(2025年)机械工程控制基础期末试卷答案

(2025年)机械工程控制基础期末试卷答案一、简答题1.简述线性定常系统的定义及其主要特性。线性定常系统是指满足叠加原理且参数不随时间变化的系统。其主要特性包括：①叠加性，即若输入r₁(t)和r₂(t)分别引起输出c₁(t)和c₂(t)，则输入r₁(t)+r₂(t)将引起输出c₁(t)+c₂(t)；②齐次性，即输入kr(t)引起输出kc(t)（k为常数）；③定常性（时不变性），系统参数（如质量、弹簧刚度、阻尼系数等）不随时间变化，输入延迟τ引起的输出延迟τ，即若r(t)→c(t)，则r(t-τ)→c(t-τ)。2.劳斯稳定判据的核心思想是什么？其应用时需注意哪些特殊情况？劳斯判据的核心思想是通过系统特征方程的系数构造劳斯表，根据劳斯表第一列元素的符号判断系统稳定性：若第一列全为正，则系统稳定；若出现符号变化，则不稳定，符号变化次数等于右半s平面的特征根个数。应用时需注意两种特殊情况：①劳斯表某一行第一列元素为0但该行其他元素不全为0，此时用ε代替0继续计算，若ε→0时第一列符号变化则系统不稳定；②劳斯表某一行全为0，此时需用前一行构造辅助多项式，求导后替换该行，辅助多项式的根为共轭虚根或对称实根，系统处于临界稳定状态。3.频率特性的物理意义是什么？幅频特性和相频特性分别反映系统的哪些性能？频率特性是系统对正弦输入信号的稳态响应特性，物理意义为：当输入为正弦信号r(t)=Asin(ωt)时，稳态输出c(t)=A|G(jω)|sin(ωt+∠G(jω))，即输出仍为同频率正弦信号，幅值放大|G(jω)|倍，相位偏移∠G(jω)。幅频特性|G(jω)|反映系统对不同频率输入信号的幅值衰减或放大能力，高频段幅值衰减越快，系统抗高频噪声能力越强；相频特性∠G(jω)反映系统对不同频率输入信号的相位滞后或超前特性，相位滞后越小，系统动态响应的快速性越好。4.根轨迹的基本定义是什么？绘制根轨迹时主要依据哪些规则？根轨迹是当系统某一参数（通常为开环增益K）从0→∞变化时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。绘制根轨迹的主要规则包括：①根轨迹的起点（K=0）为开环极点，终点（K→∞）为开环零点（若开环零点数m小于极点数n，则n-m条根轨迹趋于无穷远）；②根轨迹对称于实轴；③实轴上根轨迹段的右侧开环零极点总数为奇数；④根轨迹的渐近线与实轴夹角为(2k+1)π/(n-m)（k=0,1,…,n-m-1），交点为(Σ极点实部-Σ零点实部)/(n-m)；⑤根轨迹的分离点/会合点满足dK/ds=0，其中K为以s为变量的开环传递函数幅值条件表达式；⑥根轨迹与虚轴的交点可通过令s=jω代入特征方程，解出ω和临界K值。5.PID控制器中比例（P）、积分（I）、微分（D）环节各自的作用是什么？实际应用中如何选择各参数？比例环节（P）的作用是减小系统稳态误差，提高系统响应速度，但过大的比例系数会导致系统超调增大甚至不稳定；积分环节（I）的作用是消除稳态误差（针对阶跃、斜坡等输入的稳态误差），但会降低系统的稳定性和响应速度，积分时间常数Ti越小（积分作用越强），消除稳态误差的速度越快，但超调可能增大；微分环节（D）的作用是预测系统误差变化趋势，产生超前控制作用，抑制超调，提高系统动态响应的快速性和稳定性，微分时间常数Td越大（微分作用越强），对误差变化的敏感性越高，但会放大高频噪声。实际应用中，通常先调整比例系数Kp，使系统有适度的响应速度和超调；再加入积分环节，调整Ti以消除稳态误差，同时注意Ti不能过小以免影响稳定性；最后加入微分环节，调整Td以进一步减小超调，改善动态性能。二、计算题1.图1所示为机械平移系统，质量块m=2kg，弹簧刚度k=4N/m，阻尼器阻尼系数c=2N·s/m，外力f(t)为输入，质量块位移x(t)为输出。（1）建立系统的微分方程；（2）求系统的传递函数G(s)=X(s)/F(s)。解：（1）对质量块进行受力分析，外力f(t)与弹簧力kx(t)、阻尼力cẋ(t)平衡，根据牛顿第二定律：mẍ(t)=f(t)-kx(t)-cẋ(t)整理得微分方程：2ẍ(t)+2ẋ(t)+4x(t)=f(t)（2）对微分方程两边取拉普拉斯变换（初始条件为0）：2s²X(s)+2sX(s)+4X(s)=F(s)传递函数G(s)=X(s)/F(s)=1/(2s²+2s+4)=1/[2(s²+s+2)]2.已知单位负反馈系统的开环传递函数为G₀(s)=K/[s(s+1)(s+2)]，其中K>0。（1）用劳斯判据确定系统稳定的K值范围；（2）若K=6，判断系统是否稳定，若不稳定，计算右半s平面的特征根个数。