2026复变函数积分技巧训练试卷及答案

2026复变函数积分技巧训练试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数积分技巧训练试卷考核对象：数学专业本科二年级学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(z)在区域D内解析，则沿D内任意简单闭曲线C，有∮_Cf(z)dz=0。2.柯西积分定理要求积分路径必须为简单闭曲线。3.柯西积分公式适用于任何解析函数的积分计算。4.留数定理仅适用于单极点的情况。5.若函数f(z)在扩充复平面上除有限个孤立奇点外处处解析，则其积分值仅与路径绕奇点的次数有关。6.柯西积分定理的证明依赖于柯西-黎曼方程。7.留数定理可以推广到多极点的情形。8.柯西积分公式中的积分路径必须包含被积函数的奇点。9.复变函数的积分技巧在实变函数积分中无应用价值。10.若函数f(z)在简单闭曲线C上连续且在C内解析，则∮_Cf(z)dz=2πi∮_Cf(z)dz。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个条件是柯西积分定理成立的充分条件？A.函数在闭区域上连续B.函数在闭区域上解析C.函数在闭区域上可导D.函数在闭区域上可积2.函数f(z)=1/(z-1)在z=1处的留数为？A.1B.-1C.2πiD.03.若函数f(z)在|z|<1内解析，且f(0)=1，则∮_C(z+1)f(z)dz（C为|z|=1）等于？A.2πiB.0C.2πi(f(0)+1)D.-2πi4.函数f(z)=z/(z^2+1)在z=2处的留数为？A.1/5B.-1/5C.2πiD.05.柯西积分公式适用于以下哪种情况？A.多连通区域B.单连通区域C.仅在原点解析的函数D.仅在无穷远点解析的函数6.函数f(z)=1/z在|z|<1内解析，则∮_C1/zdz（C为|z|=1）等于？A.2πiB.0C.-2πiD.17.留数定理中，若函数在z=0处有m阶极点，则其留数为？A.f^(m-1)(0)/(m-1)!B.f^(m-1)(0)/m!C.f^(m-1)(0)/(m+1)!D.08.柯西积分定理的适用范围是？A.仅在原点解析的函数B.仅在无穷远点解析的函数C.在单连通区域上解析的函数D.在多连通区域上解析的函数9.函数f(z)=z^2/(z-1)在z=1处的留数为？A.1B.2C.0D.-110.若函数f(z)在|z|<1内解析，且f(0)=1，则∮_Cz^2f(z)dz（C为|z|=1）等于？A.2πiB.0C.2πi(f(0))D.-2πi三、多选题（每题2分，共20分）1.下列哪些是柯西积分定理的推论？A.柯西积分公式B.留数定理C.高阶导数公式D.柯西不等式2.留数定理的应用包括？A.计算实变函数积分B.计算复变函数积分C.求解微分方程D.分析函数性质3.柯西积分公式适用于？A.单连通区域B.多连通区域C.仅在原点解析的函数D.仅在无穷远点解析的函数4.函数f(z)在z=0处有简单极点，其留数等于？A.∮_Cf(z)dz（C为|z|=ε）B.lim_(z→0)(z-0)f(z)C.f'(0)D.05.留数定理的适用条件包括？A.函数在扩充复平面上除有限个孤立奇点外处处解析B.积分路径为简单闭曲线C.函数在积分路径上连续D.函数在积分路径内解析6.柯西积分定理的证明依赖于？A.柯西-黎曼方程B.斯托克斯定理C.高斯定理D.散度定理7.函数f(z)在z=0处有m阶极点，其留数等于？A.f^(m-1)(0)/(m-1)!B.f^(m-1)(0)/m!C.lim_(z→0)(d^m/dz^m)[(z-0)^mf(z)]D.08.柯西积分公式的应用包括？A.计算复变函数积分B.求解微分方程C.分析函数性质D.计算实变函数积分9.留数定理的证明依赖于？A.柯西积分公式B.柯西积分定理C.高阶导数公式D.柯西不等式10.函数f(z)在z=0处有简单极点，其留数等于？A.∮_Cf(z)dz（C为|z|=ε）B.lim_(z→0)(z-0)f(z)C.f'(0)D.0四、案例分析（每题6分，共18分）1.计算积分∮_C(z^2+2z+3)/(z-1)dz，其中C为|z|=2。2.计算积分∮_C(z^2+1)/(z(z-1)(z+1))dz，其中C为|z|=2。3.计算积分∮_Ce^z/(z^2+1)dz，其中C为|z|=2。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述柯西积分定理的几何意义及其在复变函数理论中的重要性。2.论述留数定理在计算复变函数积分中的应用，并举例说明。---标准答案及解析一、判断题1.√2.√3.×（柯西积分公式要求被积函数在闭曲线内部及边界上解析）4.×（留数定理适用于多极点）5.√6.√7.√8.√9.×（复变函数积分技巧可简化实变函数积分计算）10.×（柯西积分公式为∮_Cf(z)dz=2πi∮_Cf'(z)dz）二、单选题1.B2.A3.A4.B5.B6.A7.A8.C9.A10.B三、多选题1.A,C2.A,B,D3.A,B4.A,B5.A,B,C,D6.A7.A,C8.A,B,C9.A,B10.A,B四、案例分析1.解：函数f(z)=z^2+2z+3在z=1处有简单极点，其留数为：Res(f,1)=lim_(z→1)(z-1)(z^2+2z+3)=1^2+2×1+3=6∴∮_C(z^2+2z+3)/(z-1)dz=2πi×6=12πi2.解：函数f(z)=(z^2+1)/(z(z-1)(z+1))在z=1处有简单极点，其留数为：Res(f,1)=lim_(z→1)(z-1)(z^2+1)/(z(z-1)(z+1))=(1^2+1)/(1×(1+1))=1/2∴∮_C(z^2+1)/(z(z-1)(z+1))dz=2πi×(1/2)=πi3.解：函数f(z)=e^z/(z^2+1)在z=±i处有简单极点，其留数分别为：Res(f,i)=lim_(z→i)(z-i)e^z/(z^2+1)=e^i/(2i)Res(f,-i)=lim_(z→-i)(z+i)e^z/(z^2+1)=e^{-i}/(-2i)∴∮_Ce^z/(z^2+1)dz=2πi(e^i/(2i)+e^{-i}/(-2i))=2πi(0)=0五、论述题1.柯西积分定理的几何意义在于：若函数在单连通区域内解析，则沿该区域内任意简单闭曲线的积分值为零。这反映了解析函数的无旋性，即其复梯度（柯西-黎曼方程）在区域内处处为零。在复变函数理论中，该定理是柯西积分公式和留