专题05 动点折叠类问题中函数及其综合题型

专题05动点折叠类问题中函数及其综合题型精品例题解析题型一：折叠综合题型例1.如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ ）A.0B.4C.6D.8【解析】作点E关于AD的对称点E’，连接E’F，交AD于P，此时PE+PF的值为最小，最小值为E’F的长，如下图所示，过F作FH⊥EE’于H，EE’交AD于点G，由题意知：AE=EF=FC=4，四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴∠FFH=∠ACB=45°，∴FH=EH=EG=E’G=EF=，在Rt△HFE’中，由勾股定理，得E’F=,当点P在点A处时，PE+PF=12>9，当点P在D点时，连接BD交AC于点O，如下图所示，∴OD=6，OE=2，在Rt△PEO中，由勾股定理，得PE=,PE+PF=，综上所述，当点P在AD上运动时，PE+PF的值的变化规律为从12逐渐减小至，后增大至，在这个变化过程中，有两个P点使得PE+PF=9，∴在正方形ABCD边上有8个点符合要求，故选D.题型二：折叠与相似例2.如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折，知AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝m，则DE＝EF＝8﹣m．在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝6，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△EFC中，由勾股定理，得（8﹣m）2＝m2+42，解得m＝3，∴EC＝3．（2）①如下图中，∵AD∥CG，∴，∴CG＝6，∴BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG＝8，在Rt△DCG中，由勾股定理，得DG＝10，∵AD＝DG＝10，∴∠DAG＝∠AGD，∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，∴∠ADM＝∠NMG，∴△ADM∽△GMN，∴，∴，整理，得．∴当x＝4时，y有最小值，最小值为2．②存在．当MN＝MD时，∵∠MDN＝∠GMD，∠DMN＝∠DGM，∴△DMN∽△DGM，∴，∵MN＝DM，∴DG＝GM＝10，∴x＝AM＝8﹣10．当MN＝DN时，过M作MH⊥DG于H．∵MN＝DN，∴∠MDN＝∠DMN，∵∠DMN＝∠DGM，∴∠MDG＝∠MGD，∴MD＝MG，∵BH⊥DG，∴DH＝GH＝5，由△GHM∽△GBA，可得，∴MG＝,∴x＝AM＝．综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．题型三：折叠与全等例3.如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G,连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH，显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线，仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由.【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠B=90°，由折叠知：△ADE≌△AFE，∴AD=AF=AB，∠AFG=90°，在Rt△AGB和Rt△AGF中，∵AG=AG，AF=AB，∴Rt△AGB≌Rt△AGF，∴∠6=∠7，∠3=∠4，即AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；∵∠AGH=90°，∴∠6+∠HGC=90°，∠7+∠EGH=90°，∴∠HGC=EGH，即GH是∠EGC的平分线；过H作HN⊥BM于N，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴∠GAH=2+∠3=45°，∴AG=GH，∴△ABG≌△GNH，∴NH=BG，GN=AB=BC，∴GN－GC=BC－GC,即BG=CN=NH，∴∠HCN=45°，∠DCH=45°，即CH是∠DCM的平分线.题型四：折叠与反比例函数例4.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，将△AOD沿轴翻折，使点落在轴上的点处，点恰好为的中点，与交于点.若图象经过点，且，则的值为.【解析】由题意知：AB=CD=3BE，S△BEF=S△OBF=1，∵ABCD为平行四边形，即AB∥CD，∴BF：FC=BE：CD=1:3，连接OC，OF，如下图所示，则S△OBF：S△OFC=BF：FC=1：3,∴S△OBC=4，∵S△OBC：S△ODC=OB：CD=1：3,∴S△ODC=12，∴k=24.题型五：几何图形中动点折叠问题例5.如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，即6+t＝2（6﹣t），解得t＝3，故t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如下图，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如下图，连接AM，AB′∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，由勾股定理,得AM＝，根据两点之间线段最短，得AB′≥AM﹣MB′，即AB′≥﹣3，故AB′的最小值为﹣3．题型六：函数图象中动点折叠问题例6.如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AC，OA=3，tan∠OAC=，D是BC的中点.（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM=OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.解：（1）∵OA=3，tan∠OAC=，在Rt△AOC中，tan∠OAC=，∴OC=，∵ABCD是矩形，∴BC=OA=3，又D是BC的中点，∴CD=,即D的坐标为（，）（2）①由tan∠OAC=，知：∠OAC=30°，∴∠ACB=∠OAC=30°，若△DBF折叠后，B的落点为B’由折叠性质，知：DB’=DB=DC，∠BDF=∠B’DF，∴∠DB’C=∠ACB=30°，∴∠BDB’=60°，∠BDF=30°，在Rt△BDF中，BF=BD·tan30°=，∵AB=，∴AF=BF=,在△BFD和△AFE中，∠BFD=∠EFA，∠B=∠FAE=90°，AF=BF，∴△BFD≌△AFE，∴AE=BD=，即OE=OA+AE=，故E点坐标为（，0）②由题意知：F点横坐标不变为3，而∠DFB=60°，即G点与F点的连线与y轴平行，即G点横坐标不变，所以G点运动轨迹为一条线段，求出P点从O点至M点运动过程中，G点的纵坐标的差即为G点运动路径的长.当P点在O点时，如图所示，设抛物线解析式为：y=ax2+bx，将点D（，）,B（3，）代入解析式，可得：，解得，即抛物线解析式为令y=0，得，即E（，0），设直线DE的解析式为y=kx+b，将D（，）、E（，0）代入,得，令x=3，得