3.1.2椭圆的简单几何性质（原卷版）

3.1.2椭圆的简单几何性质【考点梳理】考点一：椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)考点二：直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．直线与椭圆解的个数Δ的取值两个不同的公共点两解Δ>0一个公共点一解Δ＝0没有公共点无解Δ<0重难点技巧：弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．【题型归纳】题型一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴1．（2023·全国·高二）椭圆和（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同2．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则（

）A．2 B．1 C． D．43．（2022秋·高二课时练习）已知椭圆为其左焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，若（为原点），则椭圆的长轴长等于（

）A．6 B．12 C． D．题型二：椭圆的椭圆的范围问题4．（2022·江苏·高二专题练习）椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2022·全国·高二专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为（

）A．与 B．与 C．与 D．与6．（2022秋·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是（

）A． B． C． D．题型三：椭圆的离心率问题7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考开学考试）已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．8．（2023·江苏·高二专题练习）已知A，B，C是椭圆上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆的右焦点F，若，且，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．9．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆E：与直线相交于A，B两点，O是坐标原点，如果是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（）A． B．C． D．题型四：椭圆的中点弦问题10．（2023秋·全国·高二期中）若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（

）A． B．C． D．11．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．12．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．题型五：直线与椭圆的弦长问题13．（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的弦的中点为，则弦的长为（）A． B．C． D．14．（2023秋·天津北辰·高二校考期末）已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．15．（2022秋·湖南长沙·高二长沙一中校联考期中）已知椭圆的上顶点为，左右焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（

）A．19 B．14 C． D．13题型六：椭圆中的向量问题16．（2023春·河南信阳·高二潢川县高级中学（河南省潢川高级中学）校考阶段练习）已知过椭圆的上焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点.若为锐角，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．17．（2023·全国·高二专题练习）若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则的最大值为（

）A．6 B．5 C．4 D．218．（2023秋·全国·高二期中）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．题型七：椭圆的定点、定值、最值问题19．（2023·全国·高二随堂练习）已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.20．（2023春·浙江·高二校联考开学考试）已知椭圆：．(1)直线：交椭圆于，两点，求线段的长；(2)为椭圆的左顶点，记直线，，的斜率分别为，，，若，试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．21．（2023春·福建泉州·高二校考期末）已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为，O为坐标原点，线段OA的中点为D，且.(1)求C的方程；(2)已知点M、N均在直线上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直.【双基达标】一、单选题22．（2023秋·高二课时练习）曲线与曲线的（

）.A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等23．（2023秋·高二课时练习）直线与椭圆的公共点的个数是（

）A．0 B．1C．2 D．无数个24．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）椭圆的一个焦点为，点在椭圆上且在第一象限，如果线段的中点在轴上，那么点的纵坐标是（

）追A． B． C． D．25．（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长为6，离心率为；(2)经过点，离心率为，焦点在x轴上；(3)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.26．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆上的两点，关于原点对称，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足.(1)求椭圆的标准方程；(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.【高分突破】一、单选题27．（2023春·湖北恩施·高二校联考期中）已知椭圆，斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴左侧，且点在轴上方，点关于坐标原点对称的点为，且，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．28．（2023秋·吉林四平·高二校考阶段练习）已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．29．（2023·江苏·高二专题练习）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B，该椭圆的离心率为（）

A． B．C． D．30．（2023·江苏·高二专题练习）设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．31．（2023春·吉林长春·高二校考开学考试）已知是椭圆：的右焦点，点P在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．二、多选题32．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆与直线交于两点，且，则实数＝（

）A． B．C． D．33．（2023春·甘肃天水·高二校考期中）椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可能为（

）A． B．C． D．34．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆E：的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为P，若过且倾斜角为的直线l交椭圆E于A，B两点，的周长为8，则（

）A．直线的斜率为 B．椭圆E的短轴长为4C． D．四边形的面积为35．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，若的周长是26，则（

）A． B．C．直线的斜率为 D．36．（2023春·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（

）A．的最小值为B．椭圆的短轴长可能为2C．椭圆的离心率的取值范围为D．若，则椭圆的长半轴长为三、填空题37．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为.38．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为．39．（2023·江苏·高二专题练习）设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为.40．（2023秋·高二课时练习），是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为.41．（2023秋·高二单元测试）若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为.四、解答题42．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆过原点的弦相互垂直，求四边形面积的最大值．43．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考开学考试）设椭圆的上顶点为，左焦点为，已知椭圆的离心率，．(1)求椭圆方程；(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程．4