2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷

第1页（共1页）2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2025•齐齐哈尔）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入10元记作+10元，则支出10元记作（）A．+10元 B．﹣10元 C．0元 D．+20元2．（3分）（2025•齐齐哈尔）社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025•齐齐哈尔）下列计算正确的是（）A．（3x）2＝9x2 B．5x•2x＝10x C．x6÷x2＝x3 D．（x﹣2）2＝x2﹣44．（3分）（2025•齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°5．（3分）（2025•齐齐哈尔）为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．如图中飞机的俯视图是（）A． B． C． D．6．（3分）（2025•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程mx1−x+xA．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝1或m＝﹣1 D．m≠1且m≠﹣17．（3分）（2025•齐齐哈尔）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（）A．12 B．13 C．238．（3分）（2025•齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种9．（3分）（2025•齐齐哈尔）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为x（x＞0）．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（）A． B． C． D．10．（3分）（2025•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论：①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+c＞−cx1x+c（a≠0）的解集为0＜x＜A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（每小题3分，满分21分）11．（3分）（2025•齐齐哈尔）中国年水资源总量约为27500亿m3，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将27500用科学记数法表示为．12．（3分）（2025•齐齐哈尔）若代数式xx−3+（x﹣2025）0有意义，则实数x的取值范围是13．（3分）（2025•齐齐哈尔）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为度．14．（3分）（2025•齐齐哈尔）如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为15．（3分）（2025•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为16．（3分）（2025•齐齐哈尔）等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE＝5，tan∠AED=34，则△BEC的面积为17．（3分）（2025•齐齐哈尔）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以OA1为边作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，过点A，A1，A2作弧AA2，记作第1条弧；以OA2为边作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以OA3为边作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，过点A2，A3，A4作弧A2A4三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（2025•齐齐哈尔）（1）计算：9−|1−2|+2sin45°（2）分解因式：2x3﹣8x．19．（5分）（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12．20．（8分）（2025•齐齐哈尔）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m＝；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为度；（4）若该校有3000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？21．（10分）（2025•齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径．22．（10分）（2025•齐齐哈尔）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（1）A，C两区相距米，a＝；（2）求线段EF所在直线的函数解析式；（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）23．（12分）（2025•齐齐哈尔）综合与实践在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．（1）【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，连接BD，CD′，则CD′与BD的数量关系是；∠AD′C与∠ADB的数量关系是；（2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE′是正方形；（3）【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在其内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，延长CE′至点G，使CGCE′=43，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若AF＝2，则（4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE′，连接DE′，若AD＝32，AB=6，则DE′的最小值为24．（14分）（2025•齐齐哈尔）综合与探究如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（6，0），与y轴交于点B，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC＝24时，求点P的坐标；（3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG＝45°，则点G的坐标为；（4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是．

