2.3直线的交点坐标与距离公式 （解析版）

2.3:直线的交点坐标与距离公式【考点梳理】考点一：两条直线的交点坐标1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行考点二：两点间的距离公式（1）点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).考点三：两条平行直线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【题型归纳】题型一：直线的交点坐标1．（2023秋·高二）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由两直线垂直可得，联立解方程组可得交点坐标.【详解】易知直线的斜率为，由两直线垂直条件得直线的斜率，解得；联立，解得；即交点为故选：C.2．（2023秋·广东·高二统考期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】联立方程计算交点为，根据直线垂直得到，得到直线方程.【详解】，解得，故直线交点为，直线的斜率，故垂直于它的直线斜率，故所求直线方程为，整理得到.故选：B3．（2023·全国·高二专题练习）过两直线的交点，且与直线垂直的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出两直线的交点坐标，求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由，解得，得直线的交点为点．因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率，因此，所求直线的方程为，即．故选：C.题型二：由直线交点个数求参数4．（2023秋·江苏宿迁·高二校考阶段练习）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（

）A．20 B． C．12 D．4【答案】A【分析】由直线与互相垂直，利用一般式的垂直公式可求得，再将垂足代入两直线方程可求出，继而可求.【详解】因为直线与互相垂直所以，解的，所以直线为，又垂足为，可得，解得，则垂足为，又其在上，可得，解得.所以，故选：A.5．（2023·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】联立方程组求得两直线的交点为，根据题意列出不等式组，即可求解.【详解】由方程组，解得，即两直线的交点坐标为，因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得，即实数的取值范围为.故选：D.6．（2022·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，由已知条件列出不等式组，求解即可．【详解】将两直线方程组成方程组，解得，因为直线与直线的交点在第一象限，所以解得故选：B题型三：直线交点系方程及其应用7．（2023·全国·高二专题练习）过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可.【详解】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，解得，故所求直线方程为，即.故选：D.8．（2022·高二课时练习）若P(2,3)既是的中点,又是直线与直线的交点,则线段AB的中垂线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直线与直线方程相减可得：，把点代入可得：，进而得出线段的中垂线方程．【详解】解：直线与直线方程相减可得：，把点代入可得：，线段的中垂线方程是，化为：．故选．【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2023秋·高二课时练习）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得.【详解】由已知，可设所求直线的方程为：，即，又因为此直线与直线平行，所以：，解得：，所以所求直线的方程为：，即．故选：A．题型四：两点间的距离公式应用10．（2023·全国·高二专题练习）已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，因为，由两点间的距离公式求解即可.【详解】因为点C在x轴上，设点，则，所以，化简可得：，所以.故选：D.11．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值.【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，所以的最小值是4，故选：B.12．（2022秋·广东佛山·高二校联考阶段练习）如图，已知，，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出关于的对称点和它关于y轴的对称点,则就是所求的路程长.【详解】易知直线AB的方程为，设点关于直线AB的对称点为，则解得即．又点关于y轴的对称点为，由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长．故选：.题型五：两点间的距离公式求函数最值问题13．（2023·全国·高二专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.【详解】,可以看作点到点的距离之和，作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，最小值为间的距离.故选：D.14．（2023·全国·高二专题练习）代数式的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两点之间距离公式分析出表示到、的距离之和，求出关于对称点为，连接交于点，此时最小.【详解】由两点之间距离公式可以得到表示点到的距离，表示点到的距离，所以代数式表示，由图像可知在在运动，所以易得关于对称点为，连接交于点，此时最小，最小值为.故选：B.15．（2023秋·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】记点、、，可得出，数形结合可求得的最小值.【详解】因为，记点、、，则，当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为.故选：C.题型六：点到直线的距离问题16．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】先求定点，再根据点到直线距离求解点到直线上动点距离最小值即可.【详解】由得，所以直线l过定点，依题意可知的最小值就是点M到直线的距离，由点到直线的距离公式可得．故选:B.17．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知点在直线上，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】就是到原点距离，只需求出原点到直线的距离即可.【详解】就是到原点距离，到原点距离的最小值为则的最小值为2，故选：B.18．（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）已知直线l经过两直线l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交点，且与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，则坐标原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先联立方程求得交点坐标，再利用直线垂直求得直线l的斜率，从而求得直线l的方程，进而利用点线距离公式即可得解.【详解】联立方程组可得，解得，故交点A的坐标为，因为直线x﹣2y﹣3＝0的斜率为，又直线l与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，所以直线l的斜率为﹣2，故直线l的方程为，即2x+y﹣2＝0；所以原点到直线的距离为.故选：A.题型七：点、直线的对称问题19．（2023秋·高二单元测试）已知直线，点关于直线的对称点为，直线经过点，且，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用两点关于直线对称可求得点的坐标，设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程.【详解】设点，则，解得，即点，因为，设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程可得，解得，所以，直线的方程为.故选：A.20．（2022秋·高二校考课时练习）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是()A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，求出，设直线方程为，然后求出中点坐标，代入直线方程，解出即可.【详解】因为直线的斜率为,所以直线的斜率为1,设其方程为,因为线段的中点坐标为,所以,解得，所以直线的方程是.故选：D.21．（2023·全国·高二专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点为直线上的动点，题意可转化成求与的距离和与的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，故，即可求出答案【详解】设点为直线上的动点，由可看作与的距离和与的距离之和，设点则点为点关于直线的对称点，故，且，所以，当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为.故选：C题型八：两条平行直线间的距离22．（2023春·广东深圳·高二校考期中）两条平行直线和间的距离为，则分别为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得，所以两直线分别为和，所以.故选：B.23．（2023春·江西景德镇·高二江西省乐平中学校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案.【详解】，，设，，，则为点分别到点，的距离之和，点关于轴的对称点的坐标为，连接，则，当且仅当，，三点共线时取等号，故选：B.24．（2022·全国·高二专题练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.【详解】因为直线：与：，所以，又两条平行直线：与：之间的距离是，所以解得即直线：，：，设直线关于直线对称的直线方程为，则，解得，故所求直线方程为，故选：A题型九：直线距离和平行的综合问题25．（2023秋·高二课时练习）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.

