课时27　对称与折叠

第七单元图形与变换课时27对称与折叠目录CONTENTS知识梳理考点精练教材变式知识梳理一、轴对称与轴对称图形轴对称轴对称图形图形轴对称轴对称图形定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴性质1．成轴对称的两个图形全等，对应点的连线被对称轴①__________；2．对应线段②________，对应角相等；3．对应线段或延长线的交点在对称轴上垂直平分

相等二、中心对称与中心对称图形中心对称中心对称图形图形中心对称中心对称图形定义把一个图形绕着某一点旋转③__________，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫对称中心把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形④__________，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心性质1．对称中心有且只有一个；2．对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分180°

重合三、判断轴对称图形与中心对称图形1．若图形沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，则可判断此图形是⑤_____________；2．若图形绕一点旋转180°，旋转前后的图形完全重合，则可判断此图形是⑥________________.轴对称图形中心对称图形注：1．常见轴对称图形：线段、菱形、矩形、正方形、等腰三角形、正六边形、圆等；2．常见中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等；3．既是轴对称图形又是中心对称图形：线段、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等．四、折叠的性质1．重叠部分全等；2．折痕是对称轴，对称点的连线被对称轴垂直平分．考点精练类型一轴对称图形与中心对称图形例1

下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(

)考点对称的性质C训练

1．下列银行标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(

)A

B

C

DA2．图1中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线(

)A．l1 B．l2C．l3 D．l4图1

C类型二对称的相关计算例2在平面直角坐标系中，点P(－2，1)关于直线x＝1的对称点P′的坐标是(

)A．(2，1) B．(4，1)C．(－2，－1) D．(－2，－3)B训练

3．如图2，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P(1．2，1．4)平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为(

)A．(2．8，3．6) B．(－2．8，－3．6)C．(3．8，2．6) D．(－3．8，－2．6)图2

A4．如图3，在平面直角坐标系中，已知点A(8，0)，点B(3，0)，点C是点A关于点B的对称点．(1)求点C的坐标；(2)如果点P在y轴上，过点P作直线l∥x轴，点A关于直线l的对称点是点D，那么当△BCD的面积等于10时，求点P的坐标．图3

图2例3如图4，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.(1)请判断△CMN的形状，并说明理由；(2)如果MC＝3ND，CD＝4，求线段MN的长．考点折叠的性质图4

解：(1)△CMN是等腰三角形．理由如下：由折叠的性质可得∠ANM＝∠CNM.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ANM＝∠CMN.∴∠CMN＝∠CNM.∴CM＝CN，即△CMN是等腰三角形．(2)如图1，过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．∴HC＝DN，NH＝DC.∵MC＝3ND，∴MH＝2HC.设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，∴CN＝CM＝3x.图1训练

5．如图5，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H.(1)求证：四边形AFHG为正方形；(2)若BD＝6，CD＝4，求AB的长．图5

(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°.∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°.∴四边形AFHG是正方形．拓展

6．如图6，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AD于点E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF，DF，CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为________________．图6

教材变式教材母题

1．如图9，把一张长方形的纸ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，试判断重合部分△OAC的形状，并说明理由．图9

解：△OAC是等腰三角形．理由如下：∵DC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA.由图形折叠的性质可得到∠BAC＝∠EAC，∴∠DCA＝∠EAC.∴OA＝OC.∴△OAC是等腰三角形．变式

1．如图10，把一张长方形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在E处，BE交AD于点F.(1)求证：FB＝FD；(2)如图11，连接AE，求证：AE∥BD；(3)如图12，延长BA，DE相交于点G，连接GF并延长交BD于点H，求证：GH垂直平分BD．图10

图11图12

证明：(1)∵由图形折叠性质可得∠DBC＝∠EBD.又四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC.∴