2023-2024学年广东深圳龙华中学高一(上)二段考数学试题及答案

2023-2024学年广东省深圳市龙华中学高一（上）第二次段考数学试卷一.单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）15分）已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B=()A．{x|1＜x≤3}B．{x|0≤x＜4}C．{x|1≤x≤3}D．{x|0＜x＜4}035分）若函数f（xx2﹣2mx+1在[2，+∞)上是增函数，则实数m的取值范围是()45分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞)内是增函数，又f(﹣30，则不等式x•f（x0的解55分）已知函数的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于()65分）已知a＝0.991.01，b＝1.010.99，c＝log1.010.99，则()A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜aD．c＜a＜b75分）函数f（x3x+x3的零点所在区间为()85分）已知在R上是减函数，那么a的取值范围是()二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）95分）下列结论正确的是()A．若a＞b，则a2＞b2B．若ac2＜bc2，则a＜bC．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dD．若a＞b，c＞d，则ac＞bd（多选）105分）已知函数，则下列结论正确的是()A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）的值域为(﹣1，1）C．函数f（x）的图象关于y轴对称D．函数f（x）在R上为增函数（多选）115分）设a＝log63，b＝log62，则下列结论正确的是()A．a+b＝1B．log32＝b﹣aC．log6=﹣2aD．log624＝1+b2（多选）125分）定义在R上的奇函数f（x满足f（1+xf（3﹣x）且f（x）在[0，2]上单调递减，f（2）=﹣2，则()A．函数f（x）图象关于直线x＝2对称B．函数f（x）的周期为6C．f（2024）+f（2022）＝2D．设g（xe﹣|x+2|(﹣6＜x＜2f（x）和g（x）的图象所有交点横坐标之和为﹣4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）135分）函数是幂函数，且在（0，+∞)上是减函数，则实数m=.145分）函数f（xln（x﹣1）+的定义域是.155分）函数y＝ln[（4﹣x2+x）]的单调减区间是.165分）已知函数f（x|g（x﹣1）|﹣k有两个零点分别为a，b，则a+b的取值范围是.四、解答题（本大题共6小题，共70分）1710分）计算.（12）log28﹣lg0.01﹣ln11812分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}.（2）当m＞0，n＞0且满足时，有2m+n≥k2+k+2恒成立，求实数k的范围.1912分）已知函数f（x）=（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）当xe（1，+∞)时，判断f（x）的单调性并证明.2012分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（xx2+2x﹣3.（1）求f（x）的解析式；（2）求不等式f（1﹣2xf（x+3）的解集.2112分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.（1）若一条鲑鱼的游速为2m/s，求该鱼的耗氧量的单位数；（2）假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，12s后甲正好追上乙，求甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值.2212分）已知函数f（xex+（1+a）e﹣x.（1）若f（x）是偶函数，求a的值；（2）若对任意xe（0，+∞),不等式f（x）≥a+1恒成立，求a的取值范围.2023-2024学年广东省深圳市龙华中学高一（上）第二次段考数学试卷一.单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）15分）已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B=()A．{x|1＜x≤3}B．{x|0≤x＜4}C．{x|1≤x≤3}D．{x|0＜x＜4}【分析】利用集合并集的定义求解即可.【解答】解：因为集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1＜x＜4}，故选：B.【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集的求解，解题的关键是掌握并集的定义，属于基础题.0【分析】命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【解答】解：命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为彐x∈R，再将不等号＞变为≤即可.故选：A.【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题.35分）若函数f（xx2﹣2mx+1在[2，+∞)上是增函数，则实数m的取值范围是()【分析】由函数f（x）＝x2﹣2mx+1开口向上，比较区间端点与对称轴的关系进而求解；【解答】解：f（x）＝x2﹣2mx+1开口向上，在[2，+∞)上是增函数，故选：D.