教学材料《CAD概述》-第16 章

16.1优化设计概述

1.优化设计的概念优化是在给定环境条件下获得最好结果的行为。优化问题的来源十分广泛，例如：①在金融投资中，设计最佳的投资项目组合，从而在可接受的风险限度内获得尽可能大的投资回报。②在多种商品的生产计划和调度过程中，有效地分配有限的生产资源，从而在特定的空间和时间范围内谋求最大的经济效益。③销售员在一次旅行中经过不同城市的最短路程问题。④根据试验结果，进行数据统计和分析，建立实验模型，使物理现象能够得到最精确的表示。⑤在汽车的设计中，如何选择合理的动力、传动系统参数，以保证最佳的汽车动力性和燃油经济性。下一页返回16.1优化设计概述

⑥设计满足传递功率、传动比、零件强度等条件的齿轮减速器，使其体积最小，达到结构紧凑、节省材料的目的。⑦土木结构（如房屋、桥梁、水坝等）的设计中，要求在能够承受规定载荷作用的条件下，成本最低。优化设计就是将上述问题转化为最优化问题，利用最优化原理和计算机技术，从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标，自动寻找最优设计方案的一种科学设计方法，是现代设计理论和方法的一个重要组成部分。上一页下一页返回16.1优化设计概述

2.优化设计的发展概况早期的优化设计是基于人类的直觉和逻辑思维进行的，直到20世纪中叶以前，用于解决优化问题的数学方法也仅限于古典的微分法和变分法。如牛顿和莱布尼茨（Leibniz）发明的微积分为求解一大类极值问题提供了通用工具；欧拉、拉格朗日等关于变分法的工作也与优化问题密切相关，拉格朗日乘子法迄今仍是解决约束优化问题的重要方法之一；1847年，柯西研究了函数沿什么方向下降最快的问题，提出了求解无约束优化问题的最速下降法。尽管人们在求解优化问题方面已经做出了一些贡献，但这些工作并没有形成统一的理论和方法，优化方法的进展甚小。第二次世界大战期间，应用数学领域出现了一个学科分支——数学规划，提供了许多用古典微分法和变分法所不能解决的最优化方法，为优化设计奠定了理论基础。上一页下一页返回16.1优化设计概述

数学规划中最早产生和发展起来的是线性规划，1947年，美国的Dantzig就提出了线性规划的数学模型和求解线性规划的单纯形法，而线性规划这一名词则是在1948年由Koopmans和Dantzig提出的。第二次世界大战之后，线性规划迅速向其他领域渗透，用来解决生产组织、运输、下料及国民经济计划等问题，数学规划的其他分支也逐渐发展起来。1950年，Kuhn和Tucher最先提出了“非线性规划”一词，他们关于规划问题最优解条件的研究为以后非线性规划的发展奠定了基础。到了20世纪60年代，电子计算机和数值计算技术的发展为优化设计提供了强有力的手段，优化技术开始成功地运用于机械设计，在机构综合、零部件设计和工艺设计方面都获得应用并取得一定成果。20世纪80年代初，一些新的算法如禁忌搜索、模拟退火、遗传算法和人工神经网络算法开始兴起，科学工作者对这些算法的模型、理论和应用技术等一系列问题进行了深入的研究，开辟了提高优化效率的新途径。上一页下一页返回16.1优化设计概述

目前优化设计仍然以数学规划法为主，现行的优化算法及其相应的软件能够解决大多数的设计问题，但也存在着适用范围较窄、体系不完整、未能与计算机辅助设计融为一体等问题。近年来，人们在广义优化设计、多学科协同优化设计、随机变量优化设计、模糊变量优化设计、非光滑问题优化设计等方面取得了许多重要的研究成果，为优化设计开辟了更广阔的应用前景。3.优化设计的基本过程下面通过一个简单的优化设计实例来介绍优化设计的基本过程。设计如图16

1所示的双杆支架，该支架由两个钢管构成，其顶端承受一个大小为上一页下一页返回16.1优化设计概述

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下面采用作图的方法来求解上述优化问题：

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分别以D和h为坐标轴作设计平面，平面中每一点的坐标（D，h）都代表一个设计方案（如图16

2所示）。在图中分别画出强度曲线(,)y

Dh、稳定曲线(,)(,)e

Dh

Dh和D、h的边界线。由上述曲线和边界线所围成的区域是满足所有约束条件的可行方案组成的区域，称为可行域。优化设计的目的就是要在可行域中寻找目标函数值最小的一个可行点。接下来再画出一簇目标函数等值线m(D,h)

C（C为一系列常数）来表示函数值的变化规律。图中从右往左，等值线所表示的目标函数值是减小的，因此该约束优化问题的最优解是可行域边界与等值线的切点x*，其坐标：上一页下一页返回16.1优化设计概述

通过x*的等值线就是最优桁架结构的质量，其值为：从上面的实例可以看出，优化设计首先是要根据实际设计问题建立相应的数学模型，即用数学形式来描述实际设计问题，这个过程称为优化建模。数学模型一旦建立，就需要选择适当的计算方法求出模型的最优结果，这时优化设计问题就变成一个数学求解问题，求解模型最优解的方法称为优化方法或优化算法。最后还需要对优化结果进行合理性和适用性的分析评价，基本过程如图16

