2024-2025学年广东省广州市荔湾区九年级上学期期末数学试卷（含答案）

第1页（共1页）2024-2025学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列方程为一元二次方程的是（）A．x+2y＝0 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3+3 D．3x＝13．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．某校300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天 B．圆内接四边形的对角互余 C．直径是圆中最长的弦 D．打开电视，正在播放《新闻联播》4．（3分）如图，已知点A，B，C在⊙O上，∠COA＝100°，则∠CBA＝（）A．40° B．80° C．50° D．200°5．（3分）对于二次函数y＝﹣（x+1）2+4，下列说法正确的是（）A．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 B．函数图象的对称轴是直线x＝1 C．函数有最大值1 D．函数图象与x轴有2个交点6．（3分）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，设五月份和六月份该社区绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（）A．25（1+x）+25（1+2x）＝49 B．25（1+x）2＝49 C．25（1﹣x）2＝49 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝497．（3分）如图，AD是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠A．20° B．25° C．30° D．40°8．（3分）游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（）秒．A．2 B．4 C．6 D．89．（3分）已知△ABC的边BC=22，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠AA．60° B．45° C．45°或135° D．60°或120°10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③若y≤c，则﹣2≤x≤0；④a+c=12其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）11．（3分）若点（a，4）与点（2，﹣4）关于原点对称，则a＝．12．（3分）将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度．所得到的抛物线解析式为．13．（3分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则代数式m2﹣2m+mn的值为．14．（3分）如图，这是某电路的示意图，随机闭合开关S1，S2，S3，中的任意2个，能同时使2盏小灯泡发光的概率是．15．（3分）如图是一个残缺圆的一段圆弧，在圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，交AB于点C．已知AB＝43cm，CD＝2cm，则阴影部分的面积为cm2．16．（3分）如图，等边△ABC内接于⊙O，BC＝123，点D为BC上一动点，BE⊥OD于点E，当点D由点B沿BC运动到点C时，线段AE的最大值是．三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．18．（4分）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣10x+4m＝0的两个实数根，且x1+x2+x1x2＝26，求m的值．19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），B（3，3），C（0，﹣1）．（1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′B′C；（2）在（1）的条件下，①点A′的坐标为；②点B经过的路径BB′的长为（结果保留π）．20．（6分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣2，﹣1，1的三个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．（1）从中任取一球，将球上的数字记为a，则二次函数y＝ax2﹣2x+3的图象开口朝下的概率为；（2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，用树状图或列表法表示出点（x，y）所有可能出现的结果，并求点（x，y）在以原点为圆心，5为半径的圆内的概率．21．（8分）如图，以点O为圆心，AB为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，使得∠DCB＝∠DAC，过点A作AE垂直于AD交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，AD＝8，求AE的长．22．（10分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝﹣2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）请直接写出y与x的关系式；（2）当销售单价x为何值时，销售利润的值最大，最大值为多少？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+94（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，连结（1）求抛物线的解析式；（2）求线段AB的长度；（3）点P是抛物线上的一个动点，满足∠PBA＝∠CAB，求点P的坐标．24．（12分）已知抛物线G：y＝ax2+bx+c（a＞0）过点A（x1，2），点B（x2，2），点C（1，﹣3a+c）．直线l：y＝kx+n过点D（2，0），交线段AB于点E，记△ADE的面积为S1，△BDE的面积为S2，且S1＝S2+4．（1）用含a的式子表示b；（2）求直线l：y＝kx+n的解析式；（3）当x1＜x2，c＝3a时，已知点F（5，m）在直线l上，若抛物线G与线段DF有且只有一个交点，求a的取值范围．25．（12分）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，分别与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于A，D两点，PB＝2，点M与点A关于点P成中心对称．（1）请直接写出点B，点M的坐标；（2）动直线l从与BA重合时开始绕点B顺时针旋转角度α（0°＜α＜60°）后，与直线CM相交于点E，过点E作EG⊥x轴，垂足为G，Q为BE的中点，连接MQ，QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，请求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．（3）将（2）中的0°＜α＜60°改为0°＜α＜180°，其余条件不变，当△MQB为等边三角形时，求点G的坐标．

