寒假作业04 整式的加减（知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练）解析版

整式的加减（知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共57题）TOC\o"1-2"\h\u知识梳理技巧点拨 2知识点梳理01：整式的相关概念 2知识点梳理02：整式的加减 2优选题型考点讲练 3考点1：写出满足某些特征的单项式 3考点2：单项式规律题 4考点3：多项式的判断 5考点4：多项式的项、项数或次数 7考点5：多项式系数、指数中字母求值 8考点6：将多项式按某个字母升幂(降幂）排列 9考点7：整式的判断 10考点8：数字类规律探索 11考点9：图形类规律探索 14考点10：已知同类项求指数中字母或代数式的值 16考点11：合并同类项 17考点12：整式的加减运算 19考点13：整式的加减中的化简求值 20考点14：整式加减中的无关型问题 22考点15：整式加减的应用 23考点16：带有字母的绝对值化简问题 26中考真题实战演练 28难度分层拔尖冲刺 31基础夯实 31培优拔高 36知识点梳理01：整式的相关概念1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．【要点提示】（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数；（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．【要点提示】（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．3.多项式的降幂与升幂排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．【要点提示】（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4.整式：单项式和多项式统称为整式．知识点梳理02：整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．【要点提示】辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．【要点提示】合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．考点1：写出满足某些特征的单项式【典例精讲】（24-25七年级上·山东滨州·期中）观察下列代数式：-x,2x2,-3x3,4【答案】2024x2024【思路引导】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．【规范解答】解：由题知，单项式的系数依次为：-1，2，-3，4，-5所以第n个单项式的系数可表示为：-1单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，…，所以第n个单项式的次数可表示为：n，所以第n个单项式可表示为：-1当n=2024时，第2024个代数式是：-1故答案为：①2024x2024，②【变式训练】（24-25七年级上·重庆渝中·期末）已知整式M：anxn+an-1xn-1+⋅⋅⋅+①满足条件的整式M中有4个单项式；②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有2个；③满足条件的整式M共有8个．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【思路引导】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得0≤【规范解答】解：∵n,an-1,∴0≤当n=3时，则3+a∴a3=1，满足条件的整式有x3当n=2时，则2+a∴a2,a1,满足条件的整式有：2x2，x2当n=1时，则1+a∴a1,a0=满足条件的整式有：3x，2x+1，x+2；当n=0时，0+a满足条件的整式有：4；∴满足条件的单项式有：x3，2x2不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有2个；故②符合题意；满足条件的整式M共有1+3+3+1=8个．故③符合题意；综上分析可知：正确的有3个．故选：D．考点2：单项式规律题【典例精讲】（24-25七年级上·河南焦作·期中）请把下列各式的序号填入相应的集合中．①-3，②-5ab，③a+22，④xx2，⑤-整式集合：{

…}；单项式集合：{

…}；多项式集合：{

…}．【答案】①②③⑤⑦①②⑦③⑤【思路引导】本题主要考查了整式的定义，单项式和多项式的判定，单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，再逐一判断即可；【规范解答】解：整式集合：{①-3，②-5ab，③a+22，⑤-单项式集合：{①-3，②-5ab，⑦2a多项式集合：{③a+22，⑤-5【变式训练】（23-24七年级上·吉林·期中）（1）把下列代数式的序号填入相应的横线上．①a2b+ab-b2；②a+b2；③-a单项式有_________，多项式有____________；（2）利用上面的部分代数式写出一个三次四项式．【答案】（1）③⑤⑦；①②；（2）a2【思路引导】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，三次五项式的定义．（1）根据单项式，多项式的定义即可求解．