解：（1）闭环特征方程为1+G₀(s)=0，即s(s+1)(s+2)+K=0，展开得：s³+3s²+2s+K=0构造劳斯表：s³|12s²|3Ks¹|(3×2-1×K)/3=(6-K)/3s⁰|K系统稳定的条件是劳斯表第一列全为正，因此：(6-K)/3>0→K<6K>0（已知）故稳定的K范围为0<K<6。（2）当K=6时，劳斯表s¹行元素为(6-6)/3=0，s⁰行元素为6>0。此时s¹行全为0，需用s²行构造辅助多项式P(s)=3s²+6=3(s²+2)，求导得P’(s)=6s。用P’(s)的系数替换s¹行，得到新的劳斯表：s³|12s²|36s¹|60s⁰|6第一列元素为1,3,6,6，均为正，但辅助多项式的根为s=±j√2，说明系统有一对共轭虚根，处于临界稳定状态（非稳定）。右半s平面特征根个数为0（虚根不计入右半平面）。3.某二阶系统的单位阶跃响应曲线如图2所示，已知超调量σ%=25%，调节时间t_s=2.4s（Δ=5%）。（1）求系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ω_n；（2）写出系统的闭环传递函数；（3）计算峰值时间t_p。解：（1）二阶系统标准闭环传递函数为Φ(s)=ω_n²/(s²+2ζω_ns+ω_n²)。超调量σ%=e^(-πζ/√(1-ζ²))×100%=25%，取自然对数得：-πζ/√(1-ζ²)=ln(0.25)≈-1.386解得：πζ/√(1-ζ²)=1.386→ζ²/(1-ζ²)=(1.386/π)²≈(0.441)²≈0.194ζ²≈0.194(1-ζ²)→ζ²≈0.194-0.194ζ²→1.194ζ²≈0.194→ζ≈√(0.194/1.194)≈√0.162≈0.402调节时间t_s≈3/(ζω_n)=2.4s（Δ=5%），代入ζ≈0.402得：ω_n≈3/(ζt_s)=3/(0.402×2.4)≈3/0.965≈3.11rad/s（2）闭环传递函数Φ(s)=ω_n²/(s²+2ζω_ns+ω_n²)=(3.11)²/[s²+2×0.402×3.11s+(3.11)²]≈9.67/(s²+2.50s+9.67)（3）峰值时间t_p=π/(ω_n√(1-ζ²))=π/(3.11×√(1-0.402²))≈π/(3.11×0.916)≈3.14/(2.85)≈1.10s4.已知系统的开环传递函数为G(s)H(s)=10/[s(s+1)(0.1s+1)]。（1）绘制开环对数幅频特性（伯德图）的渐近线；（2）计算剪切频率ω_c（截止频率）和相角裕度γ。解：（1）将G(s)H(s)化为标准形式：G(s)H(s)=10/[s(s+1)(0.1s+1)]=10/[s×1×(1+s)×(1+0.1s)]=10/[s(1+s)(1+0.1s)]频率特性为G(jω)H(jω)=10/[jω(1+jω)(1+j0.1ω)]伯德图渐近线绘制步骤：-低频段（ω<<1）：主要项为10/(jω)，对数幅频L(ω)=20lg(10/ω)=20lg10-20lgω=20-20lgω，斜率为-20dB/dec，过点(ω=1,L=20dB)。-第一个转折频率ω₁=1（对应惯性环节1/(1+jω)），斜率变为-40dB/dec（原-20+(-20)）。-第二个转折频率ω₂=10（对应惯性环节1/(1+j0.1ω)，即时间常数T=0.1，ω=1/T=10），斜率变为-60dB/dec（-40+(-20)）。（2）剪切频率ω_c满足|G(jω_c)H(jω_c)|=1，即20lg|G(jω_c)H(jω_c)|=0dB。近似计算（用渐近线）：在ω₁=1到ω₂=10之间，L(ω)=20-20lgω-20lg(ω/1)=20-40lgω（因斜率为-40dB/dec）。令L(ω_c)=0，即20-40lgω_c=0→lgω_c=0.5→ω_c=10^0.5≈3.16rad/s。相角裕度γ=180°+∠G(jω_c)H(jω_c)。计算∠G(jω_c)H(jω_c)：∠G(jω_c)H(jω_c)=-90°-arctan(ω_c/1)-arctan(0.1ω_c)代入ω_c≈3.16：arctan(3.16)≈72.5°，arctan(0.1×3.16)=arctan(0.316)≈17.6°故∠G(jω_c)H(jω_c)=-90°-72.5°-17.6°=-180.1°γ=180°+(-180.1°)=-0.1°≈0°（考虑渐近线近似误差，实际需精确计算）精确计算|G(jω_c)H(jω_c)|=1：|G(jω)H(jω)|=10/[ω√(1+ω²)√(1+(0.1ω)²)]=1两边平方得：100/[ω²(1+ω²)(1+0.01ω²)]=1→ω²(1+ω²)(1