内蒙古包头市百灵庙中学2026届数学高二上期末质量检测试题含解析

内蒙古包头市百灵庙中学2026届数学高二上期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设实数x，y满足约束条件则的最小值（）A.5 B.C. D.82．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大的．”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（）A.B.C.或D.或3．已知抛物线C：的焦点为F，过点P（-1，0）且斜率为的直线l与抛物线C相交于A，B两点，则（）A. B.14C. D.154．等差数列中，为其前项和，，则的值为（）A.13 B.16C.104 D.2085．在等比数列中，若，，则（）A. B.C. D.6．函数在的最大值是（）A. B.C. D.7．已知椭圆与直线交于A，B两点，点为线段的中点，则a的值为（）A. B.3C. D.8．若直线经过，,两点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.9．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，且对，，且总有，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.10．抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中错误的是（）.A. B.C. D.11．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱上有、两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（）A. B.C. D.12．过点且平行于直线的直线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足，若对任意恒成立，则实数的取值范围为________14．如图，在直棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.15．与圆外切于原点，且被y轴截得的弦长为8的圆的标准方程为__________16．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最小值为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，点E为棱PC的动点.（1）当点E是棱PC的中点时，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（2）若E为棱PC上任一点，满足，求二面角P-AB-E的余弦值.18．（12分）在四棱锥中，平面，，，，，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值20．（12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围21．（12分）2017年5月27日当今世界围棋排名第一的柯洁在与的人机大战中中盘弃子认输，至此柯洁与的三场比赛全部结束，柯洁三战全负，这次人机大战再次引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.（1）请根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？非围棋迷围棋迷合计男女1055合计（2）为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛，首轮该校需派两名学生出赛，若从5名学生中随机抽取2人出赛，求2人恰好一男一女的概率.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）设命题p：实数x满足x≤2，或x＞6，命题q：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】做出，满足约束条件的可行域，结合图形可得答案.【详解】做出，满足约束条件可行域如图，化为，平移直线，当直线经过点时有最小值，由得，所以的最小值为.故选：B.2、A【解析】根据米勒问题的结论，点应该为过点、的圆与轴的切点，设圆心的坐标为，写出圆的方程，并将点、的坐标代入可求出点的横坐标.【详解】解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，将点、的坐标代入圆的方程得，解得或（舍去），因此，点的横坐标为，故选：A.3、C【解析】设A、B两点的坐标分别为，，根据抛物线的定义求出，然后将直线的方程代入抛物线方程并化简，进而结合根与系数的关系求得答案.【详解】设A、B两点坐标分别为，，直线的方程为，抛物线的准线方程为：，由抛物线定义可知：.联立方程，消去y后整理为，可得，，.故选：C.4、D【解析】利用等差数列下标的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】由，所以，故选：D5、D【解析】由等比数列的性质得，化简，代入数值求解.【详解】因为数列是等比数列，所以，由题意，所以.故选：D6、C【解析】利用函数单调性求解.【详解】解：因为函数是单调递增函数，所以函数也是单调递增函数，所以.故选：C7、A【解析】先联立直线和椭圆的方程，结合中点公式及点可求a的值.【详解】设，联立，得，，因为点为线段的中点，所以，即，解得，因为，所以.故选：A.8、D【解析】应用两点式求直线斜率得，结合及，即可求的范围.【详解】根据题意，直线经过，,，∴直线的斜率，又，∴，即，又，∴；故选：D9、D【解析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，故A不正确；对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B不正确；，表示点与点连线的斜率，由图可知，所以D正确，C不正确.故选：D.【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.10、A【解析】把抛掷两枚硬币的情况均列举出来，利用古典概型的计算公式，把，，算出来，判断四个选项的正误.