2026复变函数留数定理应用试卷及答案

2026复变函数留数定理应用试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数留数定理应用试卷考核对象：数学专业本科三年级学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.留数定理适用于所有复平面上的封闭曲线积分。2.如果函数f(z)在z₀处有孤立奇点，则它在z₀处的留数等于它在z₀处的洛朗展开式中-1/z项的系数。3.留数定理可以用来计算实轴上的定积分。4.如果函数f(z)在扩充复平面上除z₁和z₂两点外处处解析，则∮|f(z)|dz=0（沿封闭曲线）。5.留数定理只适用于单值函数。6.留数定理的证明依赖于柯西积分定理。7.如果函数f(z)在z₀处有本性奇点，则它在z₀处的留数一定不为零。8.留数定理可以用来计算某些三角函数的积分。9.留数定理只适用于奇点为极点的情形。10.留数定理在计算实轴上的广义积分时，可以通过变换将积分转化为复平面上的积分。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(z)=1/(z(z-1)^2)在z=1处的留数是（）。A.1B.-1C.2D.-22.函数f(z)=sin(z)/(z^2-1)在z=1处的留数是（）。A.-1/2B.1/2C.-πiD.πi3.函数f(z)=e^z/(z^2+1)在z=ii处的留数是（）。A.e^i/2B.-e^i/2C.e^-i/2D.-e^-i/24.函数f(z)=z/(z^2+1)在z=∞处的留数是（）。A.1B.-1C.0D.不存在5.函数f(z)=1/(z^3-1)在z=1处的留数是（）。A.1/3B.-1/3C.1/6D.-1/66.函数f(z)=z^2/(z^2+1)^2在z=1处的留数是（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-17.函数f(z)=tan(z)在z=π/2处的留数是（）。A.1B.-1C.iD.-i8.函数f(z)=1/(z(z-1)(z-2))在z=1处的留数是（）。A.1B.-1C.1/2D.-1/29.函数f(z)=z/(z^2+1)在z=-i处的留数是（）。A.-iB.iC.1D.-110.函数f(z)=e^z/(z^2-1)在z=-1处的留数是（）。A.e^-1B.-e^-1C.e^1D.-e^1三、多选题（每题2分，共20分）1.下列函数在z=0处有孤立奇点的是（）。A.f(z)=1/zB.f(z)=sin(z)/zC.f(z)=z/(z^2+1)D.f(z)=1/z^22.留数定理可以用来计算下列哪些积分？（）A.∫_a^∞e^(-x^2)dxB.∫_0^(2π)(1+cos(x))/2dxC.∫_0^(2π)1/(1+sin(x))dxD.∫_a^∞1/(x^2+1)dx3.函数f(z)=1/(z(z-1)^2)在z=0处的留数是（）。A.1B.0C.-1D.24.函数f(z)=z/(z^2+1)在z=∞处的留数是（）。A.1B.-1C.0D.不存在5.下列函数在z=1处有孤立奇点的是（）。A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=1/(z-1)^2C.f(z)=z/(z-1)D.f(z)=1/(z^2-1)6.留数定理的适用条件包括（）。A.函数在封闭曲线内部有有限个孤立奇点B.函数在封闭曲线内部解析C.函数在封闭曲线外部解析D.封闭曲线不经过奇点7.函数f(z)=e^z/(z^2+1)在z=ii处的留数是（）。A.e^i/2B.-e^i/2C.e^-i/2D.-e^-i/28.函数f(z)=1/(z^3-1)在z=1处的留数是（）。A.1/3B.-1/3C.1/6D.-1/69.下列积分可以用留数定理计算的是（）。A.∫_0^(2π)cos(x)/2dxB.∫_0^(2π)1/(1+cos(x))dxC.∫_0^(2π)sin(x)/2dxD.∫_0^(2π)1/(1-sin(x))dx10.留数定理的应用包括（）。A.计算实轴上的广义积分B.计算三角函数的积分C.计算指数函数的积分D.计算对数函数的积分四、案例分析（每题6分，共18分）1.计算积分∮_C(z^2+1)/(z-1)^2dz，其中C是圆周|z|=2。2.计算积分∮_C(e^z)/(z^2+1)dz，其中C是圆周|z|=3。3.计算积分∫_0^(2π)(1+cos(x))/2dx，使用留数定理。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述留数定理在计算实轴上的广义积分中的应用，并举例说明。2.论述留数定理的证明思路，并解释其与柯西积分定理的关系。---标准答案及解析一、判断题1.×（留数定理适用于封闭曲线内部有有限个孤立奇点的情形）2.√3.√（通过变换将实轴积分转化为复平面积分）4.×（柯西积分定理要求函数在封闭曲线内部解析）5.×（留数定理适用于多值函数，如对数函数）6.√7.×（本性奇点的留数可以是任意复数）8.√9.×（留数定理适用于孤立奇点，包括极点和本性奇点）10.√二、单选题1.D（留数=-2）2.A（留数=-1/2）3.C（留数=e^-i/2）4.B（留数=-1）5.A（留数=1/3）6.A（留数=1/2）7.B（留数=-1）8.D（留数=-1/2）9.A（留数=-i）10.B（留数=-e^-1）三、多选题1.ABD2.BCD3.AD4.BC5.ABD6.ACD7.ABCD8.AB9.BD10.ABC四、案例分析1.解：函数f(z)=(z^2+1)/(z-1)^2在z=1处有二级极点，留数计算：Res(f,1)=lim_(z→1)d/dz[(z-1)^2(z^2+1)/(z-1)^2]=lim_(z→1)d/dz(z^2+1)=2z|_(z=1)=2.积分结果：∮_C(z^2+1)/(z-1)^2dz=2πi2=4πi.2.解：函数f(z)=(e^z)/(z^2+1)在z=±i处有简单极点，留数计算：Res(f,i)=(e^i)/(2i)=e^i/(2i),Res(f,-i)=(e^-i)/(-2i)=-e^-i/(2i).积分结果：∮_C(e^z)/(z^2+1)dz=2πi(e^i/(2i)-e^-i/(2i))=2πi(sin(1)/i)=2πsin(1).3.解：令z=e^(ix)，则dz=ie^(ix)dx，积分变为：∮_C(1+cos(x))/2dx=∮_C(1+Re(z))/2(dz/(iz))=∮_C(1+z)/2(dz/(iz)).函数g(z)=(1+z)/(2iz)在z=0处有简单极点，留数计算：Res(g,0)=(1+0)/(2i)=1/(2i).积分结果：∫_0^(2π)(1+cos(x))/2dx=2πi(1/(2i))=π.五、论述题1.解：留数定理可以用于计算实轴上的广义积分，通过将积分转化为复平面上的积分。例如，计算∫_0^(∞)e^(-x^2)dx，令f(z)=e^(-z^2)，沿实轴对称的封闭曲线C，积分结果为：∮_Ce^(-z^2)dz=2πiRes(f,0)=2πi1=2πi.由于沿虚轴的积分