小学数学公约数公倍数训练题

在小学数学的数论知识体系中，公约数（也称公因数）与公倍数是支撑分数运算、解决实际分组或周期问题的核心概念。公约数指几个数公有的因数，其中最大的那个称为最大公约数；公倍数指几个数公有的倍数，其中最小的那个称为最小公倍数。掌握它们的求解逻辑与应用场景，能帮助孩子建立数感、提升逻辑推理能力。下面通过分层训练题与解题思路，系统巩固这一知识点。一、基础题型：两数的最大公约数与最小公倍数求解这类题目聚焦“两个数”的关系，通过不同数字特征（互质、倍数、一般关系），熟练掌握列举法、分解质因数法、短除法的应用逻辑。1.互质关系（最大公约数为1，最小公倍数为两数乘积）互质数指只有公约数1的两个数（如相邻自然数、不同质数等）。题目1：求5和7的最大公约数和最小公倍数。题目2：求8和9的最大公约数和最小公倍数。2.倍数关系（最大公约数为小数，最小公倍数为大数）若一个数是另一个数的倍数，较小数是最大公约数，较大数是最小公倍数。题目3：求6和12的最大公约数和最小公倍数。题目4：求9和27的最大公约数和最小公倍数。3.一般关系（需用列举、分解质因数或短除法）当两数既不互质也非倍数关系时，需通过方法精准求解。题目5（列举法）：用列举法求18和24的最大公约数和最小公倍数。题目6（分解质因数法）：用分解质因数法求20和30的最大公约数和最小公倍数。题目7（短除法）：用短除法求15和25的最大公约数和最小公倍数。二、进阶题型：三个数的最大公约数与最小公倍数三个数的最大公约数是所有数公有的质因数的乘积，最小公倍数是公有的质因数×各自独有的质因数的乘积。题目8：求12、18和24的最大公约数和最小公倍数。题目9：求8、12和16的最大公约数和最小公倍数。三、综合应用题型：结合实际场景的问题公约数和公倍数的本质是“分组的最大规模”或“周期的最小重复”，需结合生活场景分析数量关系。1.最小公倍数应用（“至少”“刚好分完”类问题）题目10：一批糖果，每人分5颗或7颗都正好分完，这批糖果至少有多少颗？题目11：某活动每5天举办一次手工课，每7天举办一次科普课，若今天同时举办，至少多少天后再次同时举办？2.最大公约数应用（“最大”“无剩余”类问题）题目12：把长12厘米、宽8厘米的长方形纸剪成同样大的正方形（无剩余），正方形边长最大是多少？能剪多少个？题目13：用长15分米、宽9分米的长方形瓷砖铺地，要求瓷砖整块使用，正方形地面的边长最小是多少？3.混合应用（“余/缺”类问题）题目14：某班学生排队，每排6人或8人都余3人，这个班至少有多少人？题目15：一批货物，每箱装10个或12个都缺2个，这批货物至少有多少个？解题思路与技巧1.基础题型思路列举法：适合数字较小的情况。先列每个数的因数（或倍数），再找公有的最大因数（或最小倍数）。例（题目5）：18的因数：1、2、3、6、9、18；24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24。公有的因数中最大的是6（最大公约数）。18的倍数：18、36、54、72…；24的倍数：24、48、72…。公有的倍数中最小的是72（最小公倍数）。分解质因数法：将数拆为质数相乘的形式，最大公约数取“公有的质因数的最低次幂乘积”，最小公倍数取“公有的质因数的最低次幂×各自独有的质因数的最高次幂”。例（题目6）：20=2²×5，30=2×3×5。公有的质因数是2和5，最大公约数=2×5=10；最小公倍数=2²×3×5=60。短除法：用公有的质因数依次除，直到商互质。最大公约数是“除数的乘积”，最小公倍数是“除数×最终商的乘积”。例（题目7）：用5除15和25，商3和5（互质）。最大公约数=5；最小公倍数=5×3×5=75。2.综合应用思路最小公倍数类：问题中出现“至少”“刚好分完”“再次同时”等关键词，需找最小公倍数。例（题目10）：糖果数是5和7的公倍数，“至少”即最小公倍数，5和7互质，最小公倍数=5×7=35。最大公约数类：问题中出现“最大”“无剩余”“整块使用”等关键词，需找最大公约数。例（题目12）：正方形边长是12和8的最大公约数，12和8的最大公约数是4（边长4厘米）。个数=（12÷4）×（8÷4）=3×2=6个。混合应用类：先求最小公倍数（或最大公约数），再结合“余/缺”调整。例（题目14）：先求6和8的最小公倍数（24），“余3人”则总数=24+3=27人。总结公约数和公倍数的训练核心是理解数字关系（互质、倍数、一般）与方法迁移（从