，故直线l的方程为，即，故选：B.2．（2023秋·高二课时练习）写出满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)经过点，斜率为3；(2)经过点，倾斜角是；(3)经过点，倾斜角是．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果；（2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可；（3）利用倾斜角是可得直线斜率为，代入点斜式方程求出结果；【详解】（1）由题意可知，将和斜率3直接代入直线点斜式方程可得，直线的点斜式方程为；（2）由倾斜角是可得直线斜率，将代入点斜式方程即为（3）由倾斜角是可得直线斜率，将代入点斜式方程即为3．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）的三个顶点为．求：(1)所在直线的方程；(2)边上的中线所在直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两点斜率公式以及点斜式即可求解，（2）根据中点坐标以及斜截式即可求解.【详解】（1）依题意，直线的斜率，所以直线的方程为，即.（2）由中点坐标公式可得中点坐标为，所以边上的中线所在直线的斜率为，故直线方程为题型二：直线的两点式方程有关问题4．（2023·全国·高二专题练习）过（1，2），（5，3）的直线方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线的两点式方程求解即可.【详解】因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为，即．故选：B5．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（

），A．条 B．条 C．条 D．无数条【答案】B【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得之间关系，根据为正整数可分析得到结果.【详解】均为正整数，可设直线，将代入直线方程得：，当时，，方程无解，，，，，或，或，即满足题意的直线方程有条.故选：B.6．（2023秋·高二课时练习）已知三个顶点的坐标为，，，求它的对角线AC，BD所在直线的方程.【答案】，【分析】利用平行四边形的性质求解对角线交点的坐标，然后求出直线斜率及直线方程.【详解】因为三个顶点的坐标为，，，设，因为AC和BD的中点重合，所以，解得，所以，所以对角线AC所在直线的斜率为，对角线BD所在直线的斜率为，所以对角线AC所在直线的方程为，即，对角线BD所在直线的方程为，即.题型三：直线的一般式方程问题7．（2023·全国·高二专题练习）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别令、得直线在y轴、x轴上的截距，再由在x轴的截距大于在y轴的截距可得答案.【详解】由已知，令得直线在y轴的截距为，令得直线在x轴的截距为，由直线在x轴的截距大于在y轴的截距可得，即.故选：D.8．（2023·全国·高二专题练习）设、是轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据直线PA的方程，确定出的倾斜角，利用且、在轴上，可得的倾斜角，求出的坐标，然后求出直线的方程．【详解】解：由于直线的方程为，故其倾斜角为，又，且、是轴上两点，故直线的倾斜角为，又当时，，即，直线的方程为，即．故选：A．9．（2023·全国·高二专题练习）以下关于直线的说法中，不正确的是（

）A．直线一定不经过原点B．直线一定不经过第三象限C．直线一定经过第二象限D．直线可表示经过点的所有直线【答案】B【分析】首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D，再分、、三种情况讨论，分别判断直线所过象限，即可判断B、C；【详解】对于直线，令，解得，故直线恒过点，一定不经过原点，故A正确；当时直线即为，直线过二、三象限，当时直线即为，若，则，，直线过一、二、三象限，若，则，，直线过二、三、四象限，所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；因为直线恒过点，所以直线可表示经过点的所有直线，故选：B题型四：由一般方程判断直线的平行问题10．（2023秋·高二）若直线与直线平行，则m的值为（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】B【分析】根据直线的平行可列出方程，求得m的值，验证直线是否重合，即得答案.【详解】由题意知直线与直线平行，而直线的斜率为，则直线必有斜率，即，则，故，解得或，当时，直线与直线重合，不合题意；当时，直线与直线平行，符合题意，故，故选：B11．（2022秋·湖南郴州·高二校考阶段练习）若点是直线：外一点，则方程表示（

）A．过点且与垂直的直线 B．过点且与平行的直线C．不过点且与垂直的直线 D．不过点且与平行的直线【答案】B【分析】由题意可推出，由此可判断直线与平行，将代入方程，看是否成立，判断直线是否过点P，可得答案.【详解】由题意可知点是直线：外一点，故且为常数，所以方程中，且为常数，则直线与平行，将代入中，即，即点P在该方程表示的直线上，故方程表示过点且与平行的直线，故选：B12．（2021秋·辽宁·高二期中）直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（