3所示。上一页返回16.2优化设计的建模优化设计建模就是建立优化设计的数学模型，也就是利用数学语言和其他学科的知识，把实际问题抽象成一个数学问题。它是优化设计的一个重要组成部分，是获得正确优化结果的前提。1.优化设计的数学模型优化设计的数学模型是用数学的形式表示设计问题的特征和追求的目标，它反映了设计指标和各个主要影响因素之间的关系。优化设计的数学模型包括三个要素：设计变量、目标函数和约束条件。（1）设计变量需要在优化设计过程中不断进行修改、调整，并最终必须确定的独立参数称作设计变量，又叫作优化参数。下一页返回16.2优化设计的建模可用一个如式（16

1）所示的列向量表示，又称作设计变量向量，其中任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示，称作设计点。由n个以设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。设计空间的维数也就是设计变量的个数，称为优化设计问题的维数。（2）目标函数用来使设计得以优化的函数称作目标函数，又称作评价函数，记作f(x)。目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法，其数学表达式为：上一页下一页返回16.2优化设计的建模式中，C为一系列常数，代表一簇n维超曲面。当设计变量只有两个的时候，f(x)是一个二元函数，f(x)

C就是一簇等值线。二元函数的等值线在极值点附近是近似的同心椭圆簇，其中心就是f(x)的极小点。（3）约束条件如果一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行（或可接受）设计；反之，则称为不可行（或不可接受）设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。在工程问题中，根据约束的性质，可以把它们区分成性能约束和侧面约束两大类。针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。不是针对性能要求，只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作侧面约束。侧面约束也称作边界约束。上一页下一页返回16.2优化设计的建模约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束。凡满足所有约束条件的设计点，其在设计空间中的活动范围称作可行域。约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，该极小点可能在可行域内，也可能在可行域边界上。（4）数学模型表达式在明确了设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成如下的一般数学形式。上一页下一页返回16.2优化设计的建模④用向量T表示“满足于”，优化问题的数学模型可以表示成如下的向量形式：在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化f(x)→min或目标函数极大化f(x)→max。由于求f(x)的极大化与求f(x)的极小化等价，所以本书以后优化问题的数学模型一律采用目标函数极小化的形式。上一页下一页返回16.2优化设计的建模2.优化设计建模的基本原则建立数学模型时，过分强调精确，往往会使模型变得十分冗长、复杂，增加求解问题的难度；而片面强调简洁，又可能导致数学模型失真，以致失去了求解的意义。因此，在选择设计变量、确定目标函数、建立约束条件时，需要遵循一些基本原则，以使优化设计的数学模型在准确反映实际问题的基础上力求简洁。（1）设计变量的选择从原则上说，设计中所有的参数都是可变的，但是将所有参数都作为设计变量不仅会使问题复杂化，也是没有必要的。设计变量取得越多，设计问题的描述就可以越详尽，但也会使优化问题的规模变大，导致求解困难，因此，选择设计变量应注意如下两点：上一页下一页返回16.2优化设计的建模1）选择对目标函数影响大的参数作为设计变量。在充分了解设计要求的基础上，根据各设计参数对目标函数的影响程度，分析其主次，选择对产品性能和结构影响大的参数作为设计变量，影响小的可根据经验取为常数。如材料的力学性能是由材料的种类决定的，在机械设计中常用的材料种类是有限的，在设计中通常可根据需要和经验事先确定，从而诸如弹性模量、泊松比、许用应力等参数就可作为常数处理。2）选择独立变量作为设计变量。有一些设计变量，如应力、应变、挠度、功率、速度、加速度、温度等，通常可由设计对象的尺寸、载荷及构件间的运动关系等计算得到，也就是它们可以作为另一些变量的因变量，一般不必作为设计变量。变量之间如果不是相互独立的，还会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。上一页下一页返回16.2优化设计的建模（2）目标函数的确定目标函数是设计所追求指标的数学表达，对它的基本要求是能够用来评价设计的优劣，同时也必须是设计变量的可计算函数。通常设计所要追求的性能指标往往较多，应以其中最重要的指标作为设计目标。对于一般的机械设计，可以以质量或体积最小作为设计目标；对于应力集中较为突出的零件设计，应以应力集中系数最小作为设计目标；而对于精密仪器的设计，则应以精度最高或误差最小作为目标。这些仅含一个目标函数的优化问题称为单目标优化问题。在一般的机械设计中，常用的设计目标有：体积最小、质量最小、效率最高、承载能力最大、机械运动精度最高或运动轨迹最准确、振动或噪声最小、成本最低、耗能最少、寿命最长、可靠性最高、动力学性能最好等。上一页下一页返回16.2优化设计的建模在机械设计时，常会遇到多个指标都要求很高的情况，在优化过程中，应将这些指标作为设计目标，建立包含多个目标函数的综合优化模型。包含多个目标函数的优化问题即为多目标优化问题。多目标优化方法包括加权方法、极大极小方法等。多目标优化问题目前仍是优化设计领域有待进一步研究的问题。应尽量将多目标优化设计问题转化为单目标优化设计问题。在建立多目标优化模型时，应尽量控制目标函数的数目，使同时求解的优化目标尽可能少。（3）约束条件的建立约束条件是设计本身对设计变量取值范围提出的限制条件，也必须是设计变量的可计算函数。确定约束条件应注意如下两方面：1）避免出现相互矛盾的约束。相互矛盾的约束条件必然导致可行域为空集，使问题的解不存在。上一页下一页返回16.2优化设计的建模2）尽量减少不必要的约束。在建立优化设计模型的时候，出于工程问题的保险考虑，总是力求全面反映工程实际问题，往往会加入很多的约束。但是约束的增多，不仅增加了优化设计的计算量和求解难度，还可能会使可行域减小，影响优化的结果。3.优化设计建模实例【例16

