3.1.1对函数概念的再认识课件-高一上学期数学湘教版必修第一册

第一章函数概念的再认识：从映射到对应第二章函数的基本性质：单调性与奇偶性第三章函数的表示法：符号、图像与解析式第四章函数的零点与方程根第五章函数的极值与最值第六章函数综合应用：建模与优化01第一章函数概念的再认识：从映射到对应第1页引入：生活中的函数现象在现实世界中，函数无处不在。以温度计为例，温度随时间变化而变化，这是一个典型的函数关系。假设小明每天上学步行，速度恒定为5公里/小时，从家到学校需要1小时。如果速度变为10公里/小时，时间将缩短为0.5小时。这种速度和时间之间的关系可以用函数来描述。函数是一种数学工具，用于描述两个变量之间的依赖关系。在上述例子中，速度是自变量，时间是因变量。函数可以表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。函数的图像可以帮助我们直观地理解这种关系。例如，温度随时间的变化可以用一条直线来表示，这条直线的斜率表示温度变化的速率。函数的图像可以是直线、曲线、折线等多种形状，具体取决于函数的类型。函数的图像可以帮助我们理解函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。在数学中，函数是一种基本的数学概念，它在各个领域都有广泛的应用。例如，在物理学中，函数可以用来描述物体的运动轨迹；在经济学中，函数可以用来描述市场需求和供给的关系；在工程学中，函数可以用来描述电路的电压和电流之间的关系。因此，理解函数的概念对于学习和应用数学至关重要。第2页分析：函数的三要素定义域值域对应法则定义域是函数自变量x的取值范围。值域是函数因变量y的取值范围。对应法则是连接自变量和因变量的规则。第3页论证：函数的几何表示函数图像函数的图像是自变量和因变量之间关系的直观表示。数轴表示数轴可以帮助我们理解函数的定义域和值域。抛物线抛物线是二次函数的图像，具有对称性和开口方向。第4页总结：函数概念的扩展函数的概念可以扩展到更广泛的数学领域。首先，函数不一定是代数表达式，可以是分段函数、符号函数等。分段函数在不同的区间上具有不同的表达式，例如，绝对值函数f(x)=|x|在x≥0时为x，在x<0时为-x。符号函数sign(x)在x>0时为1，在x=0时为0，在x<0时为-1。其次，函数不限于数与数之间的对应，可以是集合到集合的映射。例如，集合A到集合B的映射f:A→B，表示从集合A中的每个元素映射到集合B中的唯一元素。这种映射可以是函数，也可以不是函数，取决于映射是否满足函数的定义。最后，函数可以表示动态过程，如物体运动轨迹、人口增长模型等。例如，自由落体运动的轨迹可以用函数h(t)=h₀-½gt²来描述，其中h₀是初始高度，g是重力加速度，t是时间。人口增长模型可以用函数P(t)=P₀e^rt来描述，其中P₀是初始人口，r是增长率，t是时间。函数在各个领域的应用展示了其强大的描述和预测能力。02第二章函数的基本性质：单调性与奇偶性第5页引入：温度计上的数学温度计是生活中常见的工具，它展示了温度随时间的变化关系。假设小明每天上学步行，速度恒定为5公里/小时，从家到学校需要1小时。如果速度变为10公里/小时，时间将缩短为0.5小时。这种速度和时间之间的关系可以用函数来描述。函数是一种数学工具，用于描述两个变量之间的依赖关系。在上述例子中，速度是自变量，时间是因变量。函数可以表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。函数的图像可以帮助我们直观地理解这种关系。例如，温度随时间的变化可以用一条直线来表示，这条直线的斜率表示温度变化的速率。函数的图像可以是直线、曲线、折线等多种形状，具体取决于函数的类型。函数的图像可以帮助我们理解函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。在数学中，函数是一种基本的数学概念，它在各个领域都有广泛的应用。第6页分析：单调函数的定义严格单调递增严格单调递减非严格单调对于任意x1<x2，总有f(x1)<f(x2)。对于任意x1<x2，总有f(x1)>f(x2)。允许存在x1<x2且f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)）。第7页论证：单调性的图像特征单调递增函数单调递增函数的图像是上升的。单调递减函数单调递减函数的图像是下降的。