2.5.1直线与圆的位置关系 （原卷版）

2.5.1：直线与圆的位置关系【考点梳理】考点一：直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考点二：直线与圆的方程解决实际问题仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．【题型归纳】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2023春·贵州·高二校联考期末）圆：与直线：的位置关系为（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，直线，则圆C与直线l（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心3．（2023·全国·高二专题练习）圆上到直线距离为的点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2023·全国·高二专题练习）“”是“直线与圆相离”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2023·全国·高二专题练习）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是（

）A． B． C．或 D．题型三：圆的弦长问题7．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）直线与圆相交于、两点，若，则等于（

）A．0 B． C．或0 D．或08．（2023·全国·高二专题练习）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（

）A． B．C． D．9．（2023·全国·高二专题练习）已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，过圆内一点的直线被圆所截得的最短弦的长度为2，则（

）A．2 B． C． D．311．（2023秋·高二单元测试）设，均为正实数，若直线被圆截得的弦长为2，则的取值范围是（

）A． B．C． D．12．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知圆，直线与交于两点，则当最小时，实数的值是（

）A．2 B．-2 C． D．题型五：直线与圆的应用13．（2023春·广东·高二统考阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．14．（2022秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（

）A． B． C． D．15．（2022·高二课时练习）已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（

）A．5h B．h C．h D．4h题型六：直线与圆的位置求距离的最值问题16．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．17．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（

）A． B． C． D．18．（2023秋·高二课时练习）（1）如果实数x，y满足，求的最大值和最小值；（2）已知实数x，y满足方程，求的取值范围．题型七：直线与圆的位置定点定值问题综合应用19．（2023·全国·高二专题练习）已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B．(1)若P点坐标为，求(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．20．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知直线过定点，且与圆交于两点．(1)求直线的斜率的取值范围；(2)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（2023·全国·高二专题练习）已知圆过点，且与直线相切于点．(1)求圆的标准方程；(2)若，点在圆上运动，证明：为定值．【双基达标】一、单选题22．（2023·全国·高二）过点且倾斜角为的直线交圆于两点，则弦的长为（

）A． B． C． D．23．（2023·全国·高二专题练习）圆：与直线：的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定24．（2023春·河南周口·高二统考期中）经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（

）A． B．C． D．25．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线与圆相交于A，B两点.(1)求线段的长；(2)求线段中点的坐标.26．（2023秋·江苏·高二南京市人民中学校联考开学考试）已知直线和圆，(1)当为何值时，截得的弦长为2；(2)若直线和圆交于两点，此时，求的值.27．（2023秋·江苏镇江·高二统考）已知圆C经过､两点，且圆心在直线上.(1)求圆C的标准方程；(2)过点的直线l与圆C相交于P､Q两点，且，求直线l的方程.【高分突破】一、单选题28．（2023秋·江苏扬州·高二统考）已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（

）A．5 B．4 C．10 D．229．（2023秋·江苏镇江·高二统考开学考试）已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．730．（2023春·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校联考期末）已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．31．（2023·全国·高二专题练习）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．32．（2023春·山东青岛·高二校考开学考试）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B．C． D．二、多选题33．（2023秋·广西贵港·高二校联考开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（

）A．南偏西方向 B．南偏西方向C．北偏西方向 D．北偏西方向34．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线与圆，若点为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（

）A．直线l与圆相交B．若点Q为圆上的动点，则的取值范围为C．与直线l平行且截圆的弦长为2的直线为或D．圆C上存在两个点到直线的距离为35．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）已知圆直线：，点P在直线上运动，直线PA，PB分别与圆切于点A，B．则下列说法正确的是（

）A．四边形的面积最小值为 B．|PA|最短时，弦AB长为C．|PA|最短时，弦AB直线方程为 D．直线AB过定点36．（2023春·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）设，过定点的动直线：，和过定点的动直线：交于点，是圆：上的任意一点，则下列说法正确的有（

）A．直线与圆相切时B．到距离的最大值是C．直线与圆相交的最短弦长为D．的最大值为37．（2023秋·江苏盐城·高二盐城中学校考阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．过点作曲线的切线，则切线方程为三、填空题38．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上．过原点引圆C的切线，则切线长为．39．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为.40．（2023秋·高二课时练习）如果圆关于直线对称，则圆的圆心坐标为．41．（2023秋·高二单元测试）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为．42．（2023·全国·高二课堂例题）已知点，，若直线上存在点P，使，则实数a的取值范围为．四、解答题43．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为.经过坐标原点的直线与圆交于，两点.(1)求圆的方程；(2)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值.44．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.(1)当弦AB最长时，求直线l的方程；(2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程.45．（20