1】一火箭由甲地飞往乙地，已知甲乙两地的距离为10s，火箭推力在每飞行完距离s后可瞬时改变。若在第i阶段的最大可能推力为ci（i=1，2，…，10），并假设火箭的飞行路线是直线，且无外力作用在火箭上，火箭的质量m为常数。问应当怎样控制各阶段火箭的推力，使其在最短时间内飞完总距离？解：设路程上推力可变化的各个控制点为1，2，…，11，xi是火箭从第i点到第i+1点的推力（i=1，2，…，10），vi是火箭在第i点时的速度，则火箭在第i点时的加速度为上一页下一页返回16.2优化设计的建模第i点到第i+1点的距离为s，即式中，ti

是火箭从第i点到第i+1点所需的飞行时间。于是可解得则火箭在第i+1点时的速度为上一页下一页返回16.2优化设计的建模由于火箭飞行是在第1点开始，第11点结束，因此上一页下一页返回16.2优化设计的建模【例16

2】设计一个用于高速公路桥梁的钢板焊接梁，使其用料最省（梁的截面形状如图16

4所示）。已知该梁承受的载荷包括桥面铺装和梁本身的重力，以及按照相关标准等效的车辆均布载荷和集中载荷。解：（1）数据准备根据所选的钢板材料和已有的设计资料，可以得到：上一页下一页返回16.2优化设计的建模集中弯矩载荷集中剪切载荷设工字形梁截面的腹板宽度为tw，高度为h，翼缘宽度为b，厚度为tf，尺寸单位均为m，则：上一页下一页返回16.2优化设计的建模剪应力变形上一页下一页返回16.2优化设计的建模（2）建立模型选梁的截面尺寸h、b、tf、tw

为设计变量，即：求上一页返回16.3优化设计问题的基本解法数学模型建立起来之后，优化设计就变成了一个求目标函数极小值的数学问题。可以用图解法求解，如：对简单的二维最优化问题，可在设计平面中画出约束可行域和目标函数的一簇等值线，并根据等值线与可行域的相互关系确定出最优点的位置，进而得到问题的近似最优解（如图16

2所示）；也可以采用微分、变分等解析方法，还可以采用近似的、迭代搜索的数值计算方法，以及随着仿生学、遗传学和人工智能科学的发展，科学家相继将遗传学、神经网络科学等的原理和方法应用到最优化领域形成的一系列新的智能最优化方法，如遗传算法、神经网络算法、蚁群算法等。本章首先介绍以数学分析中多元函数极值理论为基础的解析方法，它为以后的数值寻优提供了重要理论，接着介绍数值计算方法——重点是数学规划法的基本思路和步骤。下一页返回16.3优化设计问题的基本解法1.解析方法（1）无约束优化问题无约束优化就是求目标函数f(x1，x2，…，xn)的极小值。对于可微的一元函数f(x)，在给定区间内某点x=x0

处取得极值，其条件是：此条件是必要的，但不充分，还需要根据二阶导数的符号来判断。上一页下一页返回16.3优化设计问题的基本解法极值的充分条件为：上一页下一页返回16.3优化设计问题的基本解法则G(x*)正定。如果G(x*)的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，则G(x*)负定，否则，G(x*)不定。（2）等式约束优化问题对于等式约束优化问题：可以通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题来求解，办法是把原来的目标函数f(x)改造成如下形式的新的目标函数。上一页下一页返回16.3优化设计问题的基本解法由F(x,λ)取极值的必要条件：上一页下一页返回16.3优化设计问题的基本解法（3）不等式约束优化问题对于多元函数不等式约束优化问题：上一页下一页返回16.3优化设计问题的基本解法进一步推导可得：这就是库恩塔克（Kuhn

Tucker）条件。它可以作为判断设计点是否为约束最优点及搜索方法是否合理的检验条件，在优化方法中具有重要作用。根据约束边界是否通过某个设计点，又可将约束条件分成该设计点的起作用约束和不起作用约束。所谓起作用约束，就是约束边界正好通过该设计点的约束。上一页下一页返回16.3优化设计问题的基本解法引入起作用约束的下标集合：则库恩塔克条件的几何意义是在约束极小值点x*处，函数f(x)的负梯度一定能表示成所