2024-2025学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ABCCDBADCD一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可．【解答】解：A既是轴对称图形，也是中心对称图形，则A符合题意；B是轴对称图形，但不是中心对称图形，则B不符合题意；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，则C不符合题意；D不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．2．（3分）下列方程为一元二次方程的是（）A．x+2y＝0 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3+3 D．3x＝1【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．【解答】解：A、x+2y＝0含有两个未知数，且未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；B、x2﹣2＝0，是一元二次方程，符合题意；C、x＝2x3+3未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；D、3x＝1未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握其定义即可求解．3．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．某校300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天 B．圆内接四边形的对角互余 C．直径是圆中最长的弦 D．打开电视，正在播放《新闻联播》【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、某校300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天，是随机事件，不符合题意；B、圆内接四边形的对角互补，故本选项事件是不可能事件，不符合题意；C、直径是圆中最长的弦，是必然事件，符合题意；D、打开电视，正在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（3分）如图，已知点A，B，C在⊙O上，∠COA＝100°，则∠CBA＝（）A．40° B．80° C．50° D．200°【分析】根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵∠COA＝100°，∴∠CBA=12∠COA故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键．5．（3分）对于二次函数y＝﹣（x+1）2+4，下列说法正确的是（）A．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 B．函数图象的对称轴是直线x＝1 C．函数有最大值1 D．函数图象与x轴有2个交点【分析】由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，4），则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，函数有最大值4．令﹣（x+1）2+4＝0，可得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×3＝16＞0，即函数图象与x轴有2个交点．【解答】解：由二次函数y＝﹣（x+1）2+4可知，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，4），∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，函数有最大值4，故A，B，C选项不正确，不符合题意；令﹣（x+1）2+4＝0，整理得，﹣x2﹣2x+3＝0，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×3＝16＞0，∴函数图象与x轴有2个交点．故D选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6．（3分）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，设五月份和六月份该社区绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（）A．25（1+x）+25（1+2x）＝49 B．25（1+x）2＝49 C．25（1﹣x）2＝49 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝49【分析】根据增长率公式列出方程即可．【解答】解：根据题意得：25（1+x）2＝49．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（3分）如图，AD是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠A．20° B．25° C．30° D．40°【分析】连接OB、OC，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BOC的度数，由圆周角定理求出∠BPC的度数，再根据三角形内角和定理求出∠PBC的度数即可．【解答】解：如图，连接OB、OC．∵AB=∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD=180°∴∠BPC=12∠∵∠PCB＝130°，∴∠PBC＝180°﹣∠PCB﹣∠BPC＝180°﹣130°﹣30°＝20°．故选：A．【点评】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系及三角形内角和定理是解题的关键．