2026复变函数复平面变换考核试卷及答案

2026复变函数复平面变换考核试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数复平面变换考核试卷考核对象：数学专业本科二年级学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-简答题（3题，每题4分）总分12分-应用题（2题，每题9分）总分18分总分：100分一、判断题（每题2分，共20分）1.模运算满足交换律。2.如果函数f(z)在区域D内解析，则f(z)在D内处处可导。3.所有解析函数的实部都是调和函数。4.如果w=u+iv是z=x+yi的线性变换，则该变换是保角的。5.极点与零点的阶数可以相同。6.留数定理适用于所有解析函数的积分计算。7.如果f(z)在闭区域C上连续，则沿C的积分值为0。8.对数函数log(z)在z=0处有奇点。9.所有解析函数都可以展开为Laurent级数。10.双曲正弦函数sh(z)是全纯函数。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(z)=z²在z=1处的导数是（）。A.2B.1C.4D.02.函数f(z)=|z|在z=1处的导数是（）。A.1B.2C.不存在D.03.函数f(z)=e^z在z=0处的泰勒级数展开式中，z³项的系数是（）。A.1B.0C.1/6D.1/34.线性变换w=az+b将单位圆映射为（）。A.单位圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线5.函数f(z)=1/(z-1)在z=2处的留数是（）。A.1B.-1C.1/2D.-1/26.函数f(z)=z/(z²+1)在z=i处的留数是（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-17.函数f(z)=sin(z)在z=π处的值是（）。A.0B.1C.-1D.i8.函数f(z)=z²在|z|≤1区域内的积分值为（）。A.0B.2πiC.πiD.-πi9.函数f(z)=e^z在|z|≤1区域内的积分值为（）。A.0B.2πiC.πiD.-πi10.函数f(z)=1/z在|z|≥1区域内的积分值为（）。A.0B.2πiC.πiD.-πi三、多选题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在z=0处解析的有（）。A.f(z)=z²B.f(z)=1/zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=log(z)2.下列函数中，是调和函数的有（）。A.u(x,y)=x²-y²B.u(x,y)=excosyC.u(x,y)=ln(x²+y²)D.u(x,y)=sin(x)cos(y)3.下列变换中，是保角的的有（）。A.w=z²B.w=1/zC.w=az+bD.w=e^z4.下列关于留数的说法正确的有（）。A.留数定理适用于所有闭曲线积分B.留数是解析函数在孤立奇点处的积分值C.留数可以用于计算实轴上的积分D.留数的计算仅限于极点5.下列关于Laurent级数的说法正确的有（）。A.Laurent级数包含正幂和负幂项B.Laurent级数仅包含正幂项C.Laurent级数可以表示解析函数在奇点附近的展开D.Laurent级数仅适用于整函数6.下列关于线性变换的说法正确的有（）。A.线性变换保持点与点之间的距离B.线性变换将直线映射为直线C.线性变换将圆映射为圆D.线性变换将椭圆映射为椭圆7.下列关于积分路径的说法正确的有（）。A.积分路径的方向不影响积分结果B.积分路径的方向影响积分结果C.闭曲线积分的结果仅与曲线内的奇点有关D.闭曲线积分的结果为0当且仅当被积函数解析8.下列关于解析函数的性质正确的有（）。A.解析函数的实部和虚部都是调和函数B.解析函数的导数仍解析C.解析函数的积分结果为0当且仅当积分路径不包围奇点D.解析函数的积分结果仅与被积函数有关9.下列关于复平面变换的说法正确的有（）。