混合单调函数混合单调函数在某些区间上单调递增，在其他区间上单调递减。第8页总结：奇偶性的几何意义奇偶性是函数的另一个重要性质，它描述了函数图像的对称性。奇函数的图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x)。例如，正弦函数f(x)=sin(x)是奇函数，其图像关于原点对称。奇函数的图像具有旋转对称性，即绕原点旋转180度后，图像保持不变。奇函数在数学和物理中有广泛的应用，例如在描述周期性振动时，奇函数可以表示振动的奇对称性。偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。例如，余弦函数f(x)=cos(x)是偶函数，其图像关于y轴对称。偶函数的图像具有反射对称性，即关于y轴对称。偶函数在数学和物理中也有广泛的应用，例如在描述周期性波的传播时，偶函数可以表示波的偶对称性。奇偶性不仅可以帮助我们理解函数的对称性，还可以帮助我们简化函数的分析和计算。例如，奇函数的积分可以简化为半区间的积分，偶函数的积分可以简化为半区间的积分乘以2。奇偶性是函数理论中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。03第三章函数的表示法：符号、图像与解析式第9页引入：三种表示法的日常生活应用在日常生活中，我们经常需要用不同的方式来描述路线或过程。例如，比较不同方式描述路线：符号法：R→B→D（右转→直行→左转）；图像法：路线图；解析法：距离函数d(t)=5t+3。这三种表示法各有优缺点。符号法易于推理，但难以可视化；图像法直观形象，但精确度有限；解析法精确计算，但复杂关系难表示。在实际应用中，我们需要根据情境选择合适的表示法。例如，如果需要快速理解路线，可以使用图像法；如果需要精确计算距离，可以使用解析法；如果需要记录路线步骤，可以使用符号法。函数的表示法也有类似的情况。函数可以表示为符号、图像或解析式，每种表示法都有其优缺点。符号法易于推理，但难以可视化；图像法直观形象，但精确度有限；解析法精确计算，但复杂关系难表示。在实际应用中，我们需要根据情境选择合适的表示法。第10页分析：符号法的结构集合对应操作符号复合函数f:A→B，表示从集合A到集合B的映射。f(x)=x²，表示将输入x平方后输出。f(g(x))，如f(x)=√x，g(x)=x-1。第11页论证：图像法的绘制技巧描点法根据解析式取值绘制散点图。连续性连接点时考虑函数连续性（高中阶段主要讨论连续函数）。变换法展示平移、伸缩等变换对图像的影响。第12页总结：解析式与实际问题的转换将实际问题转换为解析式的一般步骤包括需求分析、变量确定、关系建立和约束条件。首先，需求分析是确定优化目标的过程。在供水管网问题中，目标是最小化总成本。其次，变量确定是找出影响目标的变量。在供水管网问题中，影响总成本的主要变量是管道长度和单位土地成本。第三，关系建立是用数学表达式表示目标函数。在供水管网问题中，总成本函数可以表示为C(x)=ax+bx²，其中x是管道长度，a是单位土地成本，b是管道单位长度的成本。最后，约束条件是考虑实际限制。在供水管网问题中，约束条件可能是管道长度不能超过某个最大值，或者管道长度必须满足一定的最小值。通过将实际问题转换为解析式，我们可以利用数学工具来分析和解决实际问题。解析式转换不仅可以帮助我们理解问题的数学模型，还可以帮助我们找到问题的最优解。例如，在供水管网问题中，通过求解总成本函数的最小值，我们可以找到最优的管道长度，从而最小化总成本。解析式转换在各个领域都有广泛的应用，例如在经济学中，可以将市场需求和供给的关系转换为解析式，从而分析市场均衡；在工程学中，可以将电路的电压和电流关系转换为解析式，从而设计电路。解析式转换是数学应用的重要工具，它帮助我们用数学的方法来解决实际问题。04第四章函数的零点与方程根第13页引入：跳台跳水的高度计算跳台跳水是一项高难度的运动，运动员从高处跳下，在空中完成各种动作后入水。跳台跳水的高度计算涉及到函数的零点与方程根的概念。假设跳水运动员从10米跳台起跳，高度h(t)=10-4.9t²。运动员何时触水？即h(t)=0的解。这个问题可以通过求解方程10-4.9t²=0来解决。解得t=√(10/4.9)≈1.43秒。这个解就是函数h(t)的零点，它表示运动员触水的时间。函数的零点与方程的根是同一个概念，它们都表示使函数值为零的自变量的值。在数学中，函数的零点是一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。