8．（3分）游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（）秒．A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据函数的图象的横坐标表示时间，纵坐标表示摆锤相对地面的高度，可得答案．【解答】解：由题意可知，从最高点A运动到另一侧的最高点需要4秒，所以从另一侧的最高点返回点A也需要4秒，所以锤从A点出发再次回到A点需要8秒．故选：D．【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的横坐标得出时间；观察函数图象的纵坐标得出摆锤相对地面的高度，利用数形结合的思想方法是解答本题的关键．9．（3分）已知△ABC的边BC=22，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠AA．60° B．45° C．45°或135° D．60°或120°【分析】连接OB、OC，则OB＝OC＝2，由OB2+OC2＝BC2＝8，证明∠BOC＝90°，再分两种情况讨论，一是顶点A与圆心O在直线BC的同侧，则∠A=12∠BOC＝45°；二是顶点A与圆心O在直线BC的异侧，在⊙O上取一点D，使点D与圆心O在直线BC的同侧，连接BD、CD，则∠D=12∠BOC＝45°，所以∠【解答】解：连接OB、OC，∵BC＝22，⊙O的半径长为2，∴OB＝OC＝2，∵OB2+OC2＝22+22＝8，BC2=(22∴OB2+OC2＝BC2，∴△BOC是直角三角形，且∠BOC＝90°，如图1，顶点A与圆心O在直线BC的同侧，则∠A=12∠如图2，顶点A与圆心O在直线BC的异侧，在⊙O上取一点D，使点D与圆心O在直线BC的同侧，连接BD、CD，∵∠A+∠D＝180°，且∠D=12∠∴∠A＝180°﹣∠D＝180°﹣45°＝135°，综上所述，∠A的度数为45°或135°，故选：C．【点评】此题重点考查勾股定理的逆定理、圆周角定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③若y≤c，则﹣2≤x≤0；④a+c=12其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由抛物线的开口方向得到a＞0，由抛物线的性质得到对称轴，则利用对称轴方程得到b＝2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，则可对①进行判断；再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为（1，0），即x＝1时，y＝0，则可对②进行判断；由于抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），利用抛物线的对称性得到点（0，c）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，c），则利用函数图象，当y≤c时，﹣2≤x≤0，于是可对③进行判断；由于当x＝﹣1，m＝a﹣b+c，加上b＝2a，a+b+c＝0，所以c＝﹣3a，然后用a表示m，用a表示a+c，从而可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），∴抛物线的对称轴为直线x=-b∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3，0），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的一个交点为（1，0），即x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），而点（0，c）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，c），∴当y≤c时，所以③正确；当x＝﹣1时，m＝a﹣b+c，∵b＝2a，a+b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴m＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，而a+c＝a﹣3a＝﹣2a，∴a+c=12m，所以故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；当a与b同号时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了数形结合的思想．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）11．（3分）若点（a，4）与点（2，﹣4）关于原点对称，则a＝﹣2．【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案．【解答】解：∵点（a，4）与点（2，﹣4）关于原点对称，∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键．12．（3分）将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度．所得到的抛物线解析式为y＝（x+1）2+2．【分析】根据函数的平移规律“上加下减，左加右减”进行求解即可．【解答】解：将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度．所得到的抛物线解析式为：y＝（x+1）2+2，故答案为：y＝（x+1）2+2．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解本题的关键．13．（3分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则代数式m2﹣2m+mn的值为0．【分析】利用根与系数关系，余角整体代入的思想求解．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，∴mn＝﹣3，m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴m2﹣2m+mn＝3﹣3＝0．故答案为：0．【点评】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x214．（3分）如图，这是某电路的示意图，随机闭合开关S1，S2，S3，中的任意2个，能同时使2盏小灯泡发光的概率是23【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及能同时使2盏小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：由图可知，闭合开关S1和S2可以使小灯泡L1和L2发光，闭合开关S1和S3可以使小灯泡L1和L3发光．