2025年黑龙江省大庆市中考数学试卷

第1页（共1页）2025年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。1．（3分）（2025•大庆）﹣2025的绝对值是（）A．2025 B．12025 C．﹣2025 D．2．（3分）（2025•大庆）某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025•大庆）近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数科学记数法表示为（）A．0.15×1011 B．1.5×1010 C．1.5×1011 D．15×1094．（3分）（2025•大庆）由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则该几何体的主视图为（）A． B． C． D．5．（3分）（2025•大庆）一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（）A．4π B．6π C．12π D．18π6．（3分）（2025•大庆）下列说法正确的是（）A．调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 B．64的平方根为8 C．若一个正多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是正五边形 D．甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.17．（3分）（2025•大庆）如图，△ABC中，AB＝BC＝2，∠CBA＝120°．将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E连接CE，点D恰好落在线段CE上，则CD的长为（）A．23 B．4 C．328．（3分）（2025•大庆）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数y=2x(x＞0)与正比例函数y＝kx（k＞0）的图象交于点A．将正比例函数y＝kx（k＞0）的图象向上平移32个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=2x(x＞0)的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段CD与OA交于点EA．13 B．1 C．129．（3分）（2025•大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为ts，当QP＝QH时，t的值为（）A．52 B．4 C．103 10．（3分）（2025•大庆）如图，在正方形ABCD中，AB=32，点E，F分别在线段AB，BC上，AE=CF=2，连接EF，AC．过点E，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，H．动点P在△ACD内部及边界上运动，四边形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为S0，S1，S2，S3，S4，若点P在运动中始终满足3S0＝S1+S2+S3+S4，则满足条件的所有点A．2 B．32π C．4 二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。11．（3分）（2025•大庆）函数y=x−1的自变量x的取值范围是12．（3分）（2025•大庆）因式分解：x2﹣x＝．13．（3分）（2025•大庆）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式．14．（3分）（2025•大庆）不等式组12x−1＜7−315．（3分）（2025•大庆）2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为．16．（3分）（2025•大庆）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2．在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM＝AN．分别以M，N为圆心、以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F．作射线AF交BC于点D，则点D到AC的距离为17．（3分）（2025•大庆）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以AD为半径顺时针作弧DE交BA的延长线于点E，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，以BE为半径顺时针作弧EF交CB的延长线于点F，得到扇形EBF；第三次操作以点C为圆心，以CF为半径顺时针作弧FG交DC的延长线于点G，得到扇形FCG，依此类推进行操作，其中DE，EF，FG，GH，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为18．（3分）（2025•大庆）定义：若点A（m，n），点A1（﹣m，﹣n）都在同一函数图象上，则称点A和点A1为该函数的一组“奇对称点对”，记为[A，A1]．规定：[A，A1]与[A1，A]为同一组“奇对称点对”．例如：点B（1，2）和点B1（﹣1，﹣2）都在一次函数y＝2x的图象上，则点B和点B1为一次函数y＝2x的一组“奇对称点对”，记为[B，B1]．下列说法正确的序号为．①点A（1，1），点A1（﹣1，﹣1），则点A和点A1为二次函数y＝x2+x﹣1的一组“奇对称点对”；②反比例函数y=1③点C（1，2），点C1（﹣1，﹣2），若[C，C1]为函数y＝ax2+bx﹣1的一组“奇对称点对”，则a＝2，b＝2；④由函数y＝﹣x在x＜0范围内的图象与函数y＝﹣x2+2x﹣k（k＞0）在x≥0范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为y=−x(x＜0)−x2+2x−k(x≥0)．若w三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。19．（4分）（2025•大庆）求值：4−20220．（4分）（2025•大庆）先化简，再求值：(1−1x−1)÷21．（5分）（2025•大庆）某公司开发了两款AI模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少GB数据？（备注：GB为数据的存储单位）22．（6分）（2025•大庆）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度BC．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB＝70米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：3≈1.7323．