3.3.1抛物线及其标准方程 （解析版）

3.3.1抛物线及其标准方程【考点梳理】考点一：抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.考点二：抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)重难点技巧：p的几何意义是焦点到准线的距离．【题型归纳】题型一：抛物线的定义求轨迹方程1．（2023·全国·高二）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程．【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A.2．（2023·全国·高二专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，所以，其方程为，故选：A3．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据外切关系结合抛物线定义，分析得到的轨迹为抛物线，由此求解出抛物线的方程.【详解】由题意得，直线，且圆，设点到直线的距离为，则点到与点到的距离相等，都是，故点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故方程为.故选：A.题型二：抛物线的最值问题4．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．2 D．3【答案】B【分析】先利用配方法求得到圆心的最小距离，从而求得到的最小距离.【详解】由题意知，，设，则，所以，

故当时，，所以.故选：B.5．（2023秋·全国·高二期中）若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】先求得点的坐标，求得关于直线的对称点，根据三点共线求得的最小值.【详解】抛物线的焦点，准线，，则，不妨设，关于直线的对称点为，由于，所以当三点共线时最小，所以的最小值为.故选：A

6．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】由抛物线的焦点坐标求得，设在准线上的射影为，利用抛物线的定义进行转化后易得最小值．【详解】由焦点到其准线的距离为得；设在准线上的射影为如图,则，当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4．故选：D．题型三：抛物线焦半径的公式7．（2023春·福建福州·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点，根据已知条件求出的值，然后根据抛物线的定义可求得的值.【详解】设点，抛物线的准线方程为，因为到直线的距离为，则，可得，所以，.故选：C.8．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若，则△PFQ的面积为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】设点P的坐标为，由题意△PFQ为等边三角形，求得点P的坐标及，从而可得．【详解】抛物线的准线方程为y＝－1，焦点为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，，由抛物线的定义知，因为，所以△PFQ为等边三角形，所以，又，所以，n＝3，所以点P的坐标为，所以，所以．故选：C．

9．（2022秋·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到准线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可．【解答】解：已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，设抛物线的准线交轴于点，的中点为，过作准线的垂线使得，，，轴于，设，又，则，，则，又，则，又，则，即，则，故选：C．

题型四：抛物线的四种标准方程题型四：抛物线的四种标准方程10．（2023·全国·高二假期作业）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值.【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为；当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为．所以抛物线的方程为或．故选：C11．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案．【详解】如图，连接，设准线与轴交点为

抛物线的焦点为，准线：又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形，所以，所以在中，，则，所以抛物线的方程为.故选：C.12．（2023·全国·高二专题练习）已知点在圆上，其横坐标为，抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合圆的方程可求得点坐标，代入抛物线方程可确定的值，进而确定准线方程.【详解】将代入圆方程得：，解得：，或，在抛物线上，或，解得：（舍）或，抛物线方程为，抛物线的准线方程为：.故选：D.题型五：抛物线在生活中的实际应用13．（2023秋·广东梅州·高二统考期末）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立适当直角坐标系，设出抛物线方程，代入点的坐标，即可求出答案.【详解】如图，设口径的轴截面为.以点为坐标原点，以的垂直平分线为轴，过点作的平行线为轴，建立平面直角坐标系.则由已知可设抛物线的方程为，点坐标为，将点坐标代入抛物线方程可得，解得.所以抛物线的焦点到顶点的距离为.故选：D.14．（2023秋·山东烟台·高二统考期末）如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果.【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上，所以，，可得，所以，抛物线的方程为，当水面上升后，即当时，，可得，因此，当水面上升后，桥洞内水面宽为.故选：C.15．（2022秋·湖南益阳·高二统考期中）党的十八大报告指出，必须坚持在发展中保障和改善民生，不断实现人民对美好生活的向往，为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2m的喷水管（水管半径忽略不计），它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为（），记最大高度为，依题意可得，在抛物线上，代入抛物线方程，求出，即可得解.【详解】解：取一截面建系如图，设抛物线方程为（），记最大高度为，依题意可知，在抛物线上，故，两式相除有，解得.故选：C题型六：抛物线的方程综合问题16．（2023秋·全国·高二期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为；(2)顶点在原点，且过点；(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案.【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为，可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，故抛物线标准方程为；（2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线标准方程为或，分别将代入，求得，故抛物线标准方程为或；（3）由于直线与x轴的交点为，由题意可知抛物线焦点为，则，故抛物线标准方程为；（4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，则设抛物线方程为，焦点为，准线为，故，故抛物线标准方程为.17．（2023春·云南大理·高二云南省下关第一中学校考期中）从抛物线上各点向x轴作垂线段.(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；(2)直线与抛物线交于A、B两点，求证：原点O在以AB为直径的圆上.【答案】(1)轨迹方程是，它是顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线(2)证明见解析【分析】（1）先设出垂线段的中点为，是抛物线上的点，把他们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可；（2）联立直线方程与抛物线方程，得出，，求出即可得证.【详解】（1）解：设抛物线上的点，过M作轴于Q，设线段MQ中点，于是有，而，即，从而得，