A.Möbius变换是保角的B.Möbius变换将圆映射为圆或直线C.Möbius变换将直线映射为圆或直线D.Möbius变换是可逆的10.下列关于留数应用的说法正确的有（）。A.留数可以用于计算实轴上的积分B.留数可以用于计算振荡积分C.留数仅适用于闭曲线积分D.留数仅适用于极点四、简答题（每题4分，共12分）1.简述解析函数与调和函数的关系。2.简述留数定理的应用场景。3.简述线性变换w=az+b的性质。五、应用题（每题9分，共18分）1.计算函数f(z)=1/(z²-1)在|z|=2闭曲线上的积分，并验证留数定理。2.将函数f(z)=z/(z²+1)在|z|<1区域内展开为Laurent级数，并求其在z=0处的留数。---标准答案及解析一、判断题1.√模运算满足交换律，即|ab|=|ba|。2.√解析函数在区域D内处处可导。3.√根据Cauchy-Riemann方程，解析函数的实部是调和函数。4.×线性变换w=az+b在z=0处可能不保角。5.√极点和零点的阶数可以相同。6.×留数定理适用于解析函数在闭曲线上的积分计算。7.×连续函数沿闭曲线的积分不一定为0。8.√对数函数log(z)在z=0处有奇点。9.×仅解析函数可以展开为Laurent级数。10.√双曲正弦函数sh(z)是全纯函数。二、单选题1.A导数f'(z)=2z，在z=1处为2。2.C|z|在z=1处不可导。3.C泰勒级数展开式中，z³项系数为1/6。4.A线性变换将单位圆映射为单位圆。5.B留数为-1。6.A留数为1/2。7.Asin(π)=0。8.A在|z|≤1区域内，积分值为0。9.B在|z|≤1区域内，积分值为2πi。10.A在|z|≥1区域内，积分值为0。三、多选题1.AC解析函数包括z²和sin(z)。2.AB调和函数满足Laplace方程。3.CDw=az+b和w=e^z是保角的。4.BC留数定理适用于闭曲线积分，留数可以用于计算实轴上的积分。5.ACLaurent级数包含正负幂项，可用于奇点附近展开。6.BCD线性变换将直线映射为直线，圆映射为圆，且是可逆的。7.BC闭曲线积分结果与曲线内奇点有关，方向影响结果。8.ABC解析函数的实部虚部调和，导数仍解析，积分结果与奇点有关。9.ABCDMöbius变换是保角的，将圆映射为圆或直线，是可逆的。10.AB留数可用于计算实轴和振荡积分。四、简答题1.解析函数在区域D内处处可导，其实部和虚部满足Cauchy-Riemann方程，因此都是调和函数。2.留数定理可用于计算闭曲线积分，特别是涉及解析函数和孤立奇点的积分。3.线性变换w=az+b是保距的，将直线映射为直线，圆映射为圆，且是可逆的。五、应用题1.解：函数f(z)=1/(z²-1)在z=1和z=-1处有极点。在|z|=2闭曲线上，积分值为：∮f(z)dz=2πi(Res(f,1)+Res(f,-1))Res(f,1)=lim(z→1)(z-1)/(z²-1)=1/2Res(f,-1)=lim(z→-1)(z+1)/(z²-1)=-1/2∮f(z)dz=2πi(1/2-1/2)=0验证留数定理，积分结果为0，与留数定理一致。2.解：函数f(z)=z/(z²+1)在z=i和z=-i处有极点。在|z|<1区域内展开为Laurent级数：f(z)=z/(z²+1)=z/(z-i)(z+i)展开为部分分式：f(z)=(1/2i)(1/(z-i)-1/(z+i))在|z|<1区域内展开：1/(z-i)=-1/i(1-z/i+z²/i²+...)=-i(1+z/i+z²/i²+...)1/(z+i)=1/i(1-z/i+z²/i²+...)=i(1-z/i+z²/i²+...)f(z)=(1/2i)[-i(1+z/i+z²/i²+...)+i(1-z/i+z²/i²+...)]=(1/2i)[-i+iz+...+i-iz+...]=(1/2i)(-i+i)=0在z=0处，留数为：Res(f,0)=lim(z→0)f(z)=0但实际展开应为：f(z)=z/(z²+1)=z/(z-i)(z+i)在|z|<1区域内展开：f(z)=(1/2i)(1/(z-i)-1/(z+i))