2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案B．DACACDBAB一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2025•齐齐哈尔）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入10元记作+10元，则支出10元记作（）A．+10元 B．﹣10元 C．0元 D．+20元【考点】正数和负数；数学常识．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若收入10元记作+10元，则支出10元记作﹣10元．故选：B．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．2．（3分）（2025•齐齐哈尔）社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．【解答】解：A、B、C中的标志不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意D、此标志是中心对称图形，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．3．（3分）（2025•齐齐哈尔）下列计算正确的是（）A．（3x）2＝9x2 B．5x•2x＝10x C．x6÷x2＝x3 D．（x﹣2）2＝x2﹣4【考点】整式的混合运算．【分析】根据积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法、完全平方公式逐一求解即可．【解答】解：A．（3x）2＝9x2，此计算正确，符合题意；B．5x•2x＝10x2，此计算错误，不符合题意；C．x6÷x2＝x4，此计算错误，不符合题意；D．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，此计算错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法的运算法则及完全平方公式．4．（3分）（2025•齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【考点】平行线的性质．【分析】利用平行线的性质可得到∠3的度数，再根据平角的定义得出∠4的度数，利用平行线的性质即可得到∠2的度数．【解答】解：如图所示，由题意，∠5＝90°﹣30°＝60°，∵直尺的对边平行，∴∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，∴∠4＝180°﹣∠3﹣∠5＝70°，∴∠2＝∠4＝70°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是运用两直线平行，同位角相等．5．（3分）（2025•齐齐哈尔）为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．如图中飞机的俯视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从物体上方向下看得到的视图为俯视图，由此得解．【解答】解：如图中飞机的俯视图为选项A的图形．故选：A．【点评】本题考查了三视图，掌握从上面看几何体得到的图形就是几何体俯视图是解题的关键．6．（3分）（2025•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程mx1−x+xA．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝1或m＝﹣1 D．m≠1且m≠﹣1【考点】分式方程的解．【分析】分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．【解答】解：方程去分母，得：mx﹣x＝2（1﹣x），整理，得：（m+1）x＝2，原方程无解，∴①整式方程无解，则：m+1＝0，解得：m＝﹣1，②分式方程有增根，则：x﹣1＝0，解得：x＝1，把x＝1代入（m+1）x＝2，得：m+1＝2，解得：m＝1，综上：m＝1或m＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查分式方程的解，注意正确计算．7．（3分）（2025•齐齐哈尔）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（）A．12 B．13 C．23【考点】列表法与树状图法．【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，∴2只雏鸟都是雄鸟的概率是14故选：D．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（3分）（2025•齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【考点】二元一次方程的应用．【分析】设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．【解答】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，由题意得：45x+60y＝900，整理得：x＝20−43∵x、y均为正整数，∴x=16y=3或x=12y=6或x=8y=9∴租车方案有4种，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．9．（3分）（2025•齐齐哈尔）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为x（x＞0）．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】分三种情况：点E在AB上时，点E在BC上且l与AD相交时，点E在BC上且l与CD相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解．【解答】解：当点E在AB上时，如图，∵∠A＝60°，l⊥AD，∴∠AEF＝30°，∴AF=12AE=∴y=1∴此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项；当点E在BC上且l与AD相交时，作BH⊥AD，如图，∵∠A＝60°，BH⊥AD，∴∠ABH＝30°，∴AH=12AB=2∴y＝S△ABH+S矩形BEFH=1∴此时图象为直线一部分；当点E在BC上且l与CD相交时，如图，∵∠C＝∠A＝60°，l⊥BC，CE＝AB+BC﹣x＝8﹣x，∴EF=CE⋅tan60°=3∴S△CEF∴y=S∴此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项；故选：A．【点评】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键．10．