（2）根据三次四项式的定义即可求解【规范解答】解：（1）单项式有：③-ab2多项式有：①a2b+ab-故答案为：③⑤⑦；①②；（2）选①⑤，则a2考点3：多项式的判断【典例精讲】（24-25八年级下·重庆黔江·期末）已知整式M:anxn+an-1①当n=1时，满足条件的整式M中有1个单项式；②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M是二次三项式；③满足条件的整式M共有14个．其中正确的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【思路引导】本题主要考查整式的分类讨论，结合绝对值和非负整数的性质，分情况讨论各n的可能情况，并验证各说法的正确性即可．【规范解答】解：∵整式M:an∴n=0：a0+0=4⇒a0n=1：a1+a0+1=4∵a1a1=1时，a0a1=2时，a0a1=3时，a0=0⇒共5种，其中仅1个单项式（3x）．n=2：a2+a1+a2a2=2时，其他系数为0⇒a2=1时，a1=±1，a0=±1，共5种，无三次项．n=3：a3+其他系数绝对值+3=4⇒n≥验证说法：①当n=1时，有1个单项式：正确（仅3x）．②不存在二次三项式：正确（n=2时，系数绝对值之和为1，无法形成三个非零项）．③总共有14个整式：错误（实际总数为1+5+5+1=12种）．综上，正确的说法为①和②，共2个，故选：C．【变式训练】（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法正确的是（

）A．13πB．多项式-3C．单项式x3y5D．多项式3x【答案】C【思路引导】此题主要考查了多项式和单项式，直接利用单项式以及多项式的次数与系数确定方法分别分析得出答案．【规范解答】解：A．13πxB．多项式-3x2C．单项式x3y5D．多项式3x故选：C．考点4：多项式的项、项数或次数【典例精讲】（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）若多项式n-3xm+2-n【答案】3或5或1【思路引导】本题考查了多项式的定义．分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即可求得m，【规范解答】解：∵多项式n-3x当m+2=3n-3≠0时，∴n=2，∴m+n=3或1；当5-m=3n-2≠0∴n=3，∴m+n=5；故答案为：3或5或1．【变式训练】（24-25七年级上·天津·期末）已知关于x的多项式m-4x3-【答案】-【思路引导】本题考查代数式求值，理解多项式次数和项数的概念，掌握有理数混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．根据多项式的项数和次数的概念列方程求得m和n的值，从而代入求值．【规范解答】解：∵多项式m-∴m-4=0，∴m=4，∴mn=8∴这个多项式为-x∴当x=-1时，原式故答案为：-10考点5：多项式系数、指数中字母求值【典例精讲】（24-25七年级上·河南南阳·期中）以下四个选项是小丽同学的四道作业，其中有一道不正确，你认为是（

）A．-1和mB．单项式-3xC．多项式x2D．多项式2x2y-【答案】D【思路引导】本题考查了单项式与多项式，正确把握相关定义是解题的关键．分别利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案．【规范解答】解：A．-1和mB．单项式-3x2C．多项式x2D．多项式2x2y-3故选：D．【变式训练】（24-25七年级上·河南洛阳·期中）已知多项式-3x2(1)求m，n的值；(2)把这个多项式按x的降幂排列．【答案】(1)m=3，n=2(2)-【思路引导】本题主要考查了多项式和单项式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式次数的定义．1根据单项式的次数和多项式的次数求出m、n的值即可；2将多项式按x降幂排列即可．【规范解答】（1）解：∵多项式-3∴m+1+2=6解得：m=3，∵单项式3x∴2n+5解得：n=2．（2）解：将多项式按x降幂排列为-3考点6：将多项式按某个字母升幂(降幂）排列【典例精讲】（22-23七年级上·浙江台州·期中）在代数式：13x2，2ab，x+5，y3x，-4【答案】5【思路引导】本题主要考查了整式的概念，掌握整式是单项式与多项式的统称成为解题关键．根据整式的概念是单项式与多项式的统称逐个判断即可．【规范解答】解：代数式：13x2，2ab，x+5，y3x，-4，a3b-a中的按整式有1故答案为：5．【变式训练】（23-24七年级上·全国·课后作业）把下列式子按单项式，多项式，整式，二项式进行分类：（只写序号）①a2b+ab2+b3⑥-x+y3；⑦2xya；⑧3x【答案】单项式：④⑤；多项式：①③⑥⑩；整式：①③④⑤⑥⑩；二项式：③⑥⑩．【思路引导】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式。多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式。二项式是只有两项的多项式，即两个单项式的和．【规范解答】解：单项式：-x多项式：a2b+ab2+b整式：a2b+ab2+b3，二项式：a+b2，-x+2x，2xya，3x故答案为：单项式：④⑤；多项式：①③⑥⑩；整式：①③④⑤⑥⑩；二项式：③⑥⑩．【考点评析】本题考查整式、单项式、多项式、二项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断．考点7：整式的判断【典例精讲】（21-22七年级上·河北石家庄·期末）下列结论不正确的是（