画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中能同时使2盏小灯泡发光的结果有：（S1，S2），（S1，S3），（S2，S1），（S3，S1），共4种，∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是46故答案为：23【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．15．（3分）如图是一个残缺圆的一段圆弧，在圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，交AB于点C．已知AB＝43cm，CD＝2cm，则阴影部分的面积为83πcm2【分析】如图，设圆心为O，连接OA，OB，CB．四边形AOBC是菱形，推出OA∥BC，推出S△ABC＝S△OBC，推出S阴＝S扇形BOC可得结论．【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，CB．设OA＝OC＝rcm．∵OC垂直平分线段AB，∴AD＝DB=12AB＝23（在Rt△ADO中，r2＝（23）2+（r﹣2）2，解得r＝4，∴OA＝OC＝OB＝CO＝4（cm），∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵AC=AD2∴AC＝BC＝OA＝OB，∴四边形AOBC是菱形，∴OA∥BC，∴S△ABC＝S△OBC，∴S阴＝S扇形BOC=60π×42360=故答案为：83π【点评】本题考查扇形的面积，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．（3分）如图，等边△ABC内接于⊙O，BC＝123，点D为BC上一动点，BE⊥OD于点E，当点D由点B沿BC运动到点C时，线段AE的最大值是67+6【分析】连接OB，OC，延长BO交AC于点H，设OB的中点为T，以点T为圆心，TB为半径作⊙T，连接AT交⊙T于点F，根据等边三角形及其外接圆的性质得CH＝AH=63，∠CBH＝∠OCH＝30°，再根据勾股定理得BH＝18，OH＝6，则OB＝OC＝12，TB＝TO＝6，根据BE⊥OD得∠OEB＝90°，则当点D由点B沿B弧C运动到点C时，点E在⊙T上运动，根据点与圆的位置关系得：当点E于点F重合时，AE为最大，最大值是线段AF的长，然后在Rt△AEF中，由勾股定理求出AT=67，进而得【解答】解：连接OB，OC，延长BO交AC于点H，设OB的中点为T，以点T为圆心，TB为半径作⊙T，连接AT交⊙T于点F，如图所示：∵等边△ABC内接于⊙O，且BC=123∴AC＝BC＝AB=123，∠CBA＝∠BCA∴BH⊥AC，CH＝AH=12AC=63，∠CBH在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=B在Rt△OCH中，∠OCH＝30°，∴OC＝OB＝2OH，∴BH＝OB+OH＝3OH＝18，∴OH＝6，∴OB＝OC＝2OH＝12，∴TB＝TO＝6，∴⊙T的半径为6，即TF＝TB＝6，∵BE⊥OD于点E，∴∠OEB＝90°，∴点E在⊙T上，即当点D由点B沿B弧C运动到点C时，点E在⊙T上运动，根据点与圆的位置关系得：当点E于点F重合时，AE为最大，最大值是线段AF的长，在Rt△AEF中，TH＝TO+OE＝6+6＝12，AH=63由勾股定理得：AT=T∴AF＝AT+TF=67∴线段AE的最大值是67【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．【分析】利用因式分解法运算求解即可．【解答】解：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，（x﹣2）（2x﹣5）＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣5＝0，∴x1＝2，x2=5【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键．18．（4分）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣10x+4m＝0的两个实数根，且x1+x2+x1x2＝26，求m的值．【分析】利用根与系数关系构建方程求解．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣10x+4m＝0的两个实数根，∴x1+x2＝10，x1x2＝4m，∵x1+x2+x1x2＝26，∴10+4m＝26，∴m＝4．【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x219．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），B（3，3），C（0，﹣1）．（1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′B′C；（2）在（1）的条件下，①点A′的坐标为（﹣1，3）；②点B经过的路径BB′的长为52π（结果保留【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．（2）①由图可得答案．②利用勾股定理求出BC的长，再利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）如图，△A′B′C即为所求．（2）①由图可得，点A′的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．②由勾股定理得，BC=4∴点B经过的路径BB′的长为90π×5180故答案为：52【点评】本题考查作图﹣旋转变换、勾股定理、弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、弧长公式是解答本题的关键．20．（6分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣2，﹣1，1的三个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．（1）从中任取一球，将球上的数字记为a，则二次函数y＝ax2﹣2x+3的图象开口朝下的概率为23（2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，用树状图或列表法表示出点（x，y）所有可能出现的结果，并求点（x，y）在以原点为圆心，5为半径的圆内的概率．