）A．与相交 B．与平行C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关【答案】B【分析】根据直线平行的充要条件判定即可.【详解】由：，可得，因为且，所以与平行故选：B题型五：由一般方程判断直线的垂直问题13．（2023·全国·高二专题练习）直线与直线垂直，则的值为（

）A． B．1 C． D．9【答案】B【分析】利用直线的一般式方程判定直线垂直的条件进行求解.【详解】由题意，得，解得.故选：B.14．（2023·全国·高二专题练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线与直线相互垂直，所以，所以.所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.故选：A【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.15．（2022秋·安徽马鞍山·高二校考期中）已知直线与直线分别过定点，B，且交于点，则的最大值是（

）A． B．5 C．8 D．10【答案】D【解析】先根据直线方程求出的坐标，再根据两条直线垂直得到，利用基本不等式可求的最大值.【详解】因为，故，因为，故，因为，故，故，因为，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故选：D.题型六：由直线平行或者垂直求直线方程16．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过平行可设直线l的方程为，再把点代入即可解得即可求出结果【详解】设与直线即平行的直线l的方程为，把点代入可得，解得．因此直线l的方程为故选：D17．（2023·全国·高二专题练习）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.【详解】设边上的高所在的直线为，由已知可得，，所以直线l的斜率.又过，所以的方程为，整理可得，.故选：A.18．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l的方程为，求直线的方程，使满足：(1)过点，且与l平行；(2)过点，且与l垂直；(3)与l垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4.【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据直线平行斜率满足的关系，结合经过的点即可求解，（2）根据直线垂直斜率满足的关系，结合经过的点即可求解，（3）根据直线垂直关系，可设直线的方程，根据面积即可求解.【详解】（1）方法一l的方程可化为，∴l的斜率为.∵与l平行，∴的斜率为.又过点，∴由点斜式得直线的方程为，即.方法二由与l平行，可设的方程为（），将代入得.∴所求直线方程为.方法三由与l平行，且过点，则的方程为，即.（2）方法一l的方程可化为，∴l的斜率为，由与l垂直，得的斜率为.又过点，∴由点斜式得直线的方程为，即.方法二由与l垂直，可设的方程为，将代入得.∴所求直线方程为.（3）方法一l的方程可化为，∴l的斜率为.∵，∴.设在y轴上的截距为b，则直线的方程为，令，可得在x轴上的截距为，由题意可知，围成的三角形面积，∴.∴直线的方程为或.即或.方法二由与l垂直，可设直线的方程为，则在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，由题意可知，围成的三角形面积，得.∴直线的方程为或.题型七：直线过定点问题19．（2023·全国·高二专题练习）无论取何实数时，直线恒过定点，则定点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将直线方程可化为，再解方程组即可.【详解】直线方程可化为，解方程组，得，即定点的坐标为.故选：A.20．（2023·全国·高二专题练习）当点到直线的距离取得最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解.【详解】将直线转化为，联立方程组，解得，所以直线经过定点，当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，此时，解得.故选：C.21．（2023·全国·高二专题练习）已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】由动直线的方程可得动点A，B的坐标，并且可得两条直线互相垂直，由勾股定理可得|CA|2+|CB|2的值，再由基本不等式可得|AC|+|BC|的最大值．【详解】对于直线过定点A（0，0），对于直线，即x+k（2+y）＝0，则，可得x＝，y＝﹣2，故定点B（，﹣2），直线与直线中，∵，∴l1⊥l2，∵l1与l2的交点为C，∴|CA|2+|CB|2＝|AB|2＝2+4＝6，∴≤（|CA|2+|CB|2）＝3，∴≤，∴|CA|+|CB|≤2，当且仅当|CA|＝|CB|时，|CA|+|CB|的最大值为2，故选：D．题型八：直线方程的综合性问题22．（2023秋·高二课时练习）写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式：(1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍；(2)经过两点，；(3)经过点，平行于x轴；(4)在x轴，y轴上的截距分别为，．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，求出所求直线的斜率，再利用直线点斜式求出方程作答.（4）根据给定条件，利用直线方程的截距式方程求解作答.【详解】（1）直线的斜率为，其倾斜角为，因此所求直线的倾斜角为，斜率为，所以所求直线的方程为，即.（2）直线的斜率，所以直线的方程为，即.（3）经过点，平行于x轴的直线斜率为0，所以经过点，平行于x轴的直线方程为.（4）在x轴，y轴上的截距分别为，的直线方程为，即.23．（2023秋·高二课时练习）已知直线，，分别求的取值范围，使得：(1)与相交；(2)；(3)与重合.【答案】(1)且(2)(3)【分析】（1）由题意可得，运算求解即可；（2）（3）由题意可得，运算求解并检验即可.【详解】（1）若与相交，等价于，即，解得且，所以当且时，与相交.（2）若，则，即，解得或，当时，，，即，符合题意；当时，，，即与重合，不合题意；综上所述：.（3）由（2）可得：.24．（2023秋·高二）如图，已知三角形的三个顶点为，，．