【详解】两枚硬币，记为与，则抛掷两枚硬币，一共会出现的情况有四种，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，则，，，所以A错误，BCD正确故选：A11、C【解析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长.【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，因为，，则，又因为，，，故二面角的平面角为，因为四边形为平行四边形，则，，因为，故为等边三角形，则，，则，，，故平面，因为平面，则，故.故选：C.12、A【解析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.【详解】解：设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得.所以所求的直线方程为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据给定条件求出，构造新数列并借助单调性求解作答.【详解】在数列中，，当，时，，则有，而满足上式，因此，，，显然数列是递增数列，且，，又对任意恒成立，则，所以实数的取值范围为.故答案为：【点睛】思路点睛：给定数列的前项和或者前项积，求通项时，先要按和分段求，然后看时是否满足时的表达式，若不满足，就必须分段表达.14、【解析】建立空间直角坐标系后求相关的向量后再用夹角公式运算即可.【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，故异面直线与所成角的余弦值为，故答案为:.15、；【解析】设所求圆的圆心为，根据两圆外切于原点可知两圆心与原点共线，再根据弦长列出方程组求出即可.【详解】设所求圆的圆心为，因为圆的圆心为，与原点连线的斜率为，又所求圆与已知圆外切于原点，，①所以所求圆的半径满足，又被y轴截得的弦长为8，②由①②解得，所以圆的方程为.故答案为：16、【解析】建立直角坐标系，设出P的坐标，求出轨迹方程，然后推出的表达式，转化求解最小值即可.【详解】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则设，由，则，所以两边平方并整理得，所以P点的轨迹是以(3，0)为圆心，为半径的圆，所以，，则有，则的最小值为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，（2）设，表示出点的坐标，然后根据求出的值，从而可得点的坐标，然后利用空间向量求二面角【小问1详解】因为底面ABCD，平面，所以因为，所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，，点E为棱PC的动点，所以，所以,，设平面的法向量为，则，令，则设直线BE与平面PBD所成角为，则，所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为，【小问2详解】，因为E为棱PC上任一点，所以设，所以，因为，所以，解得，所以，设平面的法向量为，则，令，则，取平面的一个法向量为，设二面角P-AB-E的平面角为，由图可知为锐角，则，所以二面角P-AB-E余弦值为18、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】(1)根据给定条件证得即可推理作答.(2)由已知条件，以点A作原点建立空间直角坐标系，借助空间位置关系的向量证明即可作答.(3)利用(2)中信息，借助空间向量求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在四棱锥中，因分别是的中点，则，因平面，平面，所以平面.【小问2详解】在四棱锥中，平面，，以点A为原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，而且，则，，设平面的法向量，由，令，得，又，因此有，所以平面.【小问3详解】由(2)知，，令直线与平面所成角为，则有，所以直线与平面所成角的正弦值.19、（1）（2）【解析】【小问1详解】由,得.两边同乘,即.由,得曲线的直角坐标方程为【小问2详解】将代入,得,设A,B对应的参数分别为则所以.由参数的几何意义得20、（1）的减区间为，增区间为（2）【解析】（1）利用导数求得的单调区间.（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得的取值范围.【小问1详解】当时，，，所以在区间递减；在区间递增.所以的减区间为，增区间为.【小问2详解】，恒成立.构造函数，，，构造函数，，所以在上递增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范围是.21、(1)没有95%把握认为“围棋迷”与性别有关.(2).【解析】（1）由频率分布直方图求得频率与频数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据分层抽样原理，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【详解】（1）由频率分布直方图可知，所以在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而列联表如下非围棋迷围棋迷合计男301545女451055合计7525100因为，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.（2）由（1）中列联表可知25名“围棋迷”中有男生15名，女生10名，所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5名学生中，有男生3名，记为，有女生2名，记为.则从5名学生中随机抽取2人出赛，基本事件有：，，，，，，，，，，共10种；其中2人恰好一男一女的有：，，，，，，共6种；故2人恰好一男一女的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图、独立性检验和列举法求概率的应用问题，是基础题22、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解析】（1）分别求出命题和为真时对应的取值范围，即可求出；（2）由题可知，列出不等