圆锥曲线综合大题-高二数学期末复习专项训练（解析版）

轴上.入韦达定理式即可.a2-c2(y=k(x-1),(y=k(x-1),可.4 42|=所以|AB|=(1+k2([(x1+x2(2-4x1x2[=42|====2(2k2-1(y22x22y22x22+即可得解.由得(2t2+3(y2-4ty-4=0，-4M·FN=0，∴(x1-1((x2-1(+y1y2=0，∴(ty1-1-1((ty2-1-1(+y14.(25-26高二上·山东济宁·期中)已知线段(y-1)2=1|PQ|.【详解】(1)设MN的中点为B(x,y(,N(x0,y0(，(2)设P(x1,y1(,Q(x2,y2(，由直线l过点A(-1,0(且与圆E有两个交点，所以直线l的斜率存在且不为0.-1((my2-1(+y1⋅y2=r=2. (ii)通过证明直线AQ与BC的斜率关系判断两直线的位置关系.(2)(i)设直线l的方程为y=kx+m,C(x1,y1(,D(x2,y2(,B(1,0)，x1x2+(m-k+km)整理得(k+m)(k-m+2)=0，所以m=-k或m=k+2，当m=-k时，直线l的方程为y=kx-k，过点(-1,2)；又直线BD方程为：y=k2(x-1)，联立y=-2x与y说明理由.比较即可.a2-4a2-b2=4AB|=45+|AB|-(|AF2|+故当A,B,F2三点共线时，C取得最大值；因直线AB的斜率不为0，则可设直线AB:x,则|y1-y，则SH||y1-y，则不存在点A,B使得C和S同时取到最大值.,F,F2分别是CPF2|为定值. (3)记点P的轨迹为Γ,动直线l:y=kx+m与Γ交于M,N两点，求△OMN面积的最大值.3x223x22FP为BF1FF2ca4x22=232ca4x22=2322所以(2x0+3(y2-2(x0+1(y0y-y=0，所以yA+yD，所以yD=-y0=-，(--1=-，所以D(-,-，所以B,，，2x0,F2,F2((x2++k2-36m2+k2-36m2 S的最小值．后再结合a2-b2=c2即可求解；2-b2=c2=3-yt+4，所以S1=t(y1-y2(，S2=(4-t((y1-y2(，所以S-S1S2+S=t2(y1-y2(2-(y1-y2(2+(4-t)2(y1-y2(2=(y1-y2(2(t2-4t+t2+16-8t+t2(=t2-12tM,N两点，与双曲线C2的右支交于另一点P，满足AM范围.2=2-a2=1-=，(12-4k2(x2-4k2x-(k2+3(=0,，因为xA=-为方程的一个根，所以x-3,0(∪(0,3(,又由.化简得k2x2+(k2-4(x+=0,Δ ,y2(而F2A=(x1-1,y1(=(my1-2,y1(，F2B=(my2-2,y2-2((my2-2(+y1y2=(m2+1(y1y2-2m(y1+y2(+4-1)2+y=(x1-1)2+(5-my1((5-my2(=25-5m(y1+y2(+m2y1y2=75m2+100-30m2-9m2=9m2+25①求E的方程；，A(x1,y1(,B(x2,y2(.2(x2PG的斜率为-1. 由(1)知=-,=-+c=.②设M(x3,y3(,N(x4,y4(.当直线SM,SN的斜率均存在时，设直线SM的方程为y-2=k(x-2(，则直线SN的方程为y-2=-(x-2(.由x-2(，得(2k2+1(x2-42k(2k-1(x+8k2-82k-4=0.Δ=[-42k(2k-1([2-4(2k2+1((8k2-82k-4(=16(2k+1(2>0.所以k≠-.所以y3=k(x3-2(+2=.即M,(.以-代k得x4==4(-2-4、2·(--2=2(-2+1-2k2+42k+44=4=-22(-2-4(-+22(-2+1=.即N,. 4k-22--22k2-4k+2 3k-2(=-2k2+3k-20-4(k2+1((2k2-32k-2(2k2-32k-2所以直线MN的方程为：y-=--x-(=则M(-2,2(,N(2,-2(，或交换.此时MN的方程为y+x-2(，即y=-x.过S,-.(ii)证明：存在关于x轴对称的两个定点M，N，使得直线AB过M或N．(ii)直线AB恒过定点M(-1,2(或N(-1,-2(，且这两个定点关于x轴对称，证明过程见解析.