（7分）（2025•大庆）开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分．赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分．为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：请根据以上信息，完成下列问题：（1）①此次抽查的学生总数为；②请补全抽取的学生成绩条形统计图；③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为分；（2）在扇形统计图中：m＝，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是度；（3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？24．（7分）（2025•大庆）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O．点B，点D关于AC所在直线对称．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE＝3，AD＝5，求线段OC长．25．（7分）（2025•大庆）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（65≤a≤72且a为整数）．（1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；（2）求当a为何值时，每天的利润W最大．26．（8分）（2025•大庆）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，点B在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数y=kx的图象在第三象限交于点C，连接CA（1）求反比例函数的表达式；（2）求点D的坐标及△OAD的面积；（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．27．（9分）（2025•大庆）如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足∠CAE＝∠MAE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）证明：OE2＝OB•OC；（3）若射线BM与⊙O相切于点A，DC＝3，BD：OC＝10：9，求tan∠AED的值．28．（9分）（2025•大庆）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过坐标原点O及点A(23，3)，过点A作射线AM平行于y轴（点M在点A上方），点F坐标为（0，1），连接AF并延长交抛物线于点E，射线AB平分∠FAM，过点A作AB的垂线l交y轴于点（1）求二次函数的表达式；（2）判断直线l与二次函数y＝ax2+bx+c的图象的公共点的个数，并说明理由；（3）点P（m，0）为x轴上的一个动点，且∠APE为钝角，请直接写出实数m的取值范围．

2025年黑龙江省大庆市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADB．DBCBCDA一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。1．（3分）（2025•大庆）﹣2025的绝对值是（）A．2025 B．12025 C．﹣2025 D．【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的定义即可解决问题．【解答】解：由题知，﹣2025的绝对值是2025．故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键．2．（3分）（2025•大庆）某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．（3分）（2025•大庆）近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数科学记数法表示为（）A．0.15×1011 B．1.5×1010 C．1.5×1011 D．15×109【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解1.5×1010．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2025•大庆）由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则该几何体的主视图为（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据简单组合体三视图的画法，画出它的主视图即可．【解答】解：这个组合体的主视图为：故选：D．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．5．（3分）（2025•大庆）一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（）A．4π B．6π C．12π D．18π【考点】圆锥的体积．【分析】根据圆锥的体积=13×【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为2，∴它的体积=1故选：B．【点评】本题考查圆锥的体积，掌握圆锥的体积公式是解题的关键．6．（3分）（2025•大庆）下列说法正确的是（）A．调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 B．64的平方根为8 C．若一个正多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是正五边形 D．甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.1【考点】方差；平方根；多边形内角与外角；全面调查与抽样调查；算术平均数．【分析】根据普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义，逐项分析判断即可求解．【解答】解：A、调查某种灯泡的使用寿命，具有破坏性，其范围广，最适宜采用抽样调查的方式，故原说法不正确，该选项不符合题意；B、64的平方根为±8，故原说法不正确，该选项不符合题意；C、∵多边形的每一个内角都是108°，∴每一个外角都是180°﹣108°＝72°，∵多边形的外角和为360°，∴这个多边形的边数为360°÷72°＝5，那么这个多边形是正五边形，故原说法正确，该选项符合题意；D、甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.10.1＜0.5，则甲的成绩较稳定，故原说法不正确，该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义，掌握数据分析能力是解题的关键．