）A．abc的系数是1 B．多项式1-3C．-ab3的次数是4【答案】D【思路引导】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式和多项式统称为整式进行分析即可．【规范解答】解∶A、abc的系数是1，该项说法正确，故A不符合题意；B、多项式1-3xC、单项式-aD、-3xy故选：D．【考点评析】此题主要考查了多项式和单项式以及整式，关键是掌握多项式的项以及单项式的次数的计算方法．【变式训练】（20-21七年级上·重庆万州·期末）在式子-4x2y，0，a+1a，【答案】4【思路引导】直接利用整式的定义分析得出答案．【规范解答】解：在式子-4x2y，0，a+1a，-2a+3故答案为：4．【考点评析】本题考查了整式，正确把握整式的定义是解题的关键．考点8：数字类规律探索【典例精讲】（2025·海南三亚·二模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：a1,a2,a3,⋯根据以上材料，解答下列问题：（1）等比数列3,9,27,…的公比q【公式推导】如果一个数列a1,a2所以a（2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：an【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算1+2+2设S=1+2+2则2S=2+2②－①得2S-∴S=1+2+【解决问题】（3）请仿照小明的方法求3+3【答案】（1）3，243；（2）qn-【思路引导】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键．（1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解；（2）根据公式推导过程即可求解；（3）设S=1+3+32+【规范解答】解：（1）根据题意得：等比数列3,9,27,…的公比q为3，第5项是3故答案为：3，243；（2）根据题意得：等比数列的通项公式：an故答案为：q（3）设S=1+3+3则3S=3+3②-①得∴S=1+3+∴3+3【变式训练】（24-25七年级上·重庆江北·期中）思维训练：(1)有一种“二十四点”的游戏，将四个有理数进行加、减、乘、除、乘方运算，使其结果等于24．现有四个有理数-10，4，-(2)如表，在3×3的幻方中，当空格中填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的数的和是相等的，求k的值；k11121(3)在图1中，一笔画出4条线段连接着9个点，并且不重复任何一条线段；在图2中，用三条线，把相同数字连起来，不交叉，不超出边框，不在框线上走．【答案】(1)6÷(-3)(2)k的值为231(3)见解析【思路引导】题目考查了逻辑思维能力和空间想象能力，可以帮助提高思维的灵活性和解决问题的能力．（1）根据24点游戏规则，灵活应用有理数的加、减、乘、除、乘方的法则以及去（添）括号法则、相关的运算律进行列式，拓展思维，思考24可以通过那些加减乘除的方式得到，多尝试探索不同的组合，寻找可能的解；（2）根据幻方的规则，设未知数，利用方程组求k的值；（3）连线问题，需要将相同数字用三条线连接起来，且不交叉，不超出边框，不在框线上走，1，2两个数字比较容易，先连起来，再通过观察，再图中缝隙尝试连接两个3．【规范解答】（1）解：根据题意得：6÷[(--[4+(（2）解：如下图，设未知数，由题意知：每行、每列以及对角线上的数的和是相等的，故可列方程组，a+k+d=a+b+121 由②得b=d+110

③，将③代入①得，k=231，故k的值为231；（3）解：如图所示：答案不唯一．考点9：图形类规律探索【典例精讲】（24-25七年级上·河南郑州·期末）由边长为1的灰白两种颜色的小正方形组成大正方形按如图方式排列，图1是由1个灰色正方形和3个白色正方形组成的一个面积为4的大正方形，图2是由4个灰色正方形和5个白色正方形组成的一个面积为9的大正方形，图3是由9个灰色正方形和7个白色正方形组成的一个面积为16的大正方形，…观察图形可以得到以下对应的等式：第1个等式：22第2个等式：32第3个等式：42第4个等式：52…(1)写出图6对应的等式：_____．(2)猜想第n个图形对应的等式：_____（用含n的式子表示）；(3)请计算出从图1到图20中白色正方形的总个数．【答案】(1)7(2)n+1(3)440【思路引导】本题考查了图形规律，有理数的乘方的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）理解题意，模仿并完成作答即可；（2）根据已有的过程，总结出第n个等式：n+12（3）先观察图形得出图1中白色正方形的个数为3；图2中白色正方形的个数为5；图3中白色正方形的个数为7；图4中白色正方形的个数为9；……以此类推，总结得图n中白色正方形的个数为2n+1；则列式3+5+7+9+……【规范解答】（1）解：依题意，第5个等式：62图6对应的等式：72故答案为：72（2）解：∵第1个等式：22第2个等式：32第3个等式：42第4个等式：52……以此类推：第n个等式：n+12故答案为：n+12（3）解：图1中白色正方形的个数为3；图2中白色正方形的个数为5；图3中白色正方形的个数为7；图4中白色正方形的个数为9；……以此类推图n中白色正方形的个数为2n+1；图20中白色正方形的个数为2×∴3+5+7+9+==440．∴从图1到图20中白色正方形的总个数为440．【变式训练】（24-25七年级上·四川成都·期末）某类简单化合物中前三种化合物的结构式如图所示，其中C代表碳原子，H代表氢原子，按照此规律，则第100种化合物的结构式中有个氢原子．【答案】202【思路引导】本题主要考查数字规律，准确找到规律是解题的关键．