【详解】(1)抛物线C:y2=ax经过点P(3-22,o22-2(，直线FA,FB斜率分别为k+1((1-k2(=-(k2+1((1-k1(→-2k1k2+2=0→k1k2=1，故k1k2为定值.-4y+4b=0， 定点(-1,-2(，因此，直线AB恒过定点M(-1,2(或N(-1,-2(，这两个定点关于x轴对称.(2)过点Q(-4,0(且斜率不为0的直线l与C相交于点E，F(E在F的左侧).径rB4)(x2值-1；②设△AMB的内心I到三边的距离为r，AF可写为：y=-k1(x+1(=(x1-1)2+y，1-代入化简得：MB|=(x1-1)2+y-2(2=2-；14.(25-26高二上·重庆·月考)已知动点M(x,y(与定点R(22,0(的距离和M到定直线l:x=42的距离 求|EH|+|GH|-|GR|的最小值；最小值为|E,R,|-8=82-8；-2,0(,(2,0(或(2,0(,(-2,0(，使|QS|+|QT|=42为定值.【详解】(1)由题意得(x-22(2+y2=|x-42|，两边平方得2(x-2-8=22，-|GR,|其中当R,,G,H三点共线时，|GH|+|GR,|取得最小值|HR,|，(故|EH|+|GH|-|GR|的最小值为82-8.22m2 B(x2,y2(，x1x2=-4，3x4=-4t．易知直线EM，EN的斜率存在，设直线EM的方程为y-x=m(x-x3(，由{2=m(x-x3(，得x2-4mx+4mx3-x=0．由Δ=(-4m(2-4(4mx3-x(=0，解得m=，所以直线EM的方程为y=x3x-x，即4y=2x3x-x．同理可得，直线EN的方程为4y=2x4x-x．设E(n,-1(，代入直线EM、EN中，-4=2nx3-x，-4=2nx4-x，即x-2nx3-4=0，x-2nx4-4=0，所以x3，x4可看作方所以直线MN的方程为y=kx+1，故直线MN过定点(0,1(．(2)设椭圆的左、右顶点分别为A,B，过点F的直线l与椭圆交于M,N两点(异于A,B)．(2)①设过点F(1,0(的直线方程为x=my+1，点M(x1,y1(,N(x2,y2(，-4=，得m=±6:直线l的方程为3x±6y-3=0．②由①知A(-2,0(,B(2,0(，M(x1,y1(,N(x2,y2(，:直线BM:y=-(x-2(，直线AN:yx+2(， 斜率为-1的直线l与C交于M,N两点．4x(2)y=-x+1(3)证明见解析+y2=-4,y1y2=-4m，则|MN|=1+(-1(2.|y1-y2|= -1的直线l与C交于M，N两点．(3)由两点间斜率公式结合(2)中的t>0即t>-1，y1+y2=-4，y1y2=-4t，所以直线l的方程为y=-x+1；因为y1+y2=-4，y1y2=-4t，点为P. ry=整理得(2k2+1(x2-4k2x+2k2-4=0(Δ>0(，设A(x1,k(x1-1((,B(x2,k(x2-1((，则xx1x②,P(-2,0(,:直线PA的方程为yx+2(，值.所以直线AB的方程为yx+4(，即x=3y-4，设△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x4x-2y4y+F=0，得x+y-2x4x1-2y4y1+F=0，x+y-2x4x2-2y4y2+F=0，两式相减得x-x+y-y=2x4(x2-x1(+2y4(y2-y1(，(x2+x1(k2-(x3+x2(k1x2-x1x2-x3 x3-x1，将k1=(x2+x1(k2-(x3+x2(k1x2-x1x2-x3--，因为x-x=-(y-y(，x-x=-(y-y(，双曲线C的一条渐近线方程为2x-y=0.值. 值.则直线AD:x与椭圆方程联立，消去x可得：[(x0-2(2+3y[y2+4(x0-2(y0y-2y=0，即(10-4x0(y2+4(x0-2(y0y-2y=0．10-4x0，显然Δ>0,y0y1=10-4x0，2+y2=r2锥曲线C：Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0.则称点P(x0,y0(和直线l：Ax0x+By0y+D(x+x0(+E(y+y0(+F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线.