当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点P与M重合，坐标也满足上述方程，所以垂线段的中点的轨迹方程是，它是顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线.（2）证明：由得，设，，则有，，，即，所以，

所以原点O在以AB为直径的圆上.18．（2023秋·高二课时练习）（1）设P是抛物线上的一个动点.①求点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值；②若，求的最小值.（2）已知抛物线，A点的坐标为.求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离.【答案】（1）①；②4；（2），【分析】（1）①根据抛物线定义，点P到准线的距离等于P到点的距离，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到的距离与P到的距离之和最小，数形结合得解；②同理可处理.（2）设抛物线上任一点P的坐标为，用两点间距离公式求出转化为二次函数求最小值.【详解】（1）①抛物线焦点为，准线方程为，

∵点P到准线的距离等于P到点的距离.∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到的距离与P到的距离之和最小.显然P是的连线与抛物线的交点，最小值为.②同理与P点到准线的距离相等.如图：

过B作准线于Q点，交抛物线于点.∵，∴.∴的最小值为4.（2）由题意设抛物线上任一点P的坐标为，则，因为，所以当时，.故距离点A最近的点P的坐标为，最短距离是.【双基达标】一、单选题19．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据抛物线的定义结合可求得，然后将点的坐标代入抛物线方程可求出的值.【详解】因为点在抛物线上，，所以，所以，所以，所以，解得.故选：C

20．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的定义求解．【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为．故选：C．21．（2023春·河南周口·高二统考期中）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用抛物线定义，将转化为，结合线段间的不等关系，即可求得答案.【详解】由抛物线可知其焦点为，准线方程为记抛物线的焦点为，

所以，当且仅当点在线段上时等号成立，所以的最小值为3．故选：A．22．（2023秋·高二课时练习）石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（

）

A．1米 B．2米 C．4米 D．8米【答案】B【分析】设抛物线C：，由题意可知点在抛物线C上，求得，即可得解.【详解】设抛物线C：，由题意可知点在抛物线C上，则，解得，故抛物线C的焦点到准线的距离是2米.故选：B.23．（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．过点与抛物线有一个公共点的直线有3条C．连接并延长与抛物线交于点，若的中点，则D．点到直线的最短距离为【答案】BC【分析】根据抛物线的相关公式以及图形找到几何关系即可.【详解】

解：由抛物线的方程可得焦点，准线方程A中，由抛物线的性质，则，代入抛物线的方程可得，所以A不正确；中，将点的坐标代入：，可得点在抛物线的外面，所以过有两条直线与抛物线相切，还有一条平行于轴的直线与抛物线有一个公共点，所以有3条直线与抛物线有一个公共点，正确；中，，所以正确；中，点到直线的距离，所以的最小值为不正确.故选：.24．（2023春·安徽宣城·高二统考期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则下列说法不正确的是（