根据题意找出氢原子的规律是解题的关键．【规范解答】解：第1种有4个氢原子，第2种有6个氢原子，第3种有8个氢原子，第n种有2n+2个氢原子，则第100种化合物的结构式中有2×故答案为：202．考点10：已知同类项求指数中字母或代数式的值【典例精讲】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）已知多项式A与多项式B的和为4x2-(1)求多项式B；(2)若3ax-1b【答案】(1)x(2)7【思路引导】（1）根据题意可得B=4x2（2）先根据同类项的定义求出x，y的值，然后将A-3B化简，再将x，本题主要考查了同类项的概念以及整式的加减的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．【规范解答】（1）解：B==4=x（2）解：∵3ax∴x-1=2∴x=3；A=3=3=2xy-当x=3,y=2时，A-【变式训练】（24-25七年级上·内蒙古兴安盟·期末）已知单项式3am+1b与-b【答案】4【思路引导】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义列出方程，再求解即可．【规范解答】解：单项式3am+1b∴单项式3am+1b由同类项定义可知m+1=3,n-解得m=2，∴mn故答案为：4．考点11：合并同类项【典例精讲】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，(1)比较大小：a+b______0，a-c______0，(2)化简a+b【答案】(1)<,<,>(2)-【思路引导】本题考查了数轴，绝对值的性质，合并同类项等知识点，能根据数轴得出a<b<0<c，a>（1）根据数轴得出a<b<0<c，a>（2）根据（1）中结果，结合绝对值的性质，去括号法则，计算即可．【规范解答】（1）解：由数轴，可得a<b<0<c，a>∴a+b<0，a-c<0，故答案为：<,<,>．（2）∵a+b<0，a-c<0，∴a+b===-【变式训练】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）根据合并同类项法则，易知6y+4y-2y=6+4-2(1)把m-2n2(2)已知x2+7=3y，求代数式(3)已知a-3b=6，3b-2c=-【答案】(1)-(2)13(3)26【思路引导】本题主要考查了整式的加减—化简求值，会把整式正确化简及运用“整体思想”是解决问题的关键．（1）利用“整体思想”和合并同类项法则进行计算即可；（2）先得出x2-3y=-7（3）方法一：可根据已知求出a-2c=-26，【规范解答】（1）解：4==-（2）解：由x2+7=3y，得∴-===28=13．（3）解：方法一：∵a-3b=6，3b-∴a-3b-∴原式=-方法二：a=a=a-∵a-3b=6，∴原式=6+20=26．考点12：整式的加减运算【典例精讲】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）化简：(1)(2a-(2)4a(3)先化简，再求值：2a2b【答案】(1)2b(2)-(3)-ab，【思路引导】本题考查了整式的加减和有理数的混合运算，掌握合并同类项法则是解决本题的关键．（1）先去括号，然后合并同类项，即可求解；（2）先去括号，然后合并同类项，即可求解；（3）先去括号，然后合并同类项，再将字母的值代入，即可求解．【规范解答】（1）解：(2a=2a=2b（2）解：4=4=（3）解：2=2=2=当a=12,b=【变式训练】（24-25七年级上·重庆丰都·阶段练习）已知多项式A=2mx2+3x+7(1)若2m-52(2)若代数式2A+3B的值与x2、x均无关，求4m+5n【答案】(1)-(2)-【思路引导】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，非负性，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据非负性求出m，n的值，求出A=5x2+3x+7，B=5（2）先求出2A+3B的值，根据值与x2、x均无关求出4m=-15，n=2【规范解答】（1）解：∵2m-∴2m-5=0，∴m=52，∴A=5x2∴A=5=（2）解：2A+3B=2=4m=4m+15∵代数式2A+3B的值与x2、x∴4m+15=0，6-即4m=-15，∴4m+5n=-考点13：整式的加减中的化简求值【典例精讲】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）（1）计算：-（2）先化简，再求值已知23a2【答案】（1）-7；（2）-a【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可；（2）先去括号再合并同类项，然后代值计算即可．【规范解答】解：（1）-=1==-（2）2=6=当a=-原式=【变式训练】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式5(1)若该多项式不含三次项，求m的值；(2)在（1）的条件下，当x2+y【答案】(1)m=1(2)46【思路引导】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键．