【点评】考查二次函数图象的理解与应用，单调区间与对称轴的关系；45分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞)内是增函数，又f(﹣30，则不等式x•f（x0的解【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.【解答】解：因为f（x）是奇函数，且在（0，+∞)内是增函数，所以f（x）在(﹣∞,0）上单调递增，因为f(﹣3）＝0，所以f（3）＝0，则不等式x•f（x0可转化为或，解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0.故选：C.【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用.55分）已知函数的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于()【分析】构造，确定函数为奇函数，得到g（x）max+g（x）min＝0，计算得到答案.【解答】解：因为，设，函数定义域为R，,所以函数g（x）为奇函数，所以g（x）max+g（x）min＝0，M＝2+g（x）max，m＝2+g（x）min，故M+m＝2+g（x）max+2+g（x）min＝4.故选：B.【点评】本题考查了奇函数的性质，关键是将f（x）拆成一个奇函数与2的和，属于基础题.65分）已知a＝0.991.01，b＝1.010.99，c＝log1.010.99，则()A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜aD．c＜a＜b【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解.【解答】解：0＜a＝0.991.01＜0.990＝1，b＝1.010.99＞1.010＝1，故b＞a＞c.故选：D.【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，属于基础题.75分）函数f（x3x+x3的零点所在区间为()【分析】由函数解析式可知函数的单调性，再结合f(﹣10，f（00得答案.【解答】解：函数f（x）＝3x+x3是定义域(﹣∞,+∞)上的增函数，又f(﹣1）＝＜0，f（0）＝1＞0，所以f(﹣1）•f（00，）＝故选：C.【点评】本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题.85分）已知在R上是减函数，那么a的取值范围是()【分析】根据各段上的单调性和分段处的高低可得关于a的不等式组，求出其解后可得正确的选项.【解答】解：因为f（x）为R上的减函数，所以，解得，即a的取值范围是[.故选：A.【点评】本题主要考查了分段函数的单调性，属于基础题.二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）95分）下列结论正确的是()A．若a＞b，则a2＞b2B．若ac2＜bc2，则a＜bC．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dD．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【解答】解：A．取特殊值，a=﹣1，b=﹣2，显然不满足结论；B．由ac2＜bc2可知，c2＞0，由不等式性质可得a＜b，结论正确；C．由同向不等式的性质知，a＞b，c＞d可推出a+c＞b+d，结论正确；D．取a＝3，b＝0，c=﹣1，d=﹣2，满足条件，显然ac＞bd不成立，结论错误.故选：BC.【点评】本题考查不等式的性质，属于基础题.（多选）105分）已知函数，则下列结论正确的是()A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）的值域为(﹣1，1）C．函数f（x）的图象关于y轴对称D．函数f（x）在R上为增函数【分析】根据分式函数的性质分别进行判断即可.【解答】解：∵2x+1＞0恒成立，∴f（x）的定义域为R，故A正确，==1﹣,∵2x+1＞1，∴01，则022<01＜11，即﹣1＜f（x）＜1，即f（x）的值域为(﹣1，1故B正确，f(﹣x）===﹣f（x即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故C错误，∵y＝2x+1是增函数，∴y＝是减函数，则y=﹣是增函数，则y＝1﹣是增函数，则f（x）在R上是增函数，故D正确，故选：ABD.【点评】本题主要考查分式函数的性质，利用分子常数法分别进行判断是解决本题的关键，是中档题.（多选）115分）设a＝log63，b＝log62，则下列结论正确的是()A．a+b＝1B．log32＝b﹣aC．log6=﹣2aD．log624＝1+b2【分析】由已知结合对数的运算性质检验各选项即可判断.【解答】解：因为a＝log63，b＝log62，所以a+b＝log63+log62＝log66＝1，A正确；log32B错误；log6=﹣log69=﹣2log63=﹣2a，C正确；log624＝log6（4×6）＝1+2log62＝1+2b，D错误.故选：AC.【点评】本题主要考查了对数的运算的应用，属于基础题.（多选）125分）定义在R上的奇函数f（x满足f（1+xf（3﹣x）且f（x）在[0，2]上单调递减，f（2）=﹣2，则()A．函数f（x）图象关于直线x＝2对称B．函数f（x）的周期为6C．f（2024）+f（2022）＝2D．设g（xe﹣|x+2|(﹣6＜x＜2f（x）和g（x）的图象所有交点横坐标之和为﹣4【分析】根据条件求出函数的周期性，利用周期性和对称性，作出函数的图象，利用数形结合进行判断即可.【解答】解：∵f（1+xf（3﹣x==2，则函数f（x）关于x＝2对称，故A正确，=∵f（x）是奇函数，∴f（1+xf（3﹣x）=﹣f（x﹣3即f（x+4）=﹣f（x即f（x+8）=﹣f（x+4f（x即函数的周期为8，故B错误，f（2024）+f（2022）＝f（253×8）+f（253×8﹣2）＝f（0）+f(﹣2）＝0﹣f（2）＝2，故C正确，∵f（x）在[0，2]上单调递减，f（2）=﹣2，∴f（x）在[﹣2，2]上单调递减，f(﹣2）＝2，则f（x）图象关于x=﹣2对称，g（x）＝e﹣|x+2|(﹣6＜x＜2）的图象也关于x=﹣2对称，作出两个函数的图象，则两个函数共有2个交点，则交点关于x＝2对称，则，即x1+x2=﹣4，即交点横坐标之和为﹣4，故D正确，故选：ACD.