2026复变函数保角映射应用试卷及答案

2026复变函数保角映射应用试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数保角映射应用试卷考核对象：数学专业本科三年级学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(z)在区域D内解析且不为常数，则f(z)的保角映射可以将D映射为另一个区域且保持角度不变。2.分式线性映射z→(az+b)/(cz+d)（其中ad-bc≠0）可以将扩充复平面映射为扩充复平面，且具有保圆性。3.若函数w=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则其实部u(x,y)和虚部v(x,y)满足柯西-黎曼方程。4.线性映射z→az+b（其中a为正实数）将圆映射为圆，但不一定保持角度。5.若函数f(z)在z₀处解析，则它在z₀的邻域内可以展开为洛朗级数。6.保角映射可以将角形区域映射为角形区域，但角度大小可能改变。7.极点与零点的映射关系在分式线性映射中保持不变。8.若函数f(z)在区域D内解析且f(z)≠0，则其逆映射f⁻¹(z)也在相应区域内解析。9.球面映射z→ez可以将上半平面映射为单位圆内部。10.若两个区域之间存在保角映射，则该映射是唯一的。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个函数在z=0处不是解析的？A.e^zB.sin(z)C.1/zD.z^22.分式线性映射z→(z+1)/(z-1)将点z=1映射为：A.∞B.-1C.1D.03.函数w=z^2将单位圆映射为：A.单位圆B.圆心在原点的椭圆C.双曲线D.抛物线4.柯西积分定理的条件是：A.f(z)在闭曲线内解析且在闭曲线上连续B.f(z)在闭曲线上解析C.f(z)在闭曲线内连续D.f(z)在闭曲线上连续且在内部解析5.函数w=log(z)将右半平面映射为：A.整个复平面（除去负实轴）B.上半平面C.下半平面D.虚轴6.映射z→1/z将圆心在原点的圆映射为：A.圆心在原点的圆B.直线C.圆心在原点的圆或直线D.椭圆7.若函数f(z)在区域D内解析且满足f(z)=f(1/z)，则f(z)可能是：A.zB.z^2C.1/zD.e^z8.保角映射可以将角形区域映射为：A.圆形区域B.椭圆区域C.角形区域D.抛物线区域9.函数w=sin(z)在z=π/2处的导数为：A.1B.-1C.iD.-i10.分式线性映射z→(az+b)/(cz+d)的保圆性要求：A.a=dB.ad-bc≠0C.c=0D.b=0三、多选题（每题2分，共20分）1.下列哪些函数在z=0处解析？A.e^zB.sin(z)C.1/zD.z^2E.tan(z)2.分式线性映射的性质包括：A.保圆性B.保角度性C.将无穷远点映射为有限点D.将有限点映射为无穷远点E.映射唯一性3.柯西积分定理的应用条件包括：A.f(z)在闭曲线内解析B.f(z)在闭曲线上连续C.闭曲线不经过奇点D.闭曲线为简单闭曲线E.闭曲线可以自相交4.函数w=z^2将哪些区域映射为对称区域？A.上半平面B.左半平面C.单位圆内部D.半圆E.线段5.保角映射的应用包括：A.流体力学中的速度场映射B.电学中的电位分布映射C.几何中的图形变换D.物理学中的波传播映射E.复变函数的积分计算6.洛朗级数的收敛域包括：A.环形区域B.圆盘区域C.球形区域D.无穷远点E.奇点7.极点与零点的映射关系包括：A.极点可以映射为零点B.零点可以映射为极点C.极点的阶数与零点的阶数相同D.映射关系不依赖于路径E.映射关系唯一8.球面映射的性质包括：A.将上半平面映射为单位圆内部B.将单位圆映射为上半平面C.保角性D.将无穷远点映射为原点E.将原点映射为无穷远点9.复变函数的积分计算方法包括：A.柯西积分公式B.柯西积分定理C.洛朗级数展开D.留数定理E.代数运算10.保角映射在工程中的应用包括：A.水力学中的河道流量计算B.电气工程中的传输线分析C.热力学中的温度分布计算D.结构力学中的应力分布分析E.控制理论中的系统稳定性分析四、案例分析（每题6分，共18分）1.题目：已知函数w=z^2将单位圆内部映射为上半平面，求该映射将点z=i映射为w的值，并说明映射的保角性。解题思路：-代入z=i计算w值；-说明映射的保角性（角度保持不变）。参考答案：w=i^2=-1，映射为上半平面，角度保持不变。2.题目：函数w=(z-1)/(z+1)将上半平面映射为哪个区域？请说明映射的性质。解题思路：-分析映射的奇点（z=-1）；-说明映射的保圆性和保角性。参考答案：映射将上半平面映射为右半平面，具有保圆性和保角性。3.题目：已知函数w=log(z)将右半平面映射为整个复平面（除去负实轴），求该映射将点z=2i映射为w的值，并说明映射的保角性。解题思路：-代入z=2i计算w值；-说明映射的保角性（角度保持不变）。参考答案：w=log(2i)=log(2)+iπ/2，映射为整个复平面（除去负实轴），角度保持不变。五、论述题（每题11分，共22分）1.题目：请论述保角映射在流体力学中的应用，并举例说明。解题思路：-解释保角映射如何用于简化流体力学问题；-举例说明具体应用（如河道流量计算）。参考答案：保角映射可以将复杂边界条件的流体力学问题映射为简单边界条件的问题，从而简化计算。例如，将河道流量问题映射为平行流问题，便于求解速度场。2.题目：请论述复变函数的积分计算方法及其在电气工程中的应用，并举例说明。解题思路：-解释复变函数的积分计算方法（如柯西积分公式、留数定理）；-举例说明具体应用（如传输线分析）。参考答案：复变函数的积分计算方法可以简化电路分析中的积分计算。例如，利用留数定理计算传输线上的电压分布，可以避免复杂的积分计算。---标准答案及解析一、判断题1.√2.√3.√4.×（线性映射保持角度）5.×（洛朗级数需在去心邻域内展开）6.×（角度大小不变）7.×（映射关系可能改变极点阶数）8.√9.×（应将上半平面映射为单位圆外部）10.×（存在多个保角映射）二、单选题1.C2.A3.A4.A5.A6.C7.C8.C9.A10.B三、多选题1.A,B,D2.A,B,C3.A,B,D4.A,B,C5.A,B,C,D6.A,B,E7.A,B,C8.A,B,C,D9.A,B,C,D10.A,B,C,D,E四、案例分析1.参考答案：w=-1，映射为上半平面，角度保持不变。解析：-代入z=i，w=i^2=-1；-映射为上半平面，角度保持不变。2.参考答案：映射为右半平面，具有保圆性和保角性。解析：-奇点z=-1，映射将上半平面映射为右半平面；-映射具有保圆性和保角性。3.参考答案：w=log(2)+iπ/2，映射为整个复平面（除去负实轴），角度保持不变。解析：-代入z=2i，w=log(2i)=log(2)+iπ/2；-映射为整个复平面（除去负实轴），角度保持不变。五、论述题1.参考答案：保角映射在流体力学中用于简化复杂边界条件的流体问题。例如，将河道流量问题映射为平行流问题，便于求解速度场。具体步骤包括：-选择合适的保角映射函数；-将复杂边界条件映射为简单边界条件；-求解简化后的流体力学问题。解析：-保角映