（1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值；（2）由（1）可得，该多项式为-2【规范解答】（1）解：5x=5=5=∵该多项式不含三次项，∴2m∴m=1（2）解：由（1）可得，该多项式为-2当x2+y-2考点14：整式加减中的无关型问题【典例精讲】（24-25七年级上·云南临沧·阶段练习）我们将abcd这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是a(1)请你依此法则计算二阶行列式3-(2)若代数式M是x2-1与-2(x+1)+5的和，代数式N=x2-【答案】(1)17(2)小昆的说法是正确的，见解析【思路引导】本题主要考查定义新运算及整式的化简求值，掌握去括号，合并同类项的法则及有理数混合运算的顺序和法则是解题的关键．（1）根据ab（2）根据题意可以化简二阶行列式，进而计算M-【规范解答】（1）解：根据题意，得3-（2）解：小昆的说法是正确的，理由如下：根据题意，得M=x2-1-∴无论x取什么值，代数式M与N的差都不变．【变式训练】（24-25七年级上·河南郑州·期末）数学课上老师出了这样一道题目：“当a=-2026，b=2时，求3a3-(1)请你通过化简，说明小明计算结果正确的原因．(2)小聪据此又改编了一道题，请你试一试：无论x取何值，多项式6x3+mx【答案】(1)见解析(2)14【思路引导】本题考查了整式的加减中的无关题型、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）先去括号，再合并同类项即可化简，再根据化简的结果做出判断即可；（2）将原式化为6+nx3+m-4x+2，根据无论x【规范解答】（1）解：3=3=3=∵原式的化简结果与a无关，∴无论a取何值，都不会影响结果；（2）6x∵无论x取何值，多项式6x∴6+n=0，m-解得：n=-6，∴2m-考点15：整式加减的应用【典例精讲】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字也相等，则我们把这样的四位正整数叫作“对称数”，如1001,4224,7777等都是“对称数”．(1)填空：①1001-(1+0+0+1)=_______=_______②4224-(4+2+2+4)=_______=_______③7777-(7+7+7+7)=______=_______(2)嘉淇观察后有一个猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被某个两位数的正整数整除．设abba为一个对称数，请你通过计算和推理说明嘉淇的猜想是正确的．(3)若将一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的“对称数”abba记为A，将A的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新的“对称数”记为A'，记P(A)=A-A'【答案】(1)①999;27；②4212;27；③7749;27(2)见解析(3)A的最小值是1991【思路引导】本题主要考查整式的运算和数字规律，正确理解题意是解答本题的关键．（1）根据题意直接进行计算即可；；（2）根据对称数的定义表示出abba，整理可得abba=27(37a+4b)，可得结论；；（3）分别表示出对称数A和A'，求出P(A)=9a-b，根据P(A)能被8整除，A的各数位上的数字不完全相同且均不为0，求出【规范解答】（1）解：①1001999÷∴1001-②4224-4212÷所以，4224-③7777-7749÷所以，7777-故答案为：①999;27②4212;27③7749;27；（2）解：因为abba=1000a+100b+10b+a所以1000a+100b+10b+a=1000a+100b+10b+a=999a+108b=27(37a+4b)．因为27(37a+4b)能被27整除，所以abba能被27整除，所以嘉淇的猜想是正确的．（3）解：因为“对称数”A=abba所以A'所以P(A)==891a因为P(A)能被8整除，A的各数位上的数字不完全相同且均不为0，所以a-b是8的倍数且所以a-b的最小值为所以a=1,b=9，所以A的最小值是1991．【变式训练】（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）小依准备把油画作品周围加一条宽度相等的边框（裱画框）．如图所示，长方形ABCD表示油画，它的长AB为(5x-4y)cm，宽BC为(2x+y)cm，周围加的边框宽度为ycm(1)裱好的油画框长EF为___________cm，宽FG为___________cm；（用含x，y的代数式表示）(2)裱好的油画框（长方形EFGH）的周长为___________cm；（用含x，y的代数式表示）(3)若x=14，y=4，则裱好这个油画框要花多少钱？【答案】(1)5x-2y(2)14x+2y(3)204元【思路引导】本题考查了整式的加减运算，及实际应用，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键；（1）由长方形ABCD的长、宽加上边框的宽度，即可得到油画框的长和宽；（2）由长方形EFGH的长、宽，得到周长；（3）由（2）中的周长，代入数值，得到结果．【规范解答】（1）解：∵长方形ABCD长AB为(5x-4y)cm，宽BC为(2x+y)cm，加的边框宽度为∴油画框长EF为5x-油画框宽FG为2x+y+2y=2x+3y(cm故答案为：5x-2y，（2）解：长方形EFGH的周长为2(5x-故答案为：14x+2y；（3）解：∵当x=14，y=4时，∴14x+2y=14∴204∴裱画框费用：2.04×答：裱好这个油画框要花204元．