安徽省多校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学试题注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】因为，，则.故选：B2.若命题，，则（）A.为假命题B.为存在量词命题C.的否定：，D.的否定：，【答案】D【解析】【分析】结合完全平方公式判断命题为真命题，故A错误；由全称量词命题定义知为全称量词命题，故B错误；根据命题否定的定义判断出C错误，D正确.【详解】因为，所以为真命题，A错误.为全称量词命题，B错误.第1页/共16页的否定：，，C错误，D正确.故选：D.3.已知，，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质即可解出答案.【详解】根据题意可得，所以.故选：A.4.若，则的最小值为（）A.B.C.20D.400【答案】C【解析】【分析】先根据题设条件分析得出，，再利用基本不等式即可求得的最小值.【详解】由，可知，则，故,则可得，所以，即得，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为20.故选：C.5.L亮，是的必要不充分条件的电路图是（）第2页/共16页A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义，结合物理常识，逐一检验，可得答案.【详解】对于A选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即，所以是的充分不必要条件，A错误；对于B选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即，所以是的既不充分也不必要条件，B错误；对于C选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L亮，即，所以是的必要不充分条件，C正确；对于D选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即，所以是的充分不必要条件，D错误；故选:C6.函数的零点个数为（）A.0B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由题意可得为偶函数，由题意得，画出函数与在上的大致图象，数形结合可得结论.【详解】易得的定义域为，且，所以为偶函数.第3页/共16页画出函数与在上的大致图象，如图所示，易得与在上的图象的交点个数为1，所以在上的零点个数为1.又因为为偶函数，，所以的零点个数为2.7.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的性质可得，，进而利用作差法结合放缩法可得.【详解】，，得.因为，所以，即.故选：A.8.定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（）第4页/共16页A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性画出与的大致图象，由图找出与的函数值异号的区间即可.【详解】根据题意可得在上单调递减，且.因为为奇函数，所以的图象关于原点对称.画出的大致图象，如图所示，不妨设的图象如图所示，易得与的函数值异号的区间为，，，所以不等式的解集是.故选：D.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知幂函数.若，则（）A.B.C.的图象恒过点D.的图象不过第二象限【答案】ACD【解析】【分析】根据幂函数可判断A，根据函数的单调性即可求解B，由幂函数的性质即可求解CD.【详解】根据题意可得，解得，故，A正确.第5页/共16页因为，则，所以在上单调递增，因为，，且，故，所以，B错误，因为，故,故其图象恒过点，C正确，当时，，此时定义域为，故图像不经过第二象限，当时，，当时，，故图像不经过第二象限，当时，当时，，故图像不经过第二象限，故D正确.故选：ACD10.已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（）A.或B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用换元法设，将关于的指数方程转化为关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系即可求解.【详解】令，则，且关于的方程有两个不相等的正根，所以，解得；因为或（舍A错误；由A选项知，或，即或；当时，；当时，；所以，则，故B正确；第6页/共16页由B选项知，，故C错误；由B选项知，，故D正确.故选：BD.已知定义域为的函数满足，，则（）A.B.的图象关于点对称C.函数为奇函数D.【答案】ABC【解析】【分析】根据抽象函数满足的等式性质，以及换元法，证明选项A的正误；根据函数中心对称的性质，证明选项B的正误；根据奇函数的定义，通过定义法证明函数为奇函数，判断选项C的正误；根据函数满足的等式性质，求出前面几个函数值的和，再判断选项D的正误；【详解】对于选项A，，以代替，得，A正确.