2025年江苏省扬州市中考数学试卷

第1页（共1页）2025年江苏省扬州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2025•扬州）下列温度中，比﹣3℃低的温度是（）A．﹣5℃ B．﹣2℃ C．0℃ D．2℃2．（3分）（2025•扬州）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025•扬州）下列说法不正确的是（）A．明天下雨是随机事件 B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D．若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，则乙组数据更稳定4．（3分）（2025•扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况5．（3分）（2025•扬州）如图，数轴上点A表示的数可能是（）A．2 B．3 C．7 D．106．（3分）（2025•扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC7．（3分）（2025•扬州）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（）A．60° B．70° C．80° D．90°8．（3分）（2025•扬州）已知m2025+2025m＝2025，则一次函数y＝（1﹣m）x+m的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）（2025•扬州）2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为．10．（3分）（2025•扬州）分解因式：a2﹣4＝．11．（3分）（2025•扬州）计算：（1−2x）÷12．（3分）（2025•扬州）若a2﹣2b+1＝0，则代数式2a2﹣4b+3的值是．13．（3分）（2025•扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为．14．（3分）（2025•扬州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝°．15．（3分）（2025•扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是．16．（3分）（2025•扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为．17．（3分）（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝．18．（3分）（2025•扬州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQ=12PF．当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（2025•扬州）计算：（1）12−2cos30°+（π+1）0（2）a（a+2）﹣a3÷a．20．（8分）（2025•扬州）解不等式组4x−3≤x3(x+1)＞2x21．（8分）（2025•扬州）为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评委的评分情况如下（单位：分）．表1评委评分数据选手评委评分小红7878777879小丽7768888878表2评委评分数据分析选手平均数中位数众数小红7.5b7小丽a8c根据以上信息，回答下列问题：（1）表2中a＝，b＝，c＝；（2）你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由．22．（8分）（2025•扬州）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是；（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．23．（10分）（2025•扬州）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的5424．（10分）（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（（1）求反比例函数、一次函数的表达式；（2）求△OAB的面积．25．（10分）（2025•扬州）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长．26．（10分）（2025•扬州）材料的疏水性扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（2）材料的疏水性随着接触角的变大而（选填“变强”“不变”“变弱”）．【实践探索】实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．（3）请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．【创新思考】（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．27．（12分）（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象（记为G1）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象（记为G2）经过点A，C．直线x＝t与两个图象G1，G2分别交于点M，N，与x轴交于点P．（1）求b，c的值．（2）当点P在线段AO上时，求MN的最大值．（3）设点M，N到直线AC的距离分别为m，n．当m+n＝4时，对应的t值有个；当m﹣n＝3时，对应的t值有个；当mn＝2时，对应的t值有个；当mn=1时，对应的t值有28．（12分）（2025•扬州）问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况．【从特例开始】（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中∠FAH＝°．（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE＝PF＝6，PG＝4，PH＝8，求此图形中∠FAH的度数；【一般化探索】（3）利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由．

2025年江苏省扬州市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ACBACBCD一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2025•扬州）下列温度中，比﹣3℃低的温度是（）A．﹣5℃ B．﹣2℃ C．0℃ D．2℃【考点】有理数大小比较．【分析】有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断出比﹣3℃低的温度是哪个即可．【解答】解：∵﹣5℃＜﹣3℃，﹣2℃＞﹣3℃，0℃＞﹣3℃，2℃＞﹣3℃，∴所给的温度中，比﹣3℃低的温度是﹣5℃．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小．2．（3分）（2025•扬州）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．（3分）（2025•扬州）下列说法不正确的是（）A．明天下雨是随机事件 B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D．若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，则乙组数据更稳定【考点】随机事件；全面调查与抽样调查；折线统计图；方差．【分析】根据随机事件，全面调查与抽样调查的定义，折线统计图及方差的意义进行判断即可．【解答】解：明天下雨是随机事件，则A不符合题意，调查长江中现有鱼的种类，适宜采用抽样调查的方式，则B符合题意，描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图，则C不符合题意，若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，因0.13＞0.04，那么乙组数据更稳定，则D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查随机事件，全面调查与抽样调查，折线统计图及方差，熟练掌握相关定义及实际意义是解题的关键．4．（3分）（2025•扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根是解题的关键．5．（3分）（2025•扬州）如图，数轴上点A表示的数可能是（）A．2 B．3 C．7 D．10【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．