考点16：带有字母的绝对值化简问题【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在七年级数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简x为例，当x>0时，x=x；当x=0时，x=0；当x<0时，(1)当x=3时，xx值为______，当x=-3时，xx的值为______，当(2)已知x+y+z=0，xyz>0，求y+zx【答案】(1)1，-1，1或(2)-1【思路引导】本题主要考查了绝对值的性质、代数式求值等知识．（1）结合题意，根据绝对值的性质化简求值即可；（2）首先将原式化简，然后结合题意，分“x为正数，y，z为负数”，“y为正数，x，z为负数”，“z为正数，x，y为负数”三种情况逐一分析计算即可．【规范解答】（1）解：当x=3时，xx当x=-3时，当x为不等于0的有理数时，若x>0，则xx=xx=1即xx的值为1或-故答案为：1，-1，1或-（2）解：∵x+y+z=0，∴y+z=-x，x+z=-y+zx又∵xyz>0∴x，y，z的正负性可能为：①当x为正数，y，z为负数时，原式=-②当y为正数，x，z为负数时，原式=1-③当z为正数，x，y为负数时，原式=1+1+1=3．综上所示，原式=-【变式训练】（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料并解决有关问题：知道：x=如化简代数式x+1+x-2时，可令x+1=0和x-2=0，分别求得x=-1，x=2（称-1，2分别为x+1与x-2的零点值）．在有理数范围内，零点值x=-1通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出x+2和x-(2)化简代数式x+2+(3)求方程：x+2+【答案】(1)x+2和x-4的零点值分别是x=(2)当x<-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；当-(3)整数解为-2，-1，0，1，2，3【思路引导】本题考查了化简含有绝对值的代数式，解题的关键是理解材料内容；（1）根据材料例题进行操作即可；（2）利用分内讨论的思想，当x<-2时；当-2（3）先求出-2【规范解答】（1）解：∵x+2=0∴x+2=0，x∴x=-2（2）解：当x<-2时，当-2≤x<4当x≥4时，（3）解：∵|x+2|+|x∴-2整数解为：-2，-1，0，1，2，3，1．（2023·四川德阳·中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m=．1674【答案】39【思路引导】设第一列中间的数为x，则三个数之和为16+4+x=20+x，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案．【规范解答】解：如图，设第一列中间的数为x，则三个数之和为16+4+x=20+x，可得：1613+xx13746+x10∴m=16+13+10=39，故答案为：39【考点评析】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键．2．（2023·湖北恩施·中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：-2，4，-8，16，0，7，-4，21，-根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024-【思路引导】通过观察第一行数的规律为(-2)n【规范解答】第一行数的规律为(-2)n第二行数的规律为(-∴第①行数的第2023个数为(-2)2023∴-2故答案为：1024；-2【考点评析】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.3．（2023·湖南常德·中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a行b列，则a-b112

13

2214

23

3……A．2003 B．2004 C．2022 D．2023【答案】C【思路引导】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【规范解答】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即b=20；向前递推到第1列时，分数为20-192023+19=12042∴a故选：C．【考点评析】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）按一定规律排列的数据依次为12，45，710，10【答案】88【思路引导】由所给的数，发现规律为第n个数是3n-2n【规范解答】解：∵12，45，710∴第n个数是3n-当n＝30时，3n-2n2+1故答案为：88901【考点评析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．5．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料根.【答案】n(n+1)【思路引导】第一个图形有1根木料，第二个图形有1+2=2×(2+1)2根木料，第三个图形有1+2+3=3×(3+1)【规范解答】解：∵第一个图形有1=1第二个图形有1+2=2第三个图形有1+2+3=3第四个图形有1+2+3+4=4∴第n个图形有1+2+3+⋯故答案为：n(n+1)2【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．基础夯实1．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）下列去括号正确的是（