对于选项B，因为，所以，所以图象关于点对称，B正确.对于选项C，将代入，得，所以，即，所以为奇函数，C正确.对于选项D，由，可得，则，所以，D错误.故选：ABC.第7页/共16页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】根据根号下大于等于0，分母不为0，以及真数大于0列出不等式组，求解即得.【详解】函数有意义等价于，解得，即定义域为.故答案为：13.已知函数在上单调递减，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由函数在上单调递减，可得，可得，解得.故答案为：.14.十干是中国传统历法术语，包含甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个天干符号.十二地支，又称十二支，分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.作为中国农历数字系统的重要组成部分，十干与十二地支组合形成干支纪元法，被广泛应用于历法推算、时间记录及传统文化领域.现有关第8页/共16页于十干的转译函数其中甲，乙，，癸；关于十二地支的转译函数其中子，丑，，亥.若甲戌转译后为己辰（代______.【答案】丙未【解析】【分析】依题意得辛，丑，分别代入分段函数求解即可.【详解】依题意得辛，丑，当时，，解得，易得丙.当时，，解得，易得未.故辛丑转译前为丙未.故答案为：丙未.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）计算：.（2）已知，，试用，表示.【答案】（1）282）【解析】1）根据对数运算法则和指数运算法则得到答案；（2）利用指对互化和对数运算法则得到答案.1）原式.（2）由题意得，，则第9页/共16页16.某智能多媒体企业的年利润（单位：万元）与年研发成本（单位：万元）的函数关系式为.当年研发成本为128万元时，该企业的年利润为320万元.（1）求的值；（2）若该企业下一年的年利润不少于480万元，试问下一年的年研发成本至少应为多少万元？【答案】（1）（2）256万元.【解析】1）根据题中所给数据，代入计算即可；（2）由（1）写出函数方程，根据题干所给，列出不等式求解即可.【小问1详解】当时，，则，解得.【小问2详解】由（1）知，该企业下一年的年利润不少于480万元，即，可得，则，解得，所以下一年的年研发成本至少应为256万元.17.已知函数满足.（1）求的解析式；（2）求的值域；（3）设集合，请用列举法表示.第10页/共16页【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】1）通过换元法或配凑法求解函数解析式；（2）再根据解析式分析值域；（3）最后根据条件确定集合元素.【小问1详解】（方法一）因为，所以，令，，则，则，即.（方法二）因为，所以，所以.【小问2详解】易得的定义域为，且，所以是奇函数.当时，.当时，.故的值域为.【小问3详解】令，则，，解得.当或时，均为无理数，不符合题意；第11页/共16页当时，方程，即，解得或；当时，方程，即，解得.故.18.已知函数，.（1）求的值；（2）用函数单调性的定义证明在上单调递增；（3成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】1）由求解即可；（2）由（1）得，利用单调性定义证明；（3）由恒成立与能成立将问题转化为两个函数最值的不等关系，讨论取值情况求解.【小问1详解】根据题意可得，所以.【小问2详解】由（1）得.任取，则第12页/共16页，因为，所以，，，，所以，，，所以，即，故在上单调递增.【小问3详解】记在上的最小值为，在上的最小值为，所以对于任意，存在，使得不等式成立，即在区间上的最小值不小于在区间上的最小值，即.由（2）知在上单调递增，所以.令，则，，得.当时，在上单调递增，所以，所以，解得，因为，所以.当时，在上单调递减，所以，所以，解得，因为，所以不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，第13页/共16页所以，所以，解得，而，所以不符合题意.综上，的取值范围为.19.设，是两个非空数集，若定义在上的函数对任意，，当时，，则称为到的双界函数.（1）设，，.（i）证明：当时，是到的双界函数.（ii）若是到的双界函数，求的取值范围.（2）若，，是到的双界函数，当时，，求在上的最小值.（3）设集合，其中，.若，是到的双界函数，证明：是到的双界函数.【答案】（1iii）；（2）3040；（3）证明见解析.【解析】1iii）根据双界函数的定义，使得当时，恒成立，即可得解；（2上的函数图象，即可利用函数图象平移的知识画出在在上的最小值为，运用递推公式即可求出；（3“区间拆分”验证双界的递推关系，再通过“范围叠加”锁定唯一等式，最后推广到任意的递推式即可.【小问1详解】第14页/共16页（1i）证明：当，即时，则，即，又因为，所以，所以当时，是到的双界函数.（ii）解：若是到的双界函数，则当，即时，恒成立，即，即恒成立，因为，故，，由恒成立，可得；由恒成立，可得，故，即的取值范围为.【小问2详解】依题意得，当时，，所以，所以.易知函数在上单调递增，可画出其在上的大致函数图象，由在