【答案】证明见解析【分析】建立平面直角坐标系，由已知条件得出点A、E的坐标，求得直线AD、BE的方程，然后求交点P坐标，由得到AP和CP垂直．【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，

设等边三角形ABC的边长为6，则，∵，∴直线AD的方程为，即，①∵，∴直线BE的方程为，即，②联立①②解得，则，∵，∴，∴AP⊥CP．26．（2023秋·高二课时练习）入射光线问题．(1)已知一条光线从点射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点，求点P的坐标；(2)已知一条光线从点射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点，求点Q的坐标及入射光线的斜率．【答案】(1)(2),【分析】（1）利用关于x轴的对称点一定在入射光线上即可；（2）利用关于y轴的对称点一定在反射光线上即可求出反射光线，从而求出点Q的坐标及入射光线的斜率..【详解】（1）设关于x轴的对称点为，所以直线的方程为:即，令，得：，所以点.（2）设关于y轴的对称点为，所以直线的方程为:即，令，得：，所以点.入射光线的斜率即为直线AQ的斜率，所以.27．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，，所在的直线方程为.(1)求点的坐标；(2)求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设出点的坐标，利用垂直可得答案；（2）根据，及的方程可得C的坐标，结合点斜式方程可得答案.【详解】（1）由条件设，因为所在的直线和垂直，∴，∴.∴，.（2）设，，因为，∴，∴.∴，，因为在，∴.∴，∴，∴的方程为，即.

【双基达标】一、单选题28．（2023秋·江苏扬州·高二统考）两条平行直线和间的距离为，则分别为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两直线平行可推出，再根据平行线间距离公式可计算.【详解】由题意可得，再由平行线的距离公式得.故选：B29．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据中点公式，求得的中点坐标，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】设的中点为，由中点坐标公式得，所以，所以．故选：A.30．（2023秋·高二课时练习）已知点A（3，4），B（6，m）到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m＝（

）A． B．C．1 D．或【答案】D【分析】根据题意，由点到直线距离公式建立方程解得的值.【详解】解析：由题意得，解得或.故选：D.31．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若点在直线上，O是原点，则OP的最小值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根据题意，由点到直线的距离公式即可得到结果.【详解】由题意可知，OP的最小值即为原点到直线的距离，则.故选：C32．（2023·全国·高二课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（

）A． B．14 C． D．5【答案】C【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值.【详解】因为两点与关于点对称，可得，即，解得，所以.故选：C.33．（2023秋·高二课时练习）（1）求经过直线，的交点，且过点的直线的方程；（2）求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用两直线的交点坐标公式以及直线的点斜式方程求解；（2）利用两直线的交点坐标公式以及两直线垂直与斜率的关系求解.【详解】（1）设的交点为，联立，解得，所以的交点为,所以,由点斜式可得，整理得.（2）设的交点为，联立，解得，所以的交点为,设所求直线方程为，因为直线过点，所以，所以所求直线方程为.34．（2023秋·高二课时练习）已知的三个顶点分别为，，．(1)求边上的中线的长；(2)证明：为等腰直角三角形．【答案】(1)(2)答案及解析【分析】（1）首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得；（2）利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可.【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为，又，则．（2）因为，，，因为，且，所以为等腰直角三角形．【高分突破】一、单选题35．（2023秋·全国·高二随堂练习）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．4【答案】A【分析】由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程可求出的值，再利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，则，即，∴点M在直线上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即.故选：A.36．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可确定直线：，则直线过原点，且斜率为，由此可确定点到直线l的距离大于1，再确定当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，即可求得答案.【详解】由题意直线：，则直线过原点，且斜率为，