已知点P(p,0((p>a(和直线l为椭圆C：+x+y0y=r2(2)xx0+yy0=r2(3)①x=②证明见解析∴x+y=r2， (2)如图，设A(x1,y1(,B(x2,y2(,所以Δ=4b4m2p2-4b2(p2-a2((a2+b2m2(=4b4m2p2-4b2(p2a2+p2b2m2-a4-a2b2m2((y1-t((my2+p-+(y2-t((my1+p-+2t(my1+p-my2+p-=0，也就是2m(p-+2m2ty1y2+(p-2+tm(p-(y1+y2(=0，也就是2m(p-+2m2t.+(p-也就是m(p-+m2t.b2(p2-a2(+(p-2+tm(p-2+tm(p-(-b2mp(=0，也就是mtb2(p2-a2(-b2ptm(p也就是mtp2-a2(-ptm(pp-+mt.(p-(p-2+tm(p-=0，PQ=kQA+kQB.(2)过焦点F的直线l与抛物线C交于M,N两点(异于A,B两点)，且M,A位于x轴同一侧，直线AM与BN相交于点G.立方程求出p的值即可；4t,y1y2=-4， 由消去y得：=-4，整理得x=1-=1-=1-=1-=-1，因此点G的横坐标恒为-1，所以点G在定直线m:x=-1上；②由m:x=-1，可设H(-1,h)，结合y1y2=-4，得y+4y+416+4(y+y)+yy4y1-4h+4y2-4h=-32h+16(y1+y2)-y+4y+416+4(y+y)+yy=-32h+16(y1+y2)-4h(y+y)-16(y1D(x0,y0((0<x0<a,y0>0(是椭圆上的一点，直线DB与椭圆的另一个交点为E，直线DC与椭圆的另一个交点为F，椭圆在E,F两点处的切线l1与l2相交于点P(m,n(，线段DP的中点为G，设直线DB，DC【详解】(1)设E(x1,y1(,F(x2,y2(，-1-a，-2a(2+a(y+a2-8=0，(2-a(y+a，得[(2-a(2+4[y2+2a(2-a(y+a8(y2-y1(8(y2-y1(又x1=(2+a(y1-a，x2=(2-a(y2+a，所以xP=x1y2-x2y1=[(2+a(y1-a[y28(y2-y1(8(y2-y1(=-2，=8-=8(a2-8(×(8a(=-2，-a+-(a2-8(×(-32a( 26.(25-26高二上·贵州贵阳·期中)已知曲线W上的动点M(x,y)满足点M与定点F(1,0)的距离和M到+y.点P为l一动点.所以直线AB过定点(1,0).3m2-2-2k因此|MC|.|MD|=-M.M=-(M+O).(M+O)22=-MO-OC.MO-OD.MO-OC.22FFQF2=．A,B分别为C右支于E,F两点，其中点E在x轴上方，直线EA与FB交于点P．F FFFQ的方程为x=-5；②易知直线EF的斜率不为零，则可设直线EF的方程为x=my+2，设E(x1,y1(,F(x2,y2(，1则直线EA:yx+1(，直线FB:yx-1(，联立可得my1y2+(y1+y2 +y2所以点P到直线F1Q的距离为-(-5(=+(2)过椭圆C的右焦点F2作直线交椭圆于M，N两点.直k2=-；理化简计算即得定点.设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设A在第一象限，B在第三象限，则x1=则x1=,x2=-,分别代入y=kx中,解得y1=k,y2=- -12k21-3(4k2+3)x+363代入(*)，可得k1.k2=(4k2+ -12k21-3(4k2+3)x+363-9=0，显然Δ>0，设点M(x3,y3),N(x4,y4)，于是直线NH的方程为：y-y由图形的对称性(交换点M和点N的位置)可知直线NH必经过x轴上的一个定点， 5故直线NH经过定点E. 地求解证明.2x±y-2=0,y2((i)当1不垂直x轴时,设的方程为y=k(x-1)2.x'+3y'+2x⃞'+3y2+4x,x,+6yy,=6于是x1+xx1xy1y2=k2(x1-1((xx2=于是y1+y2=k(x1+x2-2(=-，即P,-因此，当k=(2)设点P(x0,y0(其中x0≠0,y0≠0，因的方程为y-yx-x0(，进而得到|O