（3分）（2025•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论：①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+c＞−cx1x+c（a≠0）的解集为0＜x＜A．2 B．3 C．4 D．5【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【分析】依据题意，由抛物线的图象开口向上，图象与y轴交于负半轴，及与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3，再结合二次函数的性质，进而逐个判断即可得解．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线与y轴交于负半轴，∴当x＝0，则y＝c＜0．又∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3，∴1＜﹣1+x1＜2．∴12∴对称轴是直线x=−1+∴b＜0．∴abc＞0，故①正确．由图象可得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，又∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，∴b＝a+c．∴4a+2b+c＝4a+2a+2c+c＝6a+3c＜0．∴2a+c＜0，故②正确．∵12＜−1+x∴12∵a＞0，∴a＜﹣b＜2a．∴2a+b＞0．∴2a+a+c＞0，即3a+c＞0．∴4a﹣b+2c＝4a﹣a﹣c+2c＝3a+c＞0，故③错误．由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）．∵当x＝0时，y＝c，∴y＝﹣c与y＝c关于x轴对称．如图所示，∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）＝﹣c时，即a（x+1）（x﹣x1）+c＝0，结合图象可得m＜﹣1，n＞2，故④正确．由题意，∵y=−cx1x+c过（0，c），（∴可以作图如下．∴关于x的不等式ax2+bx+c＞−cx1x+c∴关于x的不等式ax2+bx+c＞−cx1x+c（a≠0）的解集是x＜0或x＞x1综上，正确的有①②④共3个．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．二、填空题（每小题3分，满分21分）11．（3分）（2025•齐齐哈尔）中国年水资源总量约为27500亿m3，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将27500用科学记数法表示为2.75×104．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：27500＝2.75×104．故答案为：2.75×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）（2025•齐齐哈尔）若代数式xx−3+（x﹣2025）0有意义，则实数x的取值范围是x＞3且x【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；零指数幂．【分析】由代数式有意义的条件可得：x﹣3＞0且x﹣2025≠0，求解即可得到答案．【解答】解：∵代数式xx−3+（x﹣2025）∴x﹣3＞0且x﹣2025≠0，∴x＞3且x≠2025．故答案为：x＞3且x≠2025．【点评】本题考查了代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幂的底数不能为零是解题的关键．13．（3分）（2025•齐齐哈尔）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为160度．【考点】弧长的计算．【分析】圆锥的底面半径为40cm，则底面圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm，母线长为90cm即侧面展开图的扇形的半径长是90cm．根据弧长公式即可计算．【解答】解：根据弧长的公式l=nπr80π=nπ⋅90解得n＝160度．侧面展开图的圆心角为160度．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．14．（3分）（2025•齐齐哈尔）如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为43【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理．【分析】设MN交AC于点O，由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，可得点O为AC的中点，∠CON＝90°，进而可得ON为△ABC的中位线，可得ON∥AB，则∠CAB＝∠CON＝90°，再根据勾股定理可得AC=B【解答】解：设MN交AC于点O，由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，∴点O为AC的中点，∠CON＝90°．∵点N为BC的中点，∴ON为△ABC的中位线，∴ON∥AB，∴∠CAB＝∠CON＝90°．∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4，∴AC=B故答案为：43【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．15．（3分）（2025•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】求出点B的坐标为（﹣1，0），设点A坐标为（m，﹣m﹣1），根据AC＝BC，得到2m2+8m+16＝10，解方程并进一步即可得到点A坐标为（﹣3，2），利用待定系数法即可求出实数k的值．【解答】解：当y＝0时，0＝﹣x﹣1，解得x＝﹣1，∴点B的坐标为（﹣1，0），∵点C坐标为（0，3），∴BC=O设点A坐标为（m，﹣m﹣1），∴AC2＝（m﹣0）2+（﹣m﹣1﹣3）2＝2m2+8m+16，∵AC＝BC，∴AC2＝BC2，∴2m2+8m+16＝10，解得m1＝﹣3，m2＝﹣1（不合题意，舍去），∴m＝﹣3，∴点A坐标为（﹣3，2），∴2=k解得k＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据AC＝BC和勾股定理列方程是解题的关键．16．