）A．5x-xC．-x-【答案】A【思路引导】本题考查去括号法则，正确掌握法则是解题关键．根据去括号法则逐一验证各选项即可．【规范解答】A、5x-x-B、2x2-3xC、-x-2y--3x+1：第一个括号去括号得-x+2y，第二个括号前负号使-3x变为+3x，D、-x-y：去括号后应为-故选：A．2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）若关于x,y的单项式xm-1y4与-A．8 B．-8 C．-6【答案】A【思路引导】本题主要考查单项式，同类项的概念，根据两个单项式的和为单项式，说明它们是同类项，即对应字母的指数相等．【规范解答】解：∵单项式xm-1∴x和y的指数必须分别相等，∴m-1=2，解得，m=3,n=2，代入n=2和m=3，得nm故选：A．3．（24-25七年级上·河北衡水·阶段练习）在a-1，0.3，1x，-2m+n，xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【思路引导】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握单项式的定义．根据单项式的定义，逐一判断各代数式是否为单项式即可．【规范解答】a-0.3：常数项，属于单项式；1x：分母含变量x-2m+n：分母含变量x2-2综上，单项式有0.3和-2故选：B．4．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）如图是用棋子摆成的“H”，摆成第一个“H”需要7个棋子，第二个“H”需要棋子12个，第三个“H”需要棋子17个；按这样的规律摆下去，摆成第2024个“H”需要（

）个棋子．A．10120 B．10122 C．10124 D．10126【答案】B【思路引导】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据前3个“H”字所用棋子的个数发现规律，由此归纳类推出一般规律即可得．【规范解答】解：解：由图可知，摆成第1个“H”字需要的棋子的个数为7=3+4×摆成第2个“H”字需要的棋子的个数为12=4+4×摆成第3个“H”字需要的棋子的个数为17=5+4×……归纳类推得：摆成第n个“H”字需要的棋子的个数为4n+n+2=5n+2当n=2024时，5n+2=10122，故选：B．5．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）若a-1x2yb是关于x、y的五次单项式，且系数为【答案】12/0.5【思路引导】此题考查了单项式次数定义，单项式中各字母指数的和是单项式的次数，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意得到2+b=5,a-【规范解答】解：∵a-1x2yb是关于∴2+b=5,a-解得：b=3,a=12故答案为：12，36．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）在下列代数式：2，st，a-b3，-5yz【答案】2【思路引导】本题考查了单项式的定义．单项式就是数与字母的乘积，或单独的数和字母都是单项式，依据定义即可作出判断．【规范解答】解：单项式有：2，-5yz故答案为：2．7．（24-25七年级上·吉林·期末）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚…若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则n=．【答案】10【思路引导】本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结规律第n个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚．总结规律第n个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚，当n=10时，求出所用正方形卡片及等边三角形卡片的数量，再求和即可得到答案．【规范解答】解：第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多4-第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多7-第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多10-第n个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多3n+1-∵拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，∴n=10．故答案为：10．8．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）观察：11×2=1-(1)根据发现的规律，①写出第5个式子___________________；②写出第n个式子___________________；(2)利用发现的规律，计算：12【答案】(1)①15×(2)99【思路引导】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算．解题的关键是得到1n（1）①根据题干给定的算式，直接作答即可；②根据题干给定的算式，概括出相应的规律即可；（2）根据规律，拆项相加即可．【规范解答】（1）解：①第5个式子：15②第n个式子1n（2）1==1=1=999．