【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据函数对称性和奇偶性的性质推出函数的周期性，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）135分）函数是幂函数，且在（0，+∞)上是减函数，则实数m＝2.【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得m的值.【解答】解：由于函数是幂函数，故有m2﹣m﹣1＝1，求得m＝2或m=﹣1.根据函数在（0，+∞)上是减函数，可得m2﹣2m﹣1＜0.综合可得，实数m＝2.故答案为：2.【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题.145分）函数f（xln（x﹣1）+的定义域是（1，2）∪（2，+∞).【分析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数f（x）的定义域即可.【解答】解：由题意得：，解得：x＞1且x≠2，故函数f（x）的定义域是（1，2）∪（2，+∞),【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题.155分）函数y＝ln[（4﹣x2+x）]的单调减区间是[1，4）.【分析】求出定义域，再结合复合函数的单调性判断即可.【解答】解：∵y＝ln[（4﹣x2+x）]，∴（4﹣x2+x0，解得﹣2＜x＜4，∴y＝ln[（4﹣x2+x）]的定义域为(﹣2，4设t4﹣x2+x则t的图象是开口向下且以x＝1为对称轴的抛物线，所以t在(﹣2，1）上单调递增，在[1，4）上单调递减，由复合函数的单调可知y＝ln[（4﹣x2+x）]的单调递减区间为：[1，4）.【点评】本题考查了复合函数的单调性，易错点在于确定函数的定义域，属于基础题.165分）已知函数f（x|g（x﹣1）|﹣k有两个零点分别为a，b，则a+b的取值范围是（4，+∞).【分析】根据函数零点可转化为|g（x﹣1）|＝k有2个不等的根，利用对数函数的性质可知b﹣1=,由均值不等式求解即可.【解答】解：假设a＜b，因为函数f（x）＝|g（x﹣1）|﹣k有两个零点分别为a，b，所以﹣lg（a﹣1lg（b﹣1所以a+b＝a+1+a﹣1）++2≥2+2＝4，当且仅当a﹣1＝，即a＝2时等号成立，此时a＝b不满足题意，所以a+b＞4，【点评】本题考查了对数函数的性质、转化思想及基本不等式的应用，属于中档题.四、解答题（本大题共6小题，共70分）1710分）计算.（1）（2）log28﹣lg0.01﹣ln1【分析】（1）结合指数幂的运算性质即可求解；（2）结合对数的运算性质即可求解.【解答】解1）=﹣4+1=﹣;（2）log28﹣lg0.01﹣ln1＝3﹣(﹣2）﹣0＝5.【点评】本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题.1812分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}.（2）当m＞0，n＞0且满足时，有2m+n≥k2+k+2恒成立，求实数k的范围.【分析】（1）由题意可得方程ax2﹣3x+2＝0有两个实根分别为x1＝1，x2＝b，代入求解即可；（2）由基本不等式得（2m+n）min＝8，原不等式等价于8≥k2+k+2，求解即可.【解答】解1）因为不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}.所以关于x的方程ax2﹣3x+2＝0有两个实根分别为x1＝1，x2＝b，且有a＞0，所以ax2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，（2）由（1）知，不等式2m+n≥k2+k+2恒成立，所以：8≥k2+k+2，即k2+k﹣6≤0，即﹣3≤k≤2，所以实数k的范围为[﹣3，2].【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的应用及转化思想，属于中档题.1912分）已知函数f（x）=（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）当xe（1，+∞)时，判断f（x）的单调性并证明.【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义进行检验即可判断；（2）利用函数的单调性的定义证明即可.【解答】解1）f（x）为奇函数，证明如下：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称.∵所以，f（x）为奇函数.（2）证明：假设任意1＜x1＜x2.=,∵1＜x1＜x2，x1﹣x2＜0，x1x2＞1，∴f（x1f（x20，所以f（x）为单调递增函数.【点评】本题考查函数的奇偶性以及核对的单调性的定义的应用，是基本知识的考查.2012分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（xx2+2x﹣3.（1）求f（x）的解析式；（2）求不等式f（1﹣2xf（x+3）的解集.【分析】（1）利用偶函数的定义，求出x＜0时，f（x）的解析式，可得答案.（2）求出函数f（x）在x≥0时的单调性，然后借助偶函数性质列出不等式，解之即可得到本题的答案.【解答】解1）当x＜0时，有﹣x＞0，而f（x）是偶函数，则f（xf(﹣x）=(﹣x）2+2(﹣x）﹣3＝x2﹣2x﹣3，所以函数f（x）的解析式是；（2）依题意，函数f（x）在[0，+∞)上单调递增，且f（x）是偶函数，不等式f（1﹣2xf（x+3即f（|1﹣2x|f（|x+3|可得0≤|1﹣2x|＜|x+3|，所以（1﹣2x）2x+3）2，整理得（3x+2x﹣40，解得，所以不等式f（1﹣2x）＜f（x+3）的解集为.【点评】本题主要考查函数的奇偶性、不等式的解法等知识，考查了