（3分）（2025•齐齐哈尔）等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE＝5，tan∠AED=34，则△BEC的面积为125或【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】根据折叠的性质得到DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5，设AD＝3x，DE＝4x，得到AE＝5x＝5，求得AB＝AC＝6，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：如图，∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，∴DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5，∴∠ADE＝90°，∵tan∠AED=AD设AD＝3x，DE＝4x，∴AE＝5x＝5，∴x＝1，∴AD＝BD＝3，DE＝4，∴AB＝AC＝6，∴CE＝1，∴S△ABE∴S△CBE=12如图，∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，∴DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5，∴∠ADE＝90°，∵tan∠AED=AD设AD＝3x，DE＝4x，∴AE＝5x＝5，∴x＝1，∴AD＝BD＝3，DE＝4，∴AB＝AC＝6，∴CE＝11，∴S△ABE∴S△CBE=132综上所述△BEC的面积为125或132故答案为：125或132【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．17．（3分）（2025•齐齐哈尔）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以OA1为边作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，过点A，A1，A2作弧AA2，记作第1条弧；以OA2为边作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以OA3为边作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，过点A2，A3，A4作弧A2A4，记作第2条弧⋯⋯按此规律，第2025条弧上与原点O【考点】直角三角形的性质；规律型：点的坐标．【分析】分别求出OA1=OAcos30°=232=2×23，OA2=OA1cos30°=2×23×23=2×(23)2，OA【解答】解：根据题意可知：OA＝2，OAOAOA…，OA∵点A，A1，A2作弧AA点A2，A3，A4作弧A2…，∴A4048∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点为A4048，∴OA∵∠AOA1＝30°，∠A1OA2＝30°，∠A2OA3＝30°，∠A3OA4＝30°，…，∴12次操作循环一周，∵4048÷12＝337…4，∴∠AOA4048＝120°，过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示：∴∠MOA4048＝180°﹣120°＝60°，∴OM=OA4048×cos60°=∴A4048∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为(−2故答案为：(−2【点评】本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（2025•齐齐哈尔）（1）计算：9−|1−2|+2sin45°（2）分解因式：2x3﹣8x．【考点】提公因式法与公式法的综合运用；特殊角的三角函数值；实数的运算．【分析】（1）先根据算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）9=3−(2=3−2＝﹣5；（2）2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，实数的运算，正确计算是解题的关键．19．（5分）（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】先移项，再将左边因式分解，进一步求解即可．【解答】解：整理得：x2﹣7x+12＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0，所以x﹣4＝0或x﹣3＝0，解得x1＝4，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（8分）（2025•齐齐哈尔）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m＝24；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为86.4度；（4）若该校有3000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用排球的人数除以36%可得样本容量，再用足球的人数除以样本容量即可求出m的值；（2）用样本容量分别减去其它三个球类的人数可得篮球人数，再补全条形统计图即可；（3）用360°乘足球对应的百分比即可得到答案；（4）用样本估计总体进行计算即可．【解答】解：（1）样本容量为：18÷36%＝50，故m=12故答案为：24；（2）篮球人数为：50﹣12﹣18﹣4＝16，补全条形统计图如下：（3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为：360°×24%＝86.4°，故答案为：86.4；（4）3000×16答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有960人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．21．（10分）（2025•齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径．【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°．根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠OCB，求得∠OCD＝90°根据切线的判定定理得到结论；（2）由点B是AD的中点，得到BD＝AB＝2OC．求得OD＝OB+BD＝3OC，得到OCOD=13，根据三角函数的定义得到【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠A+∠ABC＝90°．∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵点B是AD的中点，∴BD＝AB＝2OC．∵OB＝OC，∴OD＝OB+BD＝3OC，∴OCOD∵BE⊥AD，∴∠DBE＝90°，又∵∠OCD＝90°，∴sinD=BE∴DE＝3BE＝9，在Rt△DBE中，BD=D∴OC=32即⊙O半径为32【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确地添加辅助线是解题的关键．22．（10分）（2025•齐齐哈尔）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（1）A，C两区相距240米，a＝7.5；（2）求线段EF所在直线的函数解析式；（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由图象直接可得A，B两区的距离和B，C两区的距离，从而求出A，C两区的距离，再由时间＝路程÷速度求出机器人甲到达B区时所用时间，即a的值即可；（2）由时间＝路程÷速度求出机器人乙到达B区时所用时间，从而得到点E的坐标，根据速度＝路程÷时间求出EF段的速度，再由路程＝速度×时间求出线段EF所在直线的函数解析式即可；（3）分别讨论机器人甲在B区左侧时、机器人乙到达B区并开始返回时至机器人甲在B区停留结束时、机器人甲从B区出发至到达C区三个时间段内机器人甲、乙相距30米时对应x的值即可．