+0.01ω²)=100试算ω=3：3²×(1+9)×(1+0.09)=9×10×1.09=98.1≈100ω=3.1：3.1²×(1+9.61)×(1+0.0961)=9.61×10.61×1.0961≈9.61×11.63≈111.8>100ω=3.05：3.05²×(1+9.30)×(1+0.093)=9.30×10.30×1.093≈9.30×11.27≈104.8>100ω=2.95：2.95²×(1+8.70)×(1+0.087)=8.70×9.70×1.087≈8.70×10.55≈91.8<100用线性插值：ω_c≈3-(100-98.1)/(111.8-98.1)×0.1≈3-1.9/13.7×0.1≈3-0.014≈2.986rad/s精确相角：∠G(jω_c)H(jω_c)=-90°-arctan(2.986)-arctan(0.1×2.986)=-90°-71.5°-16.6°=-178.1°γ=180°-178.1°=1.9°≈2°（考虑实际系统可能存在的微小误差）三、综合分析题1.某单位负反馈系统的开环传递函数为G₀(s)=K/[s(s+1)]，要求系统的静态速度误差系数K_v≥10s⁻¹，超调量σ%≤20%，调节时间t_s≤2s（Δ=5%）。（1）确定满足K_v要求的K值范围；（2）分析现有系统是否满足动态性能要求，若不满足，设计串联超前校正装置G_c(s)=K_c(τs+1)/(ατs+1)（α<1），并确定参数K_c、τ、α。解：（1）静态速度误差系数K_v=lim(s→0)sG₀(s)=lim(s→0)s×K/[s(s+1)]=K≥10，故K≥10。（2）原系统闭环传递函数Φ(s)=K/[s²+s+K]，为二阶系统，标准形式Φ(s)=ω_n²/(s²+2ζω_ns+ω_n²)，其中ω_n=√K，2ζω_n=1→ζ=1/(2√K)。当K=10时，ω_n=√10≈3.16rad/s，ζ=1/(2×3.16)≈0.158。此时超调量σ%=e^(-πζ/√(1-ζ²))×100%≈e^(-π×0.158/√(1-0.025))×100%≈e^(-0.503/0.987)×100%≈e^(-0.509)×100%≈60%>20%，不满足；调节时间t_s≈3/(ζω_n)=3/(0.158×3.16)≈3/0.5≈6s>2s，不满足。设计串联超前校正：目标：提高系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ω_n，以减小超调量和调节时间。超前校正的作用是在剪切频率处提供正相角，增加相角裕度，同时提高截止频率。步骤1：确定校正后系统的期望参数。根据σ%≤20%，查二阶系统超调量公式得ζ≥0.45（σ%=20%对应ζ≈0.456）；t_s≤2s（Δ=5%），t_s≈3/(ζω_n)≤2→ζω_n≥1.5。步骤2：选择校正后剪切频率ω_c’，使其大于原系统剪切频率（原系统剪切频率ω_c=√K=√10≈3.16rad/s，校正后ω_c’应更高以提高响应速度）。假设ω_c’=5rad/s（需验证）。步骤3：计算原系统在ω_c’处的相角裕度γ₀=180°+∠G₀(jω_c’)=180°+(-90°-arctan(ω_c’/1))=90°-arctan(5)=90°-78.7°=11.3°。需要的相角裕度γ’=γ₀+φ_m（φ_m为超前校正提供的最大超前角），根据σ%≤20%，γ’应≥45°（经验值），故φ_m≥45°-11.3°=33.7°，取φ_m=40°。步骤4：超前校正的最大超前角φ_m=arcsin[(1-α)/(1+α)]，解得α=(1-sinφ_m)/(1+sinφ_m)=(1-0.643)/(1+0.643)=0.357/1.643≈0.217。步骤5：超前校正的转折频率为ω_1=1/(τ)，ω_2=1/(ατ)=ω_1/α，最大超前角频率ω_m=√(ω_1ω_2)=1/(τ√α)。令ω_m=ω_c’=5rad/s，则τ=1/(ω_m√α)=1/(5×√0.217)=1/(5×0.466)=0.430s，ω_1=1/0.430≈2.33rad/s，ω_2=1/(0.217×0.430)=1/0.093≈10.75rad/s。步骤6：校正后开环传递函数G_c(s)G₀(s)=K_c(τs+1)/(ατs+1)×K/[s(s+1)]。为保持静态速度误差系数K_v’=K×K_c≥10，原K=10，故K_c≥1。同时，在ω_m=5rad/s处，校正装置的幅频增益为√[(1+α)/(2√α)]=√[(1+0.217)/(2×√0.217)]=√[1.217/(2×0.466)]=√[1.217/0.932]≈√1.306≈1