浙江省杭州市第四中学 2026届数学高一上期末综合测试模拟试题含解析

浙江省杭州市第四中学2026届数学高一上期末综合测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数满足：，已知函数与的图象共有4个交点，交点坐标分别为,,,，则：A. B.C. D.2．如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中的值为()A2 B.3C.4 D.53．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.3，则a，b，c三者的大小关系是（）A. B.C. D.4．若幂函数的图象过点，则的值为（）A.2 B.C. D.45．已知是定义在上的奇函数，且当时，，那么A. B.C. D.6．过定点（1,0）的直线与、为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）A. B.C. D.7．方程的解所在的区间是（）A. B.C. D.8．已知，是第三象限角，则的值为（）A. B.C. D.9．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是（）A.5℃ B.10℃C.15℃ D.20℃10．以下命题（其中，表示直线，表示平面）：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则其中正确命题的个数是A.0个 B.1个C.2个 D.3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．一条光线从A处射到点B(0，1)后被轴反射，则反射光线所在直线的一般式方程为_____________.12．第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京—张家口冬奥会”，将于2022.2.4～2022.2.20在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.某公司为迎接冬奥会的到来，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为______.13．若是第三象限的角，则是第________象限角；14．若点P（1，﹣1）在圆x2+y2+x+y+k＝0（k∈R）外，则实数k的取值范围为_____15．已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数k的取值范围是_____________16．如图，直四棱柱的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线与的夹角大小等于______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知全集，集合，（1）当时，求；（2）如果，求实数的取值范围18．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.（1）证明：当时，；（2）设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.19．已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.（1）求的值；（2）证明：是定义域上的减函数；（3）若，解不等式.20．如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，.（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）在线段上寻找一点，使得，请说明作法和理由.21．设函数为常数，且的部分图象如图所示.（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调减区间；（3）若，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】函数的图象和的图象都关于（0，2）对称，从而可知4个交点两两关于点（0，2）对称，即可求出的值【详解】因为函数满足：，所以的图象关于（0，2）对称，函数，由于函数的图象关于（0，0）对称，故的图象也关于（0，2）对称，故.故答案为C.【点睛】若函数满足，则函数的图象关于点对称2、A【解析】由已知可得：该几何体是一个四棱锥和四棱柱的组合体，其中棱柱的体积为：3×2×1=6，棱锥的体积为：×3×2×x=2x则组合体的体积V=6+2x=10，解得：x=2，故选A点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.3、D【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系【详解】∵a=log20.3＜0，b=20.3＞1，c=0.30.3∈（0，1），则a，b，c三者的大小关系是b＞c＞a.故选：D【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4、C【解析】设，利用的图象过点，求出的解析式，将代入即可求解.【详解】设，因为的图象过点，所以，解得：，所以，所以，故选：C.5、C【解析】由题意得，，故，故选C考点：分段函数的应用.6、C【解析】画出示意图，结合图形及两点间的斜率公式，即可求解.【详解】作示意图如下：设定点为点，则，，故由题意可得的取值范围是故选：C【点睛】本题考查两点间直线斜率公式的应用，要特别注意，直线与线段相交时直线斜率的取值情况.7、B【解析】作差构造函数，利用零点存在定理进行求解.【详解】令，则，，因为，所以函数的零点所在的区间是，即方程的解所在的区间是.故选：B.8、A【解析】利用同角三角函数的平方关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式求出的值.