7．（3分）（2025•大庆）如图，△ABC中，AB＝BC＝2，∠CBA＝120°．将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E连接CE，点D恰好落在线段CE上，则CD的长为（）A．23 B．4 C．32【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】由等腰三角形的性质得∠BAC＝30°；再由旋转的性质得∠CAD＝90°，AD＝AB＝2，∠ADE＝120°，从而得∠ADC＝60°，∠ACD＝30°，故可得CD＝2AD，从而可求出结论．【解答】解：在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴∠BAC=1由旋转可知∠BAD＝120°，∴∠CAD＝90°，由旋转得：AD＝AB＝2，∠ADE＝120°，∴∠ADC＝60°，∴∠ACD＝30°，∴CD＝2AD＝2×2＝4，故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，掌握以上性质是解题的关键．8．（3分）（2025•大庆）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数y=2x(x＞0)与正比例函数y＝kx（k＞0）的图象交于点A．将正比例函数y＝kx（k＞0）的图象向上平移32个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=2x(x＞0)的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段CD与OA交于点EA．13 B．1 C．12【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】令点A坐标为（m，2m），结合点E为OA的中点，用m表示出点E的横坐标，进一步用m表示出点C的坐标，再将A，C【解答】解：由题知，令点A坐标为（m，2m因为点E为OA的中点，所以点E的横坐标为m2因为CD⊥x轴，所以点C的横坐标为m2则点C坐标可表示为（m2将正比例函数y＝kx（k＞0）的图象向上平移32个单位后，所得直线的函数解析式为y=kx+将点A和点C坐标分别代入y＝kx和y＝kx+3mk=2m，则8m解得m＝2，经检验m＝2是原方程的解，且符合题意，则2k＝1，解得k=1故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．9．（3分）（2025•大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为ts，当QP＝QH时，t的值为（）A．52 B．4 C．103 【考点】矩形的性质．【分析】由题意得AP＝t，BH＝2t，CQ＝4t，求得PH＝20﹣3t，根据等腰三角形的性质得到PE=10−32t，再利用CQ【解答】解：作QE⊥AB于点E，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形BCQE是矩形，∴CQ＝BE，由题意得AP＝t，BH＝2t，CQ＝4t，∴PH＝20﹣AP﹣BH＝20﹣3t，∵QP＝QH，QE⊥AB，∴PE=HE=1∵CQ＝BE，∴4t=10−3解得t=20故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．10．（3分）（2025•大庆）如图，在正方形ABCD中，AB=32，点E，F分别在线段AB，BC上，AE=CF=2，连接EF，AC．过点E，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，H．动点P在△ACD内部及边界上运动，四边形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为S0，S1，S2，S3，S4，若点P在运动中始终满足3S0＝S1+S2+S3+S4，则满足条件的所有点A．2 B．32π C．4 【考点】正方形的性质；三角形的面积．【分析】由正方形的性质得AC＝6，AG＝CH＝1，求出GE＝1，GH＝4，求出S0＝4，根据图形得S1+S2+S3＝S0+S4，根据3S0＝S1+S2+S3+S4，得S4＝4，可得点P的运动轨迹是△ACD中平行于AC的一条线段MN，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，根据三角形面积公式求出OQ＝2，得到DQ＝1，从而求出MN＝2．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝AB＝BC＝32，∠BAC＝∠BCA＝45°，∴AC=2AB∵EG⊥AC，FH⊥AC，∴∠EGA＝∠EGC＝∠FHC＝∠FHG＝90°，∴∠AEG＝∠HFC＝45°，∴△AGE，△HFC为等腰直角三角形，∴AG＝GE，HC＝HF，∵AE＝CF=2由勾股定理得AG＝GE＝HC＝HF＝1，BE＝BF，GH＝AC﹣AG﹣CH＝4，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠BEF＝45°，∴∠GEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵∠EGH＝∠FHG＝90°，∴四边形GEFH是矩形，∴S0＝EG•GH＝1×4＝4，∵S1+S2+S3＝S0+S4，3S0＝S1+S2+S3+S4，∴S4＝4，∵动点P在△ACD内部及边界上运动，∴点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条线段MN，则△DMN是等腰直角三角形，如图，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，则DO=12∵S4=12×GH•OQ∴OQ＝2，∴DQ＝OD﹣OQ＝3﹣2＝1，∴MN＝2，即点P组成的图形长度为2，故选：A．【点评】本题主要考查正方形的性质，勾股定理以及点的轨迹，解决本题的关键是得到点P的运动轨迹．二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。11．（3分）（2025•大庆）函数y=x−1的自变量x的取值范围是x≥1【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为x≥1．【点评】本题考查函数自变量的取值范围，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．（3分）（2025•大庆）因式分解：x2﹣x＝x（x﹣1）．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】提取公因式x即可．【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1）．故答案为：x（x﹣1）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．