当直线l无限靠近于y轴时，点到直线l的距离无限接近于1，故点到直线l的距离大于1，当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，最大值为，故点A到直线的距离的取值范围为，故选：B37．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案.【详解】，由，解得，故过定点．，由，解得，故过定点，故，距离的最大值为．此时，，则，，解得，故．故选：C．38．（2023秋·全国·高二阶段练习）直线，直线，给出下列命题：①，使得；

②，使得；③，与都相交；

④，使得原点到的距离为.其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】C【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数的值，可判断②；取可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.【详解】对于①，若，则，该方程组无解，①错；对于②，若，则，解得，②对；对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错；对于④，直线的方程为，若，使得原点到的距离为，则，整理可得，，方程有解，④对.故选：C.39．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）如图，直线与函数和的图象分别交于点A，B，若函数的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用等边三角形的性质计算即可.【详解】由题意可知，，，.设，因为△ABC是等边三角形，所以点C到直线AB的距离为，则，即：.根据中点坐标公式可得，所以，所以，解得.故选：C.二、多选题40．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知点，，且点在直线：上，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．的最小值为 D．最大值为3【答案】BCD【分析】设，利用斜率公式判断A，利用距离公式判断B，化折线为直线，利用两点之间线段最短判断C，根据几何意义判断D.【详解】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，，与不垂直，同理时与不垂直，当且时，，若，则，去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；对于B：设，若，则，即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以，当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；

对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.

故选：BCD41．（2023秋·江苏南通·高二海安高级中学校考开学考试）下列说法中，不正确的有（

）A．已知点，，若直线的倾斜角小于，则实数a的取值范围为B．若集合，满足，则C．若两条平行直线和之间的距离小于1，则实数a的取值范围为D．若直线与连接，的线段相交，则实数a的取值范围为【答案】CD【分析】根据直线的倾斜角、斜率、平行直线、直线相交等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，当时，直线即直线，此时直线的倾斜角为，所以A选项错误.B选项，由，得，所以集合表示斜率为的直线上的点（除去点）.由，得，所以集合表示过点且斜率为的直线，若，此时两直线平行，满足，若直线过点，则，此时，且，所以B选项错误.C选项，依题意，所以实数的取值范围是，C选项正确.D选项，直线过定点，斜率为，，所以或，解得或，所以实数a的取值范围为，D选项正确.

故选：CD42．（2023秋·山西·高二校联考开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（

）A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是【答案】AC【分析】确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断A、B；确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断C、D；【详解】由关于，的对称点分别为，而，

从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，A对；从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，B错；由关于，的对称点分别为，

从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程，C对；从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是，D错.故选：AC43．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线，，，以下结论错误的是（

）A．无论a为何值，与都互相平行B．当a变化时，与分别经过定点和C．无论a为何值，与都关于直线对称D．若与交于点M，则的最大值是【答案】AC【分析】结合直线平行或垂直、直线过定点、直线与直线对称、直线与直线交点、两点间距离公式等知识分别对各选项分析，即可求解.【详解】对于A，因为，故无论a为何值，与都相互垂直，故A错误；对于B，直线，当a变化，时，恒成立，所以恒过定点；，当a变化，时，恒成立，所以恒过定点，故B正确；对于C，在上任取一点，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，代入，得，不满足无论a为何值，恒成立，故C不正确；对于D，联立，解得，即，所以（当时取等号），所以的最大值是，故D正确．故选：AC.三、填空题44．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）平行直线与之间的距离为．【答案】/0.3【分析】根据平行线间的距离公式即可求得答案.【详解】由题意得即则平行直线与之间的距离为，故答案为：45．（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期中）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是【答案】【分析】联立方程组求得交点，根据题意求得所求直线的斜率为，结合点斜式方程，即可求解.【详解】设两直线和的交点为，联立方程组，解得，即两直线的交点为，由直线的斜率为，可得所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即.故答案为：.46．（2023秋·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为．【答案】【分析】分别求点关于轴和直线的对称点，再根据几何关系求得直线的方程.【详解】点关于轴的对称点为，设点关于的对称点为，则，解得：，即,由对称性可知，点在直线上，所以，直线的方程为，即.

故答案为：47．（2023·全国·高二课堂例题）的最小值为．【答案】【分析】根据两点之间的距离公式改写目标函数解析式，即可根据几何意义求得结果.【详解】，