例如，在物理学中，函数的零点可以用来描述物体的运动轨迹；在经济学中，函数的零点可以用来描述市场需求和供给的关系；在工程学中，函数的零点可以用来描述电路的电压和电流之间的关系。因此，理解函数的零点对于学习和应用数学至关重要。第14页分析：零点的判定定理介值定理二分法连续性若f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少存在一个零点。不断缩小零点所在区间的方法。函数在零点处必须连续。第15页论证：方程根与函数零点的等价性方程根方程ax²+bx+c=0的根是f(x)=ax²+bx+c的零点。函数图像与x轴的交点函数图像与x轴的交点即为方程的根。判别式Δ=b²-4ac决定根的数量：Δ>0：两个不同实根；Δ=0：一个二重实根；Δ<0：无实根。第16页总结：零点应用与扩展函数的零点在实际问题中有广泛的应用。例如，在物理学中，函数的零点可以用来描述物体的运动轨迹；在经济学中，函数的零点可以用来描述市场需求和供给的关系；在工程学中，函数的零点可以用来描述电路的电压和电流之间的关系。函数的零点也可以扩展到更广泛的数学领域。例如，在代数中，函数的零点可以用来求解多项式方程；在分析中，函数的零点可以用来研究函数的连续性和可微性。函数的零点在各个领域的应用展示了其强大的描述和预测能力。因此，理解函数的零点对于学习和应用数学至关重要。05第五章函数的极值与最值第17页引入：工厂利润的最大化问题工厂利润的最大化是企业管理中的重要问题。假设某工厂生产某种产品，成本C(x)=x²+5x，售价P(x)=10-x。工厂希望确定产量x多大时利润最大。利润函数为L(x)=P(x)·x-C(x)=10x-x²-5x=x(10-x)-x²-5x=-x²+5x。这是一个二次函数，其图像为抛物线，开口向下。二次函数的极值点可以通过求导得到。L'(x)=-2x+5，令L'(x)=0，解得x=5/2。将x=5/2代入L(x)，得到L(5/2)=-6.25+6.25=0。因此，当产量x=5/2时，利润最大，最大利润为0。这个结果可以帮助工厂确定最优产量，从而最大化利润。函数的极值和最值在企业管理中有很多应用，例如生产计划、定价策略、资源分配等。通过分析函数的极值和最值，企业可以做出更合理的决策，提高效益。第18页分析：极值的定义局部极值必要条件充分条件f(c)比附近所有点的函数值都大（极大值）或都小（极小值）。可导函数在极值点处导数为0（f'(c)=0）。二阶导数检验法：f''(c)>0：极小值；f''(c)<0：极大值。第19页论证：最值的求解方法最值求解比较端点和驻点的函数值。闭区间最值在闭区间[a,b]上，比较端点和驻点的函数值。开区间最值在开区间上，观察函数趋势。第20页总结：极值与最值的应用拓展函数的极值和最值在实际问题中有广泛的应用。例如，在物理学中，极值可以用来描述物体的平衡状态；在经济学中，最值可以用来描述市场的均衡价格；在工程学中，极值可以用来设计电路的稳定性。函数的极值和最值在各个领域的应用展示了其强大的描述和预测能力。因此，理解函数的极值和最值对于学习和应用数学至关重要。06第六章函数综合应用：建模与优化第21页引入：城市供水管网的成本优化问题城市供水管网的成本优化是市政工程中的重要问题。假设某城市需要铺设供水管道，有直线和折线两种方案。直线方案铺设成本较低，但需要穿越较多障碍物，成本为每米100元；折线方案铺设成本较高，但可以绕过障碍物，成本为每米150元。如何设计管网使总成本最低？这是一个典型的函数优化问题。我们可以建立成本函数C(x)=100L+150S，其中L是直线长度，S是折线长度。通过求解成本函数的最小值，我们可以找到最优的管网方案，从而最小化总成本。函数优化在各个领域都有广泛的应用，例如在物流中，可以用来优化运输路线；在能源管理中，可以用来优化能源分配；在金融中，可以用来优化投资组合。函数优化是解决实际问题的关键工具，它帮助我们找到问题的最优解，提高效率。第22页分析：函数建模的基本步骤需求分析确定优化目标。变量确定找出影响目标的变量。关系建立用数学表达式表示目标函数。约束条件考虑实际限制。第23页论证：优化问题的求解策略优化策略直接法：构造目标函数并求导。直接法1.目标函数：C(x)=ax+bx²拉格朗日乘数法处理带约束的优化问题。第24页总结：函数思想在解决实际问题中的作用函数思想是解决实际问题的关键工具，它帮助我们用数学的方法来分析和解决实际问题。函数思