13．（3分）（2025•大庆）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式y＝x+1（答案不唯一）．【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．【分析】写出一个k＞0，b＞0的一次函数即可．【解答】解：∵函数图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大，∴y＝x+1，故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．14．（3分）（2025•大庆）不等式组12x−1＜7−3【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再得出整数解的个数．【解答】解：12由①得：x﹣2＜14﹣3x，x＜4，由②得：3x﹣5＞2x﹣4，x＞1，∴1＜x＜4，∴整数解为2，3，共2个，故答案为：2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键．15．（3分）（2025•大庆）2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为16【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】根据题意记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦Al''、“文心一言”分别用字母A，B，C，D表示，列出表格表示出所有等可能的结果，再找出恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的结果，再根据概率公式计算即可．【解答】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦A′”、“文心一言”分别用字母A，B，C，D表示，根据题意可列出表格如下：ABCDA一（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）一（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）一（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）一由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果，小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为212故答案为：16【点评】本题考查列表法或画树状图求概率，掌握概率公式是解题的关键．16．（3分）（2025•大庆）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2．在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM＝AN．分别以M，N为圆心、以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F．作射线AF交BC于点D，则点D到AC的距离为2【考点】作图—基本作图；含30度角的直角三角形．【分析】先利用基本作图得到∠BAD＝30°，再根据含30度角的直角三角形三边的关系得到BD=33AB【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90°，∠BAD＝30°，∴BD=33AB∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC的距离相等，而点D到AB的距离为23∴点D到AC的距离为23故答案为：23【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和角平分线的性质．17．（3分）（2025•大庆）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以AD为半径顺时针作弧DE交BA的延长线于点E，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，以BE为半径顺时针作弧EF交CB的延长线于点F，得到扇形EBF；第三次操作以点C为圆心，以CF为半径顺时针作弧FG交DC的延长线于点G，得到扇形FCG，依此类推进行操作，其中DE，EF，FG，GH，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为152【考点】扇形面积的计算；正方形的性质；弧长的计算．【分析】先根据正方形的性质以及操作过程确定每次操作所得扇形的半径和圆心角，再根据扇形面积公式分别计算出四个扇形的面积，最后将它们相加得到面积和．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴第一次操作（扇形DAE），以点A为圆心，以AD为半径，∵AD＝1，圆心角n＝90°，∴S1=90π×1第二次操作（扇形EBF），以点B为圆心，以BE为半径，∵BE＝2，圆心角n＝90°，∴S2=90π×2第三次操作（扇形FCG），点C为圆心，以CF为半径，∵CF＝3，圆心角n＝90°，∴S3=90π×第四次操作（扇形GDH），点D为圆心，以DG为半径，∵DG＝4，圆心角n＝90°，∴S4=90π×42∴S1+S2+S3+S4=14π+π+94π+4故答案为：152π【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，求得每次操作时的圆心角以及半径是解题的关键．18．（3分）（2025•大庆）定义：若点A（m，n），点A1（﹣m，﹣n）都在同一函数图象上，则称点A和点A1为该函数的一组“奇对称点对”，记为[A，A1]．规定：[A，A1]与[A1，A]为同一组“奇对称点对”．例如：点B（1，2）和点B1（﹣1，﹣2）都在一次函数y＝2x的图象上，则点B和点B1为一次函数y＝2x的一组“奇对称点对”，记为[B，B1]．下列说法正确的序号为①②④．．①点A（1，1），点A1（﹣1，﹣1），则点A和点A1为二次函数y＝x2+x﹣1的一组“奇对称点对”；②反比例函数y=1③点C（1，2），点C1（﹣1，﹣2），若[C，C1]为函数y＝ax2+bx﹣1的一组“奇对称点对”，则a＝2，b＝2；④由函数y＝﹣x在x＜0范围内的图象与函数y＝﹣x2+2x﹣k（k＞0）在x≥0范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为y=−x(x＜0)−x2+2x−k(x≥0)．若w【考点】二次函数的性质；根的判别式．【分析】根据点A（1，1），点A1（﹣1，﹣1）都在二次函数y＝x2+x﹣1上，可判断①；由B(a，1a)，B1(−a，−1a根据定义，将点代入，可判断③；不妨设C和C是w函数的一组“奇对称点对”，即C和C1在w函数上，假设C（m，﹣m）在y＝﹣x上，那么C1（﹣m，m）在y＝﹣x2+2x﹣k上，将C1（﹣m，m）代入y＝﹣x2+2x﹣k，得到m＝﹣m2﹣2m﹣k，然后结合一元二次方程的判别式求得答案．