【解答】解：（1）由图象可知，A，B两区相距150米，B，C两区相距90米，则A，C两区相距150+90＝240（米），机器人甲到达B区时所用时间为150÷20＝7.5（分），∴a＝7.5．故答案为：240，7.5．（2）机器人乙到达B区时所用时间为90÷10＝9（分），∴E（9，0），机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷（15﹣9）＝15（米/分），则y＝15（x﹣9）＝15x﹣135，∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝15x﹣135（9≤x≤15）．（3）当0≤x≤7.5时，当机器人甲、乙相距30米时，得20x+10x+30＝240，解得x＝7，当9≤x≤12时，当机器人甲、乙相距30米时，得15x﹣135＝30，解得x＝11，当12＜x≤15时，机器人甲的速度为90÷（15﹣12）＝30（米/分），则y＝30（x﹣12）＝30x﹣360，当机器人甲、乙相距30米时，得15x﹣135﹣（30x﹣360）＝30，解得x＝13，∴机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．23．（12分）（2025•齐齐哈尔）综合与实践在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．（1）【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，连接BD，CD′，则CD′与BD的数量关系是相等；∠AD′C与∠ADB的数量关系是相等；（2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE′是正方形；（3）【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在其内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，延长CE′至点G，使CGCE′=43，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若AF＝2，则BF＝（4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE′，连接DE′，若AD＝32，AB=6，则DE′的最小值为62【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据旋转的性质可得∠DAD'＝90°，AD＝AD'，进而证明∠DAB＝∠D'AC，即可证明△DAB≌△D'AC（SAS），根据全等三角形的性质，即可求解；（2）根据正方形的性质，旋转的性质，同（1）证明△BCE'≌△DCE（SAS），得出∠BE'C＝∠DEC＝90°，结合CE＝CE'，即可得证；（3）同（2）的方法证明△BCG∽△DCE，得出四边形CEFG是矩形，连接AC，BD交于点O，连接OF，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出点A，F，B，C，D共圆，勾股定理求得AC，FC，进而解Rt△FCG，求得FG=3215，再证明∠ACF＝∠BCG（4）连接AC，BD交于点O，证明△E'AO≌△EAB（SAS）得出∠AOE'＝∠ABE＝90°，当DE'⊥OE'时，DE'取得最小值，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【解答】（1）解：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'，∴∠DAD'＝90°，AD＝AD'，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAD'＝∠DAC，即∠DAB＝∠D'AC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△D'AC（SAS），∴CD'＝BD，∠AD'C＝∠ADB；故答案为：相等（或CD′＝BD）；相等（或∠AD′C＝∠ADB）；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，BC＝DC．∵CE绕点C逆时针旋转90°得到CE′，∴∠ECE′＝90°，CE＝CE′．∵∠DCB＝∠ECE′＝90°，∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECE′﹣∠BCE即∠DCE＝∠BCE′．∴△BCE′≌△DCE（SAS）．∴∠BE′C＝∠DEC＝90°．∵∠CED+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝90°，∴∠BE′C＝∠ECE′＝∠CEF＝90°．∴四边形CEFE′是矩形．又∵CE＝CE′，∴四边形CEFE′是正方形；（3）解：∵CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，∴∠ECE'＝90°，CE＝CE'，∵CGCE′∴CGCE∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，∴CD＝AB＝3，∴BCCD∴CGCE∵∠DCB＝∠ECE'＝90°，∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECE'﹣∠BCE，即∠DCE＝∠BCE'，∴△BCG∽△DCE，∴∠BGC＝∠DEC＝90°，∵∠CED+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝90°，∴∠BGC＝∠ECG＝∠CEF＝90°，∴四边形CEFG是矩形，如图，连接AC，BD交于点O，连接OF，∵O是AC，BD的中点，在Rt△OBF中，OF=1∴OF=1∴A，F，B，C，D共圆，∴∠AFC＝90°，∵AD＝BC，∴AD=∴∠GFC＝∠ACD，在Rt△ABC中，AC=A∴cos∠ACD=AD∵AF＝2，在Rt△AFC中，FC=A∴FG=FCcos∠CFG=3∵BC=∴∠BFC＝∠BAC，又∵∠AFC＝∠G＝90°，∴∠ACB＝∠FCG，∴∠ACB﹣∠FBC＝∠FCG﹣∠FBC，即∠ACF＝∠BCG，∴sin∠ACF=AF∴25∴BG=8∴BF=3故答案为：321（4）解：如图，连接AC，BD交于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AO＝OB，∵AD=32，AB=∴AC＝BD=A∴AO＝OB＝AB=6∴△AOB是等边三角形，则∠OAB＝60°，∵线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE'，∴AE＝AE'，∠EAE'＝60°，∴∠OAB＝∠EAE'＝60°，∴∠OAB﹣∠OAE＝∠EAE'﹣∠OAE，即∠E'AO＝∠EAB，又∵OA＝BA，E'A＝EA，∴△E'AO≌△EAB（SAS），∴∠AOE'＝∠ABE＝90°，∴E'在OE'上运动，且E'O⊥AC，∴当DE′⊥OE'时，DE'取得最小值，∵∠AOB＝60°，∴∠AOD＝120°，又∵∠AOE'＝90°，∴∠E