广东茂名市信宜市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学含解析

广东省茂名市信宜市2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题一、单选题1．为了了解某地区5000名小学生的体育素质情况，从中抽取了500名小学生进行测试，该地区每位小学生被抽到的可能性为（

）A． B． C． D．2．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．样本数据32、22、42、29、34、47、37、38、45、51、49、53的下四分位数（25%分位数）为（

）A．32 B．33 C．48 D．494．已知数据3，7，4，7，，6的平均数是5，则这组数据的方差为（

）A．3 B． C．5 D．5．将直线：绕其与轴的交点旋转得到直线，则直线的方程是（

）A． B． C． D．6．已知直线：，：，若，则的值是（

）A．或 B． C． D．7．如图，三个自动开关，，正常工作的概率都是，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（

）A． B． C． D．8．已知，，，则事件与的关系是（

）A．与互斥不对立 B．与对立C．与相互独立 D．与既互斥又独立二、多选题9．已知向量，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．采购经理指数（PMI）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用.2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是（

）

A．图中前三个数据的平均值为49.9%B．2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大C．图中PMI指数的极差为3.8%D．2023年PMI指数的众数为49.011．如图，在棱长为2的正方体中，是线段的中点，点，满足，，其中，，则（

）

A．当，时，点到直线的距离为B．当取最小值时，C．存在，，使得D．当，时，过，，三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为三、填空题12．已知向量，，则13．经过，两点的直线的方向向量为，则的值为14．已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是四、解答题15．一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球.(1)从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于5”的概率；(2)从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求事件“”发生的概率.16．如图，在四棱锥中，底面，，，，.

(1)求与平面所成角的正弦值；(2)求证：平面平面17．一次数学测验中，将全班的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值，试估计样本成绩的众数、平均数、第80百分位数（同组中数据用该组区间中点值作代表）；(2)全班有男生32人，女生16人，其中男生平均分为72，方差为26；女生平均分为75，方差为20，运用上述数据计算全班学生的平均分，总方差.18．如图所示，在直三棱柱中，，，，，.(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组.(1)若，在传统的淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？(2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并根据获得冠军的概率简单分析一下双败赛制下是否对强队更有利？

参考答案1．A【详解】该地区每位小学生被抽到的可能性为,故选：A2．B【详解】设直线的倾斜角为，且，则，所以.故选：B3．B【详解】样本数据从小到大排列为22、29、32、34、37、38、42、45、47、49、51、53，因为，所以下四分位数（25%分位数）为第三个数和第四个数的平均数.故选：B.4．A【详解】由条件可知，，得，这组数据的方差.故选：A5．B【详解】由条件可知，与轴的交点为，且斜率为，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程是，整理为.故选：B6．D【详解】因为直线：，：，且，所以，解得，故选：D7．D【详解】记“三个元件，，正常工作”分别为事件，，，则，，.不发生故障的事件为，∴不发生故障的概率为.故选：D8．C【详解】由可得，因为，则与不互斥，不对立，由可得，因为，所以与相互独立故选：C9．ACD【详解】向量，，，因为，所以，A选项正确；易知不存在实数使得，所以不平行，B选项错误；显然，所以，C选项正确；易知，D选项正确；故选：ACD.10．ABD【详解】对于A，前三个数据为，，，所以前三个数据的平均值为，故A选项正确；对于B，从表中数据可以看出2023年四个季度的PMI指数中，第一季度的波动性最大，稳定性最差，所以方差最大，故B选项正确；对于C，图中PMI指数的最大值为%，最小值为%，故极差为%，C选项错误；对于D，2023年PMI指数中，49.0出现两次，其他的出现一次，故2023年PMI指数的众数为49.0,故D选项正确.故选：ABD11．ABD【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，.选项A：当时，，，，，取，，点到直线的距离为， A正确.选项B：最小时，是，的公垂线段，，，，，解得， B正确.选项C：，，若，则,即，因为，，显然，所以不成立，C错误；选项D：当，时，在取靠近点的三等分点，连接并延长交于点，易得点是靠近点的三等分点，取靠近点的三等分点，如图所示，

因为三点共线，点分别是的中点，所以，又因为，所以，所以四点共面，又，所以共面所以过，，三点的平面截正方体得到的截面多边形为四边形，则，且，又因为平面，所以，即，则四边形为矩形，，，求得面积为，D正确.故选：ABD12．24【详解】，所以.故答案为：13．【详解】由条件可知直线的斜率为2，所以，得.故答案为：14．/【详解】法一：根据正方体的性质，可不妨设在下底面的棱上动点，又设中点为，则当与中点重合时，取到最小值，当为底面对角线的顶点时，取到最大值，所以当为底面中心，为底面对角线的顶点时,取到最小值；法二、如图建立空间直角坐标系，设，，，其中，，.则，.则，当在正方体同一面上时，则当，，时，取得最小值，，即当为正方体一面的对角线，为对角线中点时，取得最小值；当、、不在正方体同一面上时，由对称性，不妨设，，不同时为0，此时；因为，，，则，所以，综上，的最小值是.15．(1)(2)【详解】（1）从盒中任取两球的所有等可能基本事件有：，，，，，，共6个，

记取出的两球编号之和大于5的事件为，

则事件包含，，共2个等可能基本事件

所以；

所以取出的两球编号之和大于5的概率为.（2）有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共16个，

记的事件为，

则事件包含，，，，，，，，，共10个等可能基本事件，

所以，

所以事件“”发生的概率为.16．(1)(2)证明见解析【详解】（1）

依题意，以点为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，.

设平面的一个法向量为，，

则，即

不妨令，可得为平面的一个法向量.

，，

设与平面所成角为，则（2）由（1）知为平面的一个法向量设平面的法向量，又向量，，

则，即，

不妨令，可得为平面的一个法向量.

因为，所以.

所以平面平面.17．(1)，众数为75，平均数为72，第80百分位数为85(2)平均分73，总方差26【详解】（1）各组小矩形的面积之和为1，所以

解得.

由频率分布直方图可知：众数为75，

平均数为.

设第80百分位数为，成绩在的频率为，成绩在的频率为

所以，，

解得

故估计样本成绩的众数为75，平均数为72，第80百分位数为85.（2）依题意，得两组成绩合并后的总平均数为，

总方差.

故全班学生的平均分73，总方差26.18．(1)(2)存在，【详解】（1）因为，，，所以，即，在直三棱柱中，平面，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，得，则，易知平面的法向量为，则，设平面与平面的夹角为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.（2）假设线段上存在点，使得点到平面的距离是，由（1）知，，设，，所以，则，由（1）知平面的法向量为，，所以点到平面的距离为，解得，

所以当时，存在点满足题意.19．(1)获得冠军概率为，获得冠军的概率为(2)传统的淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制对强队更有利.【详解】（1）在传统的淘汰赛赛制下，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，则获得冠军的概率为.

依题意，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，则获得冠军的概率为.

所以在