3.1.1椭圆及其标准方程 原卷版

3.1.1椭圆及其标准方程【考点梳理】考点一：椭圆的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：两个定点F1，F2.3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.考点二：椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2考点三：求轨迹方程的方法直译法——“四步一回头”，四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；

（2）写出适合条件的点M的集合；

（3）将“翻译”成代数方程；（4）化简代数方程为最简形式.【题型归纳】题型一：利用椭圆的定义求方程1．（2023·江苏·高二）若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．（2022秋·辽宁沈阳·高二校联考期中）椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．题型二：椭圆的焦点三角形问题4．（2023·全国·高二专题练习）直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（

）A．10 B．16 C．20 D．不能确定5．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（

）A． B． C．4 D．6．（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．题型三：根据方程表示椭圆求参数问题7．（2023秋·高二课前预习）“”是“方程表示椭圆”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（2023春·四川南充·高二校考期中）对于常数，“”是“方程的曲线是椭圆”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件题型四：椭圆的标准方程的求法10．（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（

）A． B．或C． D．以上都不对11．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（

）A． B．C． D．12．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆，分别是椭圆C的焦点，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8题型五：与椭圆有关的轨迹问题13．（2023·江苏·高二专题练习）已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．14．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（

）A． B．C． D．15．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆：（圆心为），点，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为（

）A． B．C． D．题型六：椭圆的最值问题16．（2023秋·全国·高二期中）已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．417．（2018秋·河北衡水·高二河北阜城中学阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．18．（2023·全国·高二专题练习）设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（

）A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11题型七：椭圆方程的综合问题19．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆C：，左，右焦点分别为，，椭圆C经过，．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P使得，求的面积．20．（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)，；(2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；(3)焦点在x轴上，，且经过点；(4)，且经过点.21．（2023秋·高二课时练习）已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点．(1)若，求；(2)若的面积为9，求的大小．【双基达标】一、单选题22．（2023秋·陕西渭南·高二渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．23．（2023·全国·高二专题练习）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（

）A．20 B．16 C．18 D．1424．（2023秋·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期末）如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是（

）．A．4 B．14 C．12 D．825．（2023·全国·高二专题练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标分别为，，经过点；(2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为.(3)两个焦点坐标分别是和，并且经过点.(4)已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程.26．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：(1)椭圆的标准方程(2)的面积．【高分突破】一、单选题27．（2023·江苏·高二）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（）A． B．C． D．28．（2023秋·高二课时练习）点为椭圆上任意一点，分别为左、右焦点，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．不存在29．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，且经过点P，同时，则椭圆的标准方程为（

）A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝130．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．31．（2023·全国·高二专题练习）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．32．（2023·全国·高二）已知椭圆的左､右焦点分别为.若点关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则（

）A． B． C． D．二、多选题33．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（

）A．曲线C可能是圆B．若，则C为椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则34．（2023秋·高二课时练习）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（

）．A．B．P到最小的距离是2C．面积的最大值为6D．P到最大的距离是935．（2023·江苏·高二专题练习），是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（

）A．9 B．C． D．36．（2023秋·高二单元测试）已知点，直线l：，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A．点P的轨迹方程是B．直线是“最远距离直线”C．平面上有一点，则的最小值为5D．点P的轨迹与圆C：没有交点三、填空题37．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为.38．（2023秋·高二课时练习）设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为.39．（2023·江苏·高二假期作业）椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，若，则的大小为．40．（2023·江苏·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则．41．（2023·全国·高二专题练习）以