【分析】（1）根据二次函数的性质和概率公式求解；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果，再根据点与圆的位置关系得到有2个点在⊙O内，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）三个数值有2个负数，所以从中任取一球，将球上的数字记为a，则二次函数y＝ax2﹣2x+3的图象开口朝下的概率=2故答案为：23（2）画树状图为：共有6种等可能的结果，它们是（﹣2，﹣1），（﹣2，1），（﹣1，﹣2），（﹣1，1），（1，﹣2），（1，﹣1），其中有2个点在⊙O内，它们是（﹣1，1），（1，﹣1），所以点（x，y）在以原点为圆心，5为半径的圆内的概率=2【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了二次函数的性质和点与圆的关系．21．（8分）如图，以点O为圆心，AB为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，使得∠DCB＝∠DAC，过点A作AE垂直于AD交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，AD＝8，求AE的长．【分析】（1）连接OC，则OC＝OA，所以∠OCA＝∠DAC，因为∠DCB＝∠DAC，所以∠DCB＝∠OCA，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，可推导出∠OCD＝∠ACB＝90°，即可证明CD是⊙O的切线；（2）由AE⊥OA，证明AE与⊙O相切于点A，而CE于⊙O相切于点C，则AE＝CE，因为CD＝4，AD＝8，且AD2+AE2＝DE2，所以82+AE2＝（4+AE）2，求得AE＝6．【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA，∴∠OCA＝∠DAC，∵∠DCB＝∠DAC，∴∠DCB＝∠OCA，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCD＝∠OCB+∠DCB＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AE⊥AD，即AE⊥OA，∴AE与⊙O相切于点A，∠DAE＝90°，∵CE于⊙O相切于点C，∴AE＝CE，∵CD＝4，AD＝8，∴DE＝4+CE＝4+AE，∵AD2+AE2＝DE2，∴82+AE2＝（4+AE）2，解得AE＝6，∴AE的长为6．【点评】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，推导出∠DCB＝∠OCA是解题的关键．22．（10分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝﹣2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）请直接写出y与x的关系式y＝﹣2x2+320x﹣9600；（2）当销售单价x为何值时，销售利润的值最大，最大值为多少？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？【分析】（1）根据销售利润＝每千克的利润×销售量列出函数解析式即可；（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可．（3）令y＝2400时，求出x的解，再根据题意•解答即可．【解答】解：（1）y＝（x﹣40）•w＝（x﹣40）•（﹣2x+240）＝﹣2x2+320x﹣9600，∴y与x的关系式为：y＝﹣2x2+320x﹣9600，故答案为：y＝﹣2x2+320x﹣9600；（2）y＝﹣2x2+320x﹣9600＝﹣2（x﹣80）2+3200，∵﹣2＜0，∴当x＝80时，y的值最大，最大值为3200，∴当销售单价x为80元时，销售利润的值最大，最大值为3200元；（3）当y＝2400时，可得方程﹣2（x﹣80）2+3200＝2400，解得x1＝60，x2＝100，∵物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，∴x＝60，∴当销售单价为60元时，可获得销售利润2400元．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+94（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，连结（1）求抛物线的解析式；（2）求线段AB的长度；（3）点P是抛物线上的一个动点，满足∠PBA＝∠CAB，求点P的坐标．【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝9a+9（2）令y=-14（x+1）2+94=（3）当点P在x轴下方时，∠PBA＝∠CAB，则PB∥AC，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=12x+2，则直线PB的表达式为：y=12（x﹣2），当点P在x轴上方时，则PB的表达式为：y【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝9a+94，则a则抛物线的表达式为：y=-14（x+1）2（2）令y=-14（x+1）2+94=则AB＝2﹣（﹣4）＝6；（3）当点P在x轴下方时，∵∠PBA＝∠CAB，则PB∥AC，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=12则直线PB的表达式为：y=12（当点P在x轴上方时，则PB的表达式为：y=-12（联立PB和抛物线的表达式得：12（x﹣2）=-14（x+1）2+94或-12（x﹣2）解得：x＝2（舍去）或﹣6或﹣3，则点P（﹣6，﹣4）或（﹣3，-5【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．24．（12分）已知抛物线G：y＝ax2+bx+c（a＞0）过点A（x1，2），点B（x2，2），点C（1，﹣3a+c）．直线l：y＝kx+n过点D（2，0），交线段AB于点E，记△ADE的面积为S1，△BDE的面积为S2，且S1＝S2+4．（1）用含a的式子表示b；（2）求直线l：y＝kx+n的解析式；（3）当x1＜x2，c＝3a时，已知点F（5，m）在直线l上，若抛物线G与线段DF有且只有一个交点，求a的取值范围．【分析】（1）将C点坐标代入抛物线解析式即可求解；（2）将D点坐标代入直线解析式，求k和n的关系，将y＝2代入直线解析式，求解E点坐标，根据D到直线AB的距离，可以求出AE和BE的数量关系，代入计算取出k值即可；（3）根据c＝3a，求出C点坐标和抛物线解析式，根据F在直线l上，求出F的坐标，在根据抛物线G与线段DF有且只有一个交点判断F与抛物线的位置关系，代入求解a的取值范围即可．【解答】解：（1）令x＝1，则y＝a+b+c＝﹣3a+c，∴b＝﹣4a；（2）∵直线l：y＝kx+n过点D（2，0），∴0＝2k+n，∴n＝