2026复变函数计算能力检验试卷及答案

2026复变函数计算能力检验试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数计算能力检验试卷考核对象：数学专业本科生、相关专业研究生题型分值分布：-判断题（20分）-单选题（20分）-多选题（20分）-案例分析（18分）-论述题（22分）总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）请判断下列命题的正误。1.若函数\(f(z)\)在区域\(D\)内解析，则\(f(z)\)在\(D\)内处处可导。2.洛朗级数展开式中的负幂项越多，函数的可去奇点越多。3.\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2+1}\,dz=0\)。4.若\(f(z)\)在\(z_0\)处解析，则\(f(z)\)在\(z_0\)附近可展开为泰勒级数。5.\(\sin(z)\)是整函数。6.\(\frac{1}{z}\)在\(z=0\)处是极点。7.若\(f(z)\)在简单闭曲线\(C\)上连续且在\(C\)内解析，则\(\int_Cf(z)\,dz=0\)。8.\(\cos(z)\)的泰勒级数在复平面上处处收敛。9.若\(f(z)\)在\(z_0\)处有本性奇点，则\(f(z)\)在\(z_0\)附近不能展开为洛朗级数。10.\(\int_{|z|=2}\frac{e^z}{z(z-1)}\,dz=2\pii\)。二、单选题（每题2分，共20分）每题只有一个正确选项。1.函数\(f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)处的奇点类型是（）。A.可去奇点B.极点C.本性奇点D.解析点2.\(\int_{|z|=1}\frac{z+1}{z^2}\,dz\)的值为（）。A.\(2\pii\)B.\(0\)C.\(\pii\)D.\(-\pii\)3.函数\(f(z)=\sin\left(\frac{1}{z}\right)\)在\(z=0\)处的奇点类型是（）。A.可去奇点B.极点C.本性奇点D.解析点4.若\(f(z)\)在\(z_0\)处解析，且\(f(z_0)\neq0\)，则\(\frac{1}{f(z)}\)在\(z_0\)处（）。A.解析B.有可去奇点C.有极点D.有本性奇点5.\(\sinh(z)\)的泰勒级数展开式中，第3项为（）。A.\(z^3\)B.\(\frac{z^3}{3!}\)C.\(\frac{z^3}{2!}\)D.\(-\frac{z^3}{3!}\)6.\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2+1}\,dz\)的值为（）。A.\(\pii\)B.\(2\pii\)C.\(0\)D.\(\pi\)7.函数\(f(z)=z^2\ln(z)\)在\(z=0\)处的奇点类型是（）。A.可去奇点B.极点C.本性奇点D.解析点8.若\(f(z)\)在简单闭曲线\(C\)上连续且在\(C\)内解析，则\(\int_Cf(z)\,dz\)的值为（）。A.\(0\)B.\(2\pii\)C.\(f(z)\)的值D.无法确定9.\(\cos(z)\)的泰勒级数展开式中，第4项为（）。A.\(z^4\)B.\(\frac{z^4}{4!}\)C.\(\frac{z^4}{2!}\)D.\(-\frac{z^4}{4!}\)10.函数\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=1\)处的留数为（）。A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(\pii\)三、多选题（每题2分，共20分）每题有多个正确选项。1.下列函数中，在\(z=0\)处解析的有（）。A.\(f(z)=z^2+2z+1\)B.\(f(z)=\frac{1}{z}\)C.\(f(z)=\sin(z)\)D.\(f(z)=e^z\)2.下列函数中，是整函数的有（）。A.\(f(z)=z^3\)B.\(f(z)=\sin(z)\)C.\(f(z)=\frac{1}{z}\)D.\(f(z)=e^z\)3.下列积分中，值为\(2\pii\)的有（）。A.\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z}\,dz\)B.\(\int_{|z|=2}\frac{1}{z^2}\,dz\)C.\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z+1}\,dz\)D.\(\int_{|z|=2}\frac{1}{z-1}\,dz\)4.函数\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)的奇点为（）。A.\(z=0\)B.\(z=1\)C.\(z=-1\)D.\(z=2\)5.下列关于洛朗级数的说法正确的有（）。A.洛朗级数是泰勒级数的推广B.洛朗级数可以表示函数在环域内的解析性C.洛朗级数中的正幂项表示函数的解析部分D.洛朗级数中的负幂项表示函数的奇异性部分四、案例分析（每题6分，共18分）1.计算积分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z(z-1)}\,dz\)。2.求函数\(f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)和\(z=1\)处的留数。3.将函数\(f(z)=\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=0\)处展开为洛朗级数，并指出其收敛域。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述柯西积分定理的条件和意义，并举例说明。2.比较泰勒级数和洛朗级数在函数表示上的区别，并说明各自的应用场景。---标准答案及解析一、判断题1.√2.×（负幂项越多，奇点越复杂，但不一定越多）3.×（积分路径包含奇点，需用留数定理计算）4.√5.√6.√7.√（根据柯西积分定理）8.√9.×（本性奇点仍可展开，但非泰勒级数）10.√（留数定理计算）二、单选题1.A（可去奇点，因\(z=0\)和\(z=1\)处可消去分母）2.A（\(\frac{z+1}{z^2}=\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}\)，积分结果为\(2\pii\)）3.C（\(\frac{1}{z}\)在\(z=0\)处为本性奇点）4.A（解析函数的倒数仍解析）5.B（泰勒级数中第3项为\(\frac{z^3}{3!}\)）6.A（\(\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=i\)处有奇点，积分结果为\(\pii\)）7.C（\(z^2\ln(z)\)在\(z=0\)处为本性奇点）8.A（根据柯西积分定理）9.B（泰勒级数中第4项为\(\frac{z^4}{4!}\)）10.B（留数为\(-1\)，通过部分分式展开计算）三、多选题1.A,C,D（均解析）2.A,B,D（整函数定义）3.A,D（积分路径包含奇点，留数分别为1和1）4.A,B（奇点为分母为零处）5.A,B,D（洛朗级数是泰勒级数的推广，表示环域解析性，负幂项表示奇异性）四、案例分析1.解析：\[\int_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z(z-1)}\,dz=\int_{|z|=1}\left(\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z}\right)\,dz=2\pii+2\pii=4\pii\]留数定理计算：\(\text{Res}(f,0)=1\)，\(\text{Res}(f,1)=1\)，积分结果为\(2\pii(\text{Res}(f,0)+\text{Res}(f,1))=4\pii\)。2.解析：\[f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}=\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}\]留数：-\(\text{Res}(f,0)=1\)-\(\text{Res}(f,1)=1\)3.解析：\[\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)\]洛朗级数展开：\[\frac{1}{z-i}=\frac{1}{i}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{i^n}z^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nz^n\]\[\frac{1}{z+i}=\frac{1}{-i}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(-i)^n}z^n=-\sum_{n=0}^\infty(-1)^nz^n\]合并：\[\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{2i}\left(2\sum_{n=0}^\infty(-1)^nz^n\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{i}z^n\]收敛域：\(|z|<1\)（环域\(0<|z|<1\)）。五、论述题1.柯西积分定理：-条件：函数\(f(z)\)在简单闭曲线\(C\)及其内部解析。-意义：解析函数的积分仅与路径起点和终点有关，与路径形状无关，是复变