【解答】解：①将x＝1代入y＝x2+x﹣1，得到y＝1+1﹣1＝1；将x＝﹣1代入y＝x2+x﹣1，得到y＝（﹣1）2﹣1﹣1＝﹣1；可知点A（1，1），点A1（﹣1，﹣1）都在二次函数y＝x2+x﹣1上，那么点A和点A1为二次函数y＝x2+x﹣1的一组“奇对称点对”；故①正确；②当x＝a（a≠0）代入y=1x，得到当x＝﹣a代入y=1x，可得∴B(a，1a)，B∴B(a，1a)，B∵a可以取无数个不为0的数，∴反比例函数y=1x有无数组“奇对称点对”；故③∵点C（1，2），点C1（﹣1，﹣2），[C，C1]为函数y＝ax2+bx﹣1的一组“奇对称点对”，∴点C（1，2），点C1（﹣1，﹣2）都在函数y＝ax2+bx﹣1上，∴2=a+b−1−2=a−b−1∴③错误；④不妨设C和C是函数的一组“奇对称点对”，即C和C1在w函数上，假设C（m，﹣m）在y＝﹣x上，那么C1（﹣m，m）在y＝﹣x2+2x﹣k上，将C1（﹣m，m）代入y＝﹣x2+2x﹣k，得到m＝﹣m2﹣2m﹣k，∴m2+3m+k＝0，∵y=−x(x＜0)∴m2+3m+k＝0有两个不同的实数根m1，m2，∴32﹣4k＞0，m1•m2＞0，∴k＜9∴0＜k＜9∴④正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查了“奇对称点对”的定义，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。19．（4分）（2025•大庆）求值：4−202【考点】实数的运算．【分析】先化简，再计算即可．【解答】解：4＝2﹣1+=5【点评】本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．20．（4分）（2025•大庆）先化简，再求值：(1−1x−1)÷【考点】分式的化简求值．【分析】先化简分式，再代入x的值计算即可．【解答】解：(1−=x−1−1=x−2＝x﹣1，当x＝3时，原式＝2．【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的化简是解题的关键．21．（5分）（2025•大庆）某公司开发了两款AI模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少GB数据？（备注：GB为数据的存储单位）【考点】分式方程的应用．【分析】设模型A每小时能处理xGB数据，则模型B每小时能处理（x+10）GB数据，根据模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同，列出分式方程，解分式方程即可．【解答】解：设模型A每小时能处理xGB数据，则模型B每小时能处理（x+10）GB数据，根据题意得：300x+10解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝20+10＝30，答：模型A每小时能处理20GB数据，模型B每小时能处理30GB数据．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（6分）（2025•大庆）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度BC．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB＝70米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：3≈1.73【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，垂足为E，则BF⊥l，根据题意可得：AE＝BF＝40米，AB＝EF＝70米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出DF的长，再在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，垂足为E，则BF⊥l，由题意得：AE＝BF＝40米，AB＝EF＝70米，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴DE=AE∴DF＝EF﹣DE＝70﹣40＝30（米），在Rt△CDF中，∠CDF＝30°，∴CF＝DF•tan30°＝30×33=∴BC＝BF﹣CF＝40﹣103≈∴楼房高度约为23米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（7分）（2025•大庆）开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分．赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分．为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：请根据以上信息，完成下列问题：（1）①此次抽查的学生总数为200人；②请补全抽取的学生成绩条形统计图；③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为90分；（2）在扇形统计图中：m＝144，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是72度；（3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？【考点】条形统计图；众数；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）①从两个统计图可知，样本中竞赛成绩为100分的有40人，占被调查人数的20%，由频率＝频数÷总数即可求出被调查人数；②求出样本中竞赛成绩为80分的学生人数即可补全条形统计图；③根据众数的定义进行解答即可；（2）求出样本中，竞赛成绩为90分的学生所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，确定m的值；（3）样本估计整体，求出样本中得分不低于90分的学生所占的百分比，估计总体中得分不低于90分的学生所占的百分比，由频率＝频数÷总数进行竞赛即可．【解答】解：（1）①被调查的人数为：40÷20%＝200（人），故答案为：200；②200×25%＝50（人），补全条形统计图如下：③样本中竞赛成绩出现次数最多的是90分，共出现80次，因此学生竞赛成绩的众数是90分，故答案为：90；（2）80÷200×100%＝40%，即m＝40，360°×40故答案为：40，72；（3）3000×80+40答：该校3000名学生中得分不低于90分的学生大约有1800人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率＝频数÷总数是正确解答的关键．24．（7分）（2025•大庆）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O．