(1)求边所在直线的方程；(2)求边上的中线所在直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由直线两点式方程可整理得到边所在直线方程；（2）利用中点坐标公式求得中点坐标，由直线两点式方程可整理得到结果.【详解】（1），的直线的两点式方程为：，整理得：，即边所在直线方程为：.（2）中点的坐标为，过，的直线的两点式方程为：，整理得：，即边上的中线所在直线方程为：.【双基达标】一、单选题25．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可.【详解】解法一

当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为.故选：解法二

易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为，则时，，时，，由题意知，解得或，即直线方程为或.故选：26．（2023秋·湖南长沙·高二校考开学考试）直线，若，则实数的值为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．或1【答案】C【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】，即，解得或.故选：C.27．（2023秋·河北邯郸·高二武安市第三中学校考开学考试）若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】由点在直线上可知，结合均值不等式即可求解．【详解】因为直线过点，所以，由和都是正实数，所以，，．所以，当时取等号，即，时取等号，所以的最小值是.故选:B．28．（2023秋·江苏盐城·高二盐城中学校考阶段练习）已知过点和点的直线为l1，.若，则的值为（

）A． B．C．0 D．8【答案】A【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出的值.【详解】因为，所以，解得，又，所以，解得.所以.故选：A.29．（2023秋·高二课时练习）写出满足下列条件的直线的方程，并画图：(1)斜率是，经过点；(2)斜率为，在y轴上的截距为4；(3)经过点，；(4)在x轴，y轴上的截距分别是5，.【答案】(1)，图象见详解(2)，图象见详解(3)，图象见详解(4)，图象见详解【分析】（1）利用点斜式可得直线方程；（2）利用斜截式可得答案；（3）利用两点式可得答案；（4）利用截距式可得答案；【详解】（1）由点斜式得，即，所以直线方程为.其图象为：

（2）因为斜率为，在轴上的截距为4，所以，所以直线方程为.其图象为：

（3）由直线的两点式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为；其图象为：

（4）由截距式可得，直线方程为，即，所以直线方程为.其图象为：

30．（2023秋·高二课时练习）设直线的方程是，在下列条件下，分别求实数、、的取值范围.(1)与轴、轴均相交；(2)与轴相交，与轴不相交.【答案】(1)(2)，，【分析】（1）直线与轴、轴均相交，则斜率存在，且不为0.（2）与轴相交，与轴不相交，则与轴平行，且不重合.【详解】（1）当时，，斜率为存在，且，这时直线与两坐标轴都相交.（2）令，则，此时，当，，时，直线只与轴相交，与轴不相交.【高分突破】一、单选题31．（2023秋·高二课时练习）直线的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据直线的斜截式方程的特征得到直线的斜率，直线在y轴上的截距为（），再逐一判断各个选项即可求解.【详解】由直线，得：，直线的斜率，直线在y轴上的截距为，当时，，则直线经过第一象限和第三象限，且与轴相交于轴下方；当时，，则直线经过第二象限和第四象限，且与轴相交于轴上方；只有B选项的图象符合题意，故选：B.32．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的斜率与直线的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意设，则，解方程再结合题意可求出，即可得出答案.【详解】直线的斜率为，可设l的方程为.令，得，由题可知:，得，由于在第一象限与坐标轴围成三角形，所以，所以选C项．故选：C.33．（2023·全国·高二专题练习）已知直线，的倾斜角分别为，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用斜率与倾斜角的关系判定即可.【详解】由题意得，，所以为钝角，为锐角，所以．故选：A．34．（2023·全国·高二专题练习）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据直线的定点可得，进而可得，结合基本不等式运算求解.【详解】因为，则，令，解得，即直线恒过点.又因为点A也在直线上，则，可得，且，则，即，当且仅当时，等号成立所以的最大值为.故选：B.35．（2023·全国·高二专题练习）直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.【详解】直线过点.如图，