）A．椭圆的焦距是2B．椭圆的离心率是C．抛物线的准线方程是D．抛物线的焦点到其准线的距离是4【答案】D【分析】根据椭圆方程，求得，再结合椭圆和抛物线的性质，即可求解.【详解】，所以椭圆的焦距为，离心率，故AB正确；抛物线的焦点坐标为，所以准线方程为，焦点到准线的距离，故C正确，D错误.故选：D25．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知F为抛物线的焦点，为抛物线C上第一象限的点，且.(1)求点A的坐标；(2)求过点A且与圆相切的直线方程.【答案】(1)(2)或，【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式即可求解，代入方程即可求解坐标，（2）根据点到直线的距离等于半径即可求解.【详解】（1）由于抛物线的焦点坐标为，故，所以，，将代入抛物线可得，故（2）由于点的圆心为，由于，故过点A的切线一定有斜率，设其方程为，由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，所以切线方程为，即或，26．（2023秋·全国·高二期中）已知是抛物线上的点．当时，．(1)求E的标准方程；(2)F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．【答案】(1)；(2)4.【分析】（1）将点代入抛物线方程求解作答.（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线定义结合韦达定理求出点B的横坐标作答.【详解】（1）依题意，抛物线过点，则，解得，所以E的标准方程为.（2）由（1）知，抛物线E的焦点，准线方程为，

显然直线不垂直于轴且斜率不为0，设直线的方程为：，点，由消去并整理得：，则，，而，解得，于是，，所以.【高分突破】一、单选题27．（2023春·云南保山·高二校联考期末）过抛物线的焦点且倾斜角为锐角的直线与交于两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根据题意结合抛物线的定义分析可得，，进而可得的倾斜角和斜率.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，如图，过作准线的垂线交准线于，因为，所以，可知与轴的正方向的夹角为，则的斜率为，故选：A.

28．（2023春·四川凉山·高二统考期末）已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由已知联立方程组，利用设而不求法结合抛物线定义表示，并求其值.【详解】由已知抛物线的焦点的坐标为，直线的方程为，联立，消得，设，则，所以，圆的圆心坐标为，半径为1，由已知可得，所以

故选：A.29．（2023春·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）设抛物线的焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，且为等边三角形，的面积为，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根据题意，由抛物线的性质，分别表示出的长，然后结合的面积为列出方程，即可得到结果.【详解】

过点，做轴于点，因为，，且为等边三角形，则，，则，，，则.故选：A30．（2023春·河南安阳·高二统考期末）已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据给定条件，求出抛物线方程衣直线方程，再联立并结合抛物线定义求解作答.【详解】设抛物线C的方程为，因为焦点到准线的距离为2，则，抛物线C为：，焦点，准线方程为，直线方程为，由消去y得：，设，则，所以.故选：B

31．（2023春·江苏镇江·高二统考期中）青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为，其焦点为，碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为，设，过中点作轴，由抛物线的定义可得，解得，所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.故选：B.

32．（2023秋·全国·高二期中）过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交于，两点，交的准线于点，若（为坐标原点），则线段的长度为（

）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【分析】将直线的方程与准线方程联立，求得点的坐标，可求出，然后将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式即可求解【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

直线的方程为，联立可得，即点，所以，因为，所以，所以直线的方程为，抛物线，设点，，联立可得，由韦达定理可得，则故选：D33．（2023·全国·高二假期作业）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意，由条件可得，然后结合抛物线的定义，列出方程，即可求得结果.【详解】设直线与轴交点为，由抛物线的对称性，易知为直角三角形，且，，即，去绝对值，解得或，所以抛物线的准线方程为或.故选：C.34．（2023·全国·高二专题练习）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意得到，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【详解】解：如图，

因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点，所以.当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.故选：A二、多选题35．（2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（

）A．F的坐标为 B．C． D．【答案】BCD【分析】根据抛物线的定义域标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上，则焦点，所以A错误；由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确；由，可得，所以，则，所以C正确；由，所以D正确．故选：BCD．36．（2023秋·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列各选项正确的是（

）A． B．以MF为直径的圆与轴相切C． D．【答案】ABD【分析】对于AB，根据抛物线的定义结合已知条件判断，对于C，先求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果，对于D，根据抛物线的性质结合三角形的面积公式求解.【详解】对A：由题意可知，由，可得，故A正确；对B：∵的中点的横坐标为，则到轴的距离∴以为直径的圆与轴相切，故B正确；对C：当时，，解得，即则，故C错误；对D：，故D正确；故选：ABD．