【详解】为第三象限角，所以，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，在利用同角三角函数基本关系求值时，要结合角的取值范围确定所求三角函数值的符号，考查计算能力，属于基础题.9、B【解析】依题意可得，即，即可得到方程，解得即可；【详解】：依题意，即，又，所以，即，解得；故选：B10、A【解析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择【详解】①若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故错；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交或异面，故②错；③若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故③错；④若a∥α，b⊂α，则a、b平行或异面，故④错正确命题个数为0个，故选A.【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，直线与平面的位置关系，主要考查线面平行的判定和性质.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据反射光线的性质，确定反射光线上的两个点的坐标，最后确定直线的一般式方程.【详解】因为一条光线从A处射到点B(0，1)后被轴反射，所以点A关于直线对称点为，根据对称性可知，反射光线所在直线过点，又因为反射光线所在直线又过点，所以反射光线所在直线斜率为，所以反射光线所在直线方程为，化成一般式得：，故答案为：.12、36【解析】首先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；【详解】解：依题意、cm，所以，即cm，所以；故答案为：13、一或三【解析】根据的范围求得的范围，从而确定正确答案.【详解】依题意，，，所以当为奇数时，在第三象限；当为偶数时，在第一象限.故答案：一或三14、【解析】首先把圆的一般方程化为标准方程,点在圆外,则圆心到直线的距离,从而得解.【详解】∵圆标准方程为，∴圆心坐标（，），半径r，若点（1，﹣1）在圆外，则满足k，且k＞0，即﹣2＜k，即实数k的取值范围是（﹣2，）.故答案为:（﹣2，）【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求参数的取值范围,属于基础题.15、【解析】根据函数解析式画出函数图象，则函数的零点个数，转化为函数与有三个交点，结合函数图象判断即可；【详解】解：因为，函数图象如下所示：依题意函数恰有三个不同的零点，即函数与有三个交点，结合函数图象可得，即；故答案为：16、【解析】由直四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱长可得由知就是异面直线与的夹角,且所以=60°,即异面直线与的夹角大小等于60°.考点：1正四棱柱；2异面直线所成角三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）（-∞，2）.【解析】先解出集合A（1）时，求出B,再求和；（2）把转化为，分和进行讨论.【详解】（1）当时，，∴∴或.（2）∵，∴.当时，有，解得：；当时，因为，只需，解得：；综上：,故实数的取值范围（-∞，2）.【点睛】（1）集合的交并补运算：①离散型的数集用韦恩图；②连续型的数集用数轴；（2）由求参数的范围容易漏掉的情况18、（1）证明见解析（2）（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间”【解析】（1）利用来证得结论成立.（2）（i）通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.（ii）对的取值进行分类讨论，结合的单调性以及（1）的结论求得唯一的“和谐区间”.【小问1详解】由已知当时，，得，所以当时，.【小问2详解】（i）时，假设存在，则由知，注意到，故，所以在单调递增，于是，即是方程的两个不等实根，易知不是方程的根，由已知，当时，，令，则有时，，即，故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.（ii）时，假设存在，则由知若，则由，知，与值域是矛盾，故不存在“和谐区间”，同理，时，也不存在，下面讨论，若，则，故最小值为，于是，所以，所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.若，当时，同理可得，舍去，当时，在上单调递减，所以，于是，若即，则，故，与矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知当时，，因为，所以，从而，，从而，矛盾，综上所述，有唯一的“和谐区间”.【点睛】对于“新定义”的题目，关键是要运用新定义的知识以及原有的数学知识来进行求解.本题有两个“新定义”，一个是泰勒发现的公式，另一个是“和谐区间”.泰勒发现的公式可以直接用于证明，“和谐区间”可转化为函数的单调性来求解.19、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）令即可求得结果；（2）设，由即可证得结论；（3）将所求不等式化为，结合单调性和定义域的要求即可构造不等式组求得结果.【小问1详解】令，则，解得：；【小问2详解】设，则，，，，是定义域上的减函数；【小问3详解】由得：，即，又，，是定义域上的减函数，，解得：；又，，的解集为.【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的函数值的求解、单调性证明以及利用单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的基本思路是将所求不等式化为同一函数的两个函数值之间的比较问题，进而通过函数的单调性得到自变量的大小关系.20、(1)(2)见解析【解析】（1）取BC中点E连结AE，三棱锥C1﹣CB1A的体积，由此能求出结果．（2）在矩形BB1C1C中，连结EC1，推导出Rt△C1CE∽Rt△CBF，从而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得，连结CF，CF即为所求直线解析：（1）取中点连结.在等边三角形中，，又∵在直三棱柱中，侧面面，面面，∴面，∴为三棱锥的高，又∵，∴，又∵底面为直角三角形，∴，∴三棱锥的体积（2）作法：在上取，使得，连结，即为所求直线.证明：如图，在矩形中，连结，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵面，而面，∴，又∵，∴面，又∵面，∴.点睛