点B，点D关于AC所在直线对称．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE＝3，AD＝5，求线段OC长．【考点】菱形的判定与性质；轴对称的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）证明△ABO≌△CDO（ASA），得AB＝CD，再证明四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）由菱形的性质得OC＝OA=12AC，AD＝BC＝CD＝5，则BE＝BC+CE＝8，再由勾股定理求出DE＝4，BD＝45，然后由菱形面积求出【解答】（1）证明：∵点B、点D关于AC所在直线对称，∴BD⊥AC，BO＝DO，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，在△ABO和△CDO中，∠ABO=∠CDOBO=DO∴△ABO≌△CDO（ASA），∴AB＝CD，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，∴OC＝OA=12AC，AD＝BC＝∴BE＝BC+CE＝5+3＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，在Rt△CED中，由勾股定理得：DE=C在Rt△BED中，由勾股定理得：BD=BE2∵S菱形ABCD＝DE•BC，S菱形ABCD=12AC•BD＝OC•∴DE•BC＝OC•BD，∴OC=DE⋅BC【点评】本题考查了菱形的判定与性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．25．（7分）（2025•大庆）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（65≤a≤72且a为整数）．（1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；（2）求当a为何值时，每天的利润W最大．【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）依据题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，可得2x+3y=1554x+y=135（2）依据题意，每套成本为25+35＝60元，售价为a元，故每套利润为（a﹣60）元，又售价为72元时销量80套，每降价1元销量增10套，从而故销量为80+10（72﹣a）＝800﹣10a，则利润W＝（a﹣60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）2+1000，结合65≤a≤72且a为整数，最后可以判断得解．【解答】解：（1）由题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，∴2x+3y=1554x+y=135∴x=25y=35答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元．（2）由题意，每套成本为25+35＝60元，售价为a元，∴每套利润为（a﹣60）元．∵售价为72元时销量80套，每降价1元销量增10套，∴故销量为80+10（72﹣a）＝800﹣10a．∴利润W＝（a﹣60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）2+1000．∵65≤a≤72且a为整数，∴当a＝70时，天的利润W最大．【点评】本题主要考查了二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．26．（8分）（2025•大庆）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，点B在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数y=kx的图象在第三象限交于点C，连接CA（1）求反比例函数的表达式；（2）求点D的坐标及△OAD的面积；（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）作BF⊥x轴于点F，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为(1，3（2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为(−1，−3)，利用待定系数法求得直线AC的解析式，联立求得点（3）先求得∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，分当DQ⊥x轴和当DQ⊥AD时两种情况讨论，据此求解即可．【解答】解：（1）作BF⊥x轴于点F，∵△OBA为等边三角形，OA＝2，∴OB＝2，OF＝AF＝1，∴BF=O∴点B的坐标为(1，3∵点B在反比例函数y=k∴k=1×3∴反比例函数的表达式为y=3（2）∵延长BO与反比例函数y=kx的图象在第三象限交于点∴点C与点B关于原点对称，∴点C的坐标为(−1，−3∵OA＝2，∴点A的坐标为（2，0），设直线AC的解析式为y＝k'x+b，∴−k′+b=−3解得k′=3∴直线AC的解析式为y=3联立得3x解得x＝3或x＝﹣1（舍去），经检验，x＝3是原方程的解，∴点D的坐标为(3，3∴S△OAD（3）是，理由如下：∵△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称，∴OA＝OB＝OC，∠BOA＝∠BAO＝60°，∴∠OAC=∠OCA=1∴∠BAC＝90°，当DQ⊥x轴时，∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠DQA＝∠BAC＝90°，∴△DQA∽△BAC，∵点D的坐标为(3，3∴点O的坐标为（3，0）；当DQ⊥AD时，∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠QDA＝∠BAC＝90°，∴△QDA∽△BAC，∵点D的坐标为(3，33)∴AD=2∴AQ=AD∴OQ=2+4∴点O的坐标为(10综上，点Q的坐标为（3，0）或(10【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键．27．（9分）（2025•大庆）如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足∠CAE＝∠MAE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）证明：OE2＝OB•OC；（3）若射线BM与⊙O相切于点A，DC＝3，BD：OC＝10：9，求tan∠AED的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠DAE＝90°，得到∠EAM+∠BAD＝∠EAC+∠DAC＝90°，根据余角的性