37．（2023春·云南保山·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（

）A． B．C． D．的坐标为【答案】ABC【分析】根据题意，利用抛物线的定义，求得点的坐标，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由抛物线，可得，因为点在抛物线上，且，根据抛物线的定义，可得，解得，又因为，所以，即，则.故选：ABC.38．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，，垂足为，设，则（

）A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线恰有2条B．已知曲线上的两点到点的距离之和为10，则线段的中点的横坐标是4C．的最小值为D．的最小值为4【答案】BCD【分析】由点在抛物线外从而判断A；由抛物线的定义结合中点坐标公式判断B；由抛物线的定义结合图像判断C；联立直线和抛物线方程，由韦达定理结合基本不等式得出的最小值.【详解】对于A，因为在抛物线外，显然过与抛物线相切的直线有2条，当此直线与x轴平行时，与抛物线也是仅有一个公共点，所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，故A错误；对于B，设，则，即，则线段的中点的横坐标为，故B正确；对于C，，（当点在线段上时，取等号），故C正确；对于D，设，设直线的方程为，由，得，易得，则，，（当且仅当时，等号成立），故D正确；故选：BCD

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39．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上任意一点，点为在上的射影，线段交轴于点为线段的中点，则（

）A．B．直线与抛物线相切C．点的轨迹方程为D．可以是直角【答案】ABC【分析】分别应用抛物线定义，直线与抛物线位置关系的判定，求轨迹方程的方法，向量法判断垂直进行求解.【详解】对于选项，设准线与轴交于点，由抛物线知原点为的中点，轴，所以为线段的中点，由抛物线的定义知，所以，故正确；对于B选项，由题意知，为线段的中点，从而设，则，直线的方程：，与抛物线方程联立可得：，由代入左式整理得：，所以，所以直线与抛物线相切，故B正确；对于C选项，设点，则点，而是抛物线上任意一点，于是得，即，所以点的轨迹方程为，故C正确；对于D选项，因点的轨迹方程为，则设，令，有，，于是得为锐角，故错误.故选：ABC.

40．（2023秋·高二单元测试）若圆锥曲线，且的一个焦点与抛物线的焦点重合，则（

）A．B．的离心率C．为双曲线，且渐近线方程为D．与的交点在直线上【答案】BD【分析】由题可得的焦点为.则圆锥曲线为双曲线，可判断各选项正误.【详解】A选项，抛物线的焦点为，则焦点为，则圆锥曲线为双曲线，且，则.故A错误；B选项，由A分析可知，，故B正确；C选项，由A分析可知渐近线方程为：，故C错误；D选项，联立，方程有，由可知，则，即与的交点在直线上，故D正确.故选：BD41．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，则（

）A．抛物线为B．若，为上的动点，则的最小值为4C．直线与抛物线相交所得弦长最短为4D．若抛物线准线与轴交于点，点是抛物线上不同于其顶点的任意一点，，，则的最小值为【答案】BCD【分析】根据抛物线的性质可得可判断A，根据抛物线的定义利用数形结合可判断B，利用韦达定理法及弦长公式可判断C，根据条件可得当直线与抛物线相切时最小，然后利用判别式即得.【详解】因为抛物线：的焦点到准线的距离为2，所以，从而抛物线的方程是，所以A错误；设到准线的距离为，由题可知准线为，则，故B正确；抛物线的焦点为，直线过焦点，由，可得，设直线与抛物线交点为，则，所以直线与抛物线相为所得弦长，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，不妨设点在第一象限，过点向准线作垂线，垂足为，则，连接，在中，设，则，要求的最小值，即最小，即最小，所以当直线与抛物线相切时，角最小，设切线方程为存在，且，由，联立得，令，得，所以或（舍），所以，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题42．（2023·全国·高二专题练习）已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程．【答案】【分析】设出动点和相关点，再根据条件，，再代入即可得出结果.【详解】设动点的坐标，点P坐标，，因为，所以，，可得，，代入，得，整理得，所以动点Q的轨迹方程为．故答案为：43．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线上有一动点，则与点距离的最小值为．【答案】【分析】设，根据两点距离公式可得，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设，则，当时，取得最小值12，故．44．（20