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）先化简，再求值：22x2y-【答案】4xy+1；2【思路引导】本题考查了整式的加减—化简求值，先去括号，再合并同类项即可化简，最后代入x、y的值计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【规范解答】解：2=4=4xy+1，当x=-14，y=10．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）某小区的两块紧挨在一起的长方形空地的平面图如图所示（图中长度单位：m），现该小区管理者要在此空地上修建一个半圆形花圃，其余部分进行硬化．(1)求硬化部分的面积（用含x的代数式表示）；(2)当x=10时，求硬化部分的面积（结果保留π）．【答案】(1)6x(2)40【思路引导】本题考查列代数式、求代数式的值、整式的加减，根据图形正确列出代数式是解答的关键．（1）根据图形，阴影部分的面积是两个长方形的面积和减去半圆面积，进而化简可求解；（2）将x=10代入（1）中代数式求解即可．【规范解答】（1）解：由图可知，阴影部分面积为2=2x=6x（2）解：当x=10时，硬化部分的面积为6×培优拔高11．（24-25七年级上·北京·期中）找规律填数字是一个很有趣的活动，特别锻炼观察和思考能力．下列选项中，填入数列“1，13，45，97，（），261，正确的是（）A．169 B．125 C．137 D．189【答案】A【思路引导】本题考查数字变化的规律，能通过计算发现相邻两数的差依次增加20是解题的关键．根据所给数字，发现其中的规律即可解决问题．【规范解答】解：观察所给数列可知，∵13-45-97-…，由此可见，相邻两数的差依次增加20，∴97+12+3×20=169，且∴空缺处的数字为169．故选：A．12．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知m2+2mn=3，2n2+3mn=5A．21 B．20 C．19 D．18【答案】A【思路引导】本题考查了整式的加减，代数式求值，解题的关键关键将整式变形为含有所给数值的代数式及整体思想的应用．先由2m2+13mn+6n2等式变形为2【规范解答】解：2=2=2m∵m2+2mn=3，∴原式=2=6+15=21，故选：A．13．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）已知a，b，c三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：a+b-c-A．-3a-c B．-a【答案】B【思路引导】此题主要考查了利用数轴比较有理数的大小和化简绝对值．数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．首先从数轴上a，b，c的位置关系可知：a<c<0<b，且a>b，接着可得a+b<0，c-a>0，【规范解答】解：解：从数轴上a，b，c的位置关系可知：a<c<0<b，且a>故a+b<0，c-a>0a+b===-故选：B．14．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知abc<0，a+b+c=0，若x=b+ca+【答案】-2或-【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，绝对值的性质，根据有理数的乘法判断出负数的个数，再用两个字母表示出第三个字母，然后求解即可．【规范解答】解：∵abc<0∴a、b、c有1个负数或3个负数，∵a+b+c=0∴a、b、c只有1个负数，①设a为负数，则b，∴b+c=∴x=②设b为负数，则a，∴b+c=∴x=③设c为负数，则a，∴b+c=∴x=故答案为：-2或-15．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简a+b-2【答案】3a【思路引导】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断a+b，a-【规范解答】解：观察数轴可知：a<0<b，a<∴a+b>0，a-∴a+b==a+b=3a-故答案为：3a-16．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形中共有个★．【答案】55【思路引导】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律：第n个图形有1+3n个五角星即可．【规范解答】解：第1个图形有1+3×第2个图形有1+3×第3个图形有1+3×第4个图形有1+3×……，以此类推，可知第n个图形有1+3n个五角星，∴第188个图形中共有1+3×故答案为：55．17．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）合并同类项：(1)4(2)3(3)先化简，再求值：2x2+【答案】(1)6(2)4(3)3x2【思路引导】本题考查整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减是解题的关键．（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先去括号，再合并同类项即可；（3）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可．【规范解答】（1）4=4=4=6（2）3=3=3=4（3）2=2=3∵(x+1)∴x+1=0，y∴x=-1∴318．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）先化简，再求值：关于x,y的多项式x2+ax-y+b与多项式bx