由题意，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范围是.故选：D.36．（2023秋·高二课时练习）已知三条直线为，则下列结论中正确的一个是（

）A．三条直线的倾斜角之和为B．三条直线在y轴上的截距满足C．三条直线的倾斜角满足D．三条直线在x轴上的截距之和为．【答案】C【分析】根据直线方程的斜率、倾斜角、截距的概念逐项判断即可.【详解】设三条直线的倾斜角，且则，所以所以，且为锐角，所以三条直线的倾斜角之和大于，故A不正确；对于直线，令，得纵截距，同理，所以，故B不正确；由于，且为锐角，所以，由，故，故C正确；直线在x轴上的截距分别为，截距之和为，故D不正确.故选：C.二、多选题37．（2023春·河南周口·高二统考期中）已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】分直线过原点，直线截距相等，直线截距互为相反数三种情况设直线分别为，结合过点可得答案.【详解】当直线过原点时，设直线方程为，因过点，则直线的方程为，即，故A正确；当直线截距相等时，设直线方程为，因过点，则，则直线的方程为，故C正确；当直线截距互为相反数时，设直线方程为，因过点，则，则直线的方程为，故B正确．故选：ABC．38．（2023秋·湖南长沙·高二校考开学考试）关于直线，则下列结论正确的是（

）A．倾斜角为 B．斜率为C．在y轴上的截距为 D．在x轴上的截距为【答案】BD【分析】将直线一般式转化为斜截式，即可根据选项逐一求解.【详解】直线，即，所以直线的斜率为，倾斜角为，在y轴上的截距为，故A错误，B正确，C错误，令，得，所以直线在x轴上的截距为，故D正确.故选：BD.39．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）下列说法正确的是（

）A．过点并且倾斜角为90°的直线方程为B．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．过两点的直线的方程为【答案】AD【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，结合截距的定义、直线的两点式方程进行逐一判断即可.【详解】A：直线的倾斜角为90°，所以该直线与横轴垂直，所以直线方程为，故本选项正确；B：当直线在两坐标轴上截距都为零时，方程设为，过点，所以有，所以本选项不正确；C：当直线的倾斜角为90°时，没有意义，所以本选项不正确；D：直线过两点，所以有，因此本选项正确，故选：AD40．（2023秋·江苏镇江·高二统考开学考试）下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角为120°B．经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为C．直线l：恒过定点D．已知直线l过点，且与x，y轴正半轴交于点A､B两点，则△AOB面积的最小值为4【答案】ACD【分析】对于A：先求斜率，进而可得倾斜角；对于C：整理得，令，运算求解即可；对于B、D：设直线l：，进而可得截距，根据题意结合基本不等式运算求解.【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为120°，故A正确；对于选项C：因为，整理得，令，解得，所以直线l恒过定点，故C正确；对于选项B、D：可知直线l的斜率存在，设为，则直线l：，令，解得，即直线l在y轴上的截距为；令，解得，即直线l在x轴上的截距为；对于B：若在x，y轴上截距互为相反数，则，解得或，所以直线方程为或，故B错误；对于D：直线l与x，y轴正半轴交于点A､B两点，则，可知，可得面积，当且仅当，即时，等号成立，所以△AOB面积的最小值为4，故D正确；故选：ACD.41．（2023·全国·高二课堂例题）在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是（

）A．每一条直线都有点斜式方程B．方程与方程可表示同一条直线C．直线l过点，倾斜角为，则其方程为D．直线恒过点【答案】CD【分析】根据直线方程各种形式的意义求解即可.【详解】直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以A错误；点不在方程所表示的直线上，所以B错误；倾斜角为的直线，过，直线方程为，C正确；由直线的点斜式方程知，不论k为何值，直线恒过点，故D正确.故选：CD三、填空题42．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线与直线平行，且经过点，则直线的方程为.【答案】【分析】运用直线平行的性质可求得直线l的斜率，再结合直线的点斜式方程即可求得结果.【详解】由题意知，，所以直线l的方程为，即.故答案为：.43．（2023秋·高二课时练习）设直线l的方程为，若直线不过第三象限，则实数的取值范围是．【答案】【分析】分两种情况讨论，斜率不存在时验证即可，斜率存在时利用斜率和截距的限制条件可得答案.【详解】①当，即时，直线为.该直线不过第三象限，符合；②当，即时，直线化为斜截式