2026复变函数留数计算技巧试卷及答案

2026复变函数留数计算技巧试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数留数计算技巧试卷及答案考核对象：数学专业本科生、考研备考学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.留数定理适用于任何封闭曲线上的积分计算。2.如果函数在扩充复平面上除有限个孤立奇点外处处解析，则其积分值为零。3.留数唯一确定于孤立奇点的阶数。4.积分路径的绕行方向不影响留数的计算结果。5.留数定理可以用于计算实变函数的定积分。6.所有极点都是孤立奇点。7.留数计算中，可去奇点对积分无贡献。8.留数定理仅适用于单连通区域。9.留数可以通过洛朗展开式中的系数直接确定。10.留数定理可以推广到多连通区域。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(z)=(z^2-1)/(z-1)在z=1处的留数是（）。A.0B.1C.2D.-12.函数f(z)=1/(z(z-1)^2)在z=1处的留数是（）。A.1B.-1C.2D.-23.函数f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π处的留数是（）。A.1B.-1C.0D.π4.函数f(z)=e^z/(z^2+1)在z=i处的留数是（）。A.1/2iB.-1/2iC.1D.-15.函数f(z)=z/(z^2+1)在z=i处的留数是（）。A.1/2iB.-1/2iC.1D.-16.函数f(z)=1/(z-1)^3在z=1处的留数是（）。A.0B.1C.2D.-17.函数f(z)=tan(z)在z=π/2处的留数是（）。A.1B.-1C.0D.π8.函数f(z)=z/(z^2-1)在z=1处的留数是（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-19.函数f(z)=1/(z-2)^2在z=2处的留数是（）。A.0B.1C.2D.-110.函数f(z)=1/(z(z-1)(z-2))在z=1处的留数是（）。A.1B.-1C.1/2D.-1/2三、多选题（每题2分，共20分）1.下列函数在z=0处有孤立奇点的是（）。A.f(z)=1/zB.f(z)=z/(z^2+1)C.f(z)=sin(z)/zD.f(z)=1/(z-1)^22.留数定理可以用于计算以下哪些积分？（）A.∮_C(z^2+1)/(z-1)dz，C为|z|=1B.∮_Ce^z/(z-1)dz，C为|z|=2C.∮_C1/(z^2+1)dz，C为|z|=1D.∮_Cz/(z-1)dz，C为|z|=23.下列函数在z=1处有极点的是（）。A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=1/(z-1)^2C.f(z)=(z^2-1)/(z-1)D.f(z)=z/(z-1)^24.留数的计算方法包括（）。A.洛朗展开法B.洛必达法则C.直接代入法D.留数定理法5.下列函数在z=0处有可去奇点的是（）。A.f(z)=sin(z)/zB.f(z)=z/(z^2+1)C.f(z)=1/z^2D.f(z)=1/(z-1)6.留数定理的应用包括（）。A.计算实变函数的积分B.计算复变函数的积分C.研究函数的零点分布D.研究函数的极点分布7.下列函数在z=1处有极点的是（）。A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=1/(z-1)^2C.f(z)=(z^2-1)/(z-1)D.f(z)=z/(z-1)^28.留数的计算公式包括（）。A.m阶极点留数公式B.一阶极点留数公式C.可去奇点留数公式D.极点留数公式9.下列函数在z=0处有孤立奇点的是（）。A.f(z)=1/zB.f(z)=z/(z^2+1)C.f(z)=sin(z)/zD.f(z)=1/(z-1)^210.留数定理的适用条件包括（）。A.函数在封闭曲线上解析B.函数在封闭曲线内部有有限个孤立奇点C.积分路径为简单闭曲线D.函数在封闭曲线外部解析四、案例分析（每题6分，共18分）1.计算积分∮_C(z^2+1)/(z-1)dz，其中C为|z|=2。2.计算积分∮_Ce^z/(z^2+1)dz，其中C为|z|=2。3.计算积分∮_Cz/(z^2+1)dz，其中C为|z|=1。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述留数定理在复变函数中的重要性及其应用场景。2.比较不同类型孤立奇点（可去奇点、极点、本性奇点）的留数计算方法。---标准答案及解析一、判断题1.×（留数定理适用于单连通区域，绕行方向影响积分结果）2.×（积分值不为零，需考虑奇点留数）3.×（留数与奇点阶数无关）4.×（绕行方向影响积分结果）5.√（留数定理可转化为实积分计算）6.×（孤立奇点不一定是极点）7.√（可去奇点留数为零）8.×（留数定理适用于多连通区域）9.√（洛朗展开系数对应留数）10.√（留数定理可推广至多连通区域）二、单选题1.B2.D3.B4.A5.A6.A7.A8.B9.A10.D三、多选题1.A,B,D2.A,B,C3.A,B,C,D4.A,C,D5.A,B6.A,B,D7.A,B,C,D8.A,B,C,D9.A,B,D10.B,C,D四、案例分析1.解：f(z)=(z^2+1)/(z-1)在z=1处有一阶极点，留数Res(f,1)=lim_(z→1)(z-1)f(z)=lim_(z→1)(z^2+1)=2，积分=2πi×2=4πi。2.解：f(z)=e^z/(z^2+1)在z=±i处有一阶极点，Res(f,i)=lim_(z→i)(z-i)f(z)=lim_(z→i)e^z/(z+i)=e^i/(2i)，Res(f,-i)=lim_(z→-i)(z+i)f(z)=lim_(z→-i)e^z/(z-i)=e^-i/(-2i)，积分=2πi(e^i/(2i)-e^-i/(-2i))=2πi×sin(1)。3.解：f(z)=z/(z^2+1)在z=±i处有一阶极点，Res(f,i)=lim_(z→i)(z-i)f(z)=lim_(z→i)z/(z+i)=i/(2i)=1/2，Res(f,-i)=lim_(z→-i)(z+i)f(z)=lim_(z→-i)z/(z-i)=-i/(-2i)=1/2，积分=2πi(1/2-1/2)=0。五、论述题1.留数定理的重要性：-可简化复积