【分析】利用夹逼法估算各数的大小后进行判断即可．【解答】解：∵1＜2＜3＜4＜7＜9＜10，∴1＜2＜3＜2则数轴上点A表示的数可能是7，故选：C．【点评】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．6．（3分）（2025•扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】由∠ADB+∠ADC＝180°，且∠ADB＝∠ADC，求得∠ADC＝90°，则AD⊥BC，可判断A不符合题意；由AB＝AC，得∠B＝∠C，可知由∠B＝∠C不能说明AD⊥BC，可判断B符合题意；由AB＝AC，BD＝CD，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC，可判断C不符合题意；由AB＝AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．【解答】解：∵点D在BC上，∴∠ADB+∠ADC＝180°，∵∠ADB＝∠ADC，∴2∠ADC＝180°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，故A不符合题意；∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝∠C与点D所在的位置没有关系，∴由∠B＝∠C不能说明AD⊥BC，故B符合题意；∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，故C不符合题意；∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，故D不符合题意，故选：B．【点评】此题重点考查垂直的定义、“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确理解和运用等腰三角形的性质是解题的关键．7．（3分）（2025•扬州）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（）A．60° B．70° C．80° D．90°【考点】平行线的性质．【分析】根据物理学原理可知：AB∥PQ∥CD，再根据平行线的性质求出∠BGP和∠PGD，从而求出∠BGD，最后根据对顶角相等求出答案即可．【解答】解：由题意可知：AB∥PQ∥CD，∵AB∥PQ，∴∠ABE+∠BGP＝180°，∵∠ABE＝130°，∴∠BGP＝180°﹣130°＝50°，∵PQ∥CD，∴∠PGD+∠CDF＝180°，∵∠CDF＝150°，∴∠PGD＝180°﹣150°＝30°，∴∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝50°+30°＝80°，∴∠EGF＝∠BGD＝80°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是理解物理学知识，得到AB∥PQ∥CD．8．（3分）（2025•扬州）已知m2025+2025m＝2025，则一次函数y＝（1﹣m）x+m的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数的性质．【分析】先根据m2025+2025m＝2025判断m的取值范围，再根据一次函数的性质判断其图象经过的象限．【解答】解：∵m2025+2025m＝2025，∴m＞0且2025m＜2025，∴0＜m＜1，∴1﹣m＞0，∴一次函数y＝（1﹣m）x+m的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）（2025•扬州）2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为3×104．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：30000＝3×104．故答案为：3×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（3分）（2025•扬州）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【考点】因式分解﹣运用公式法．【分析】直接用公式法分解，即可得出答案．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），故答案为：（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查了公式法分解因式，直接用公式法分解即可．11．（3分）（2025•扬州）计算：（1−2x）÷1x【考点】分式的混合运算．【分析】先将括号内的分式通分并计算，然后将除法化为乘法，最后进行约分即可．【解答】解：原式=x−2x•x＝故答案为：x﹣2．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．12．（3分）（2025•扬州）若a2﹣2b+1＝0，则代数式2a2﹣4b+3的值是1．【考点】代数式求值．【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．【解答】解：∵a2﹣2b+1＝0，∴a2﹣2b＝﹣1，∴当a2﹣2b＝﹣1时，原式＝2（a2﹣2b）+3＝2×（﹣1）+3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．13．（3分）（2025•扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为9．【考点】多边形内角与外角．【分析】先根据多边形的一个内角与它相邻的外角的和为180°，求出多边形的每个内角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，求出边数即可．【解答】解：∵多边形的每个内角都是140°，∴多边形的每个外角都是180°﹣140°＝40°，∴这个多边形的边数为：360°÷40°＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练多边形的外角和为360°．14．（3分）（2025•扬州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝40°．【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理可得∠BOC＝100°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答．【解答】解：∵∠BAC＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB=180°−∠BOC故答案为：40．【点评】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．15．（3分）（2025•扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是6．【考点】三角形中位线定理；勾股定理．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE，进而求出DF．【解答】解：∵点D，E分别是边AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC在Rt△BFC中，E是斜边BC的中点，BC＝8，则FE=12BC∴DF＝DE+FE＝2+4＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．16．（3分）（2025•扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为11，60，61．．【考点】勾股数．【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可写出第⑤组勾股数．【解答】解：通过观察得：第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5；第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13；第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25；第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41；所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61．故答案为：11，60，61．【点评】此题考查的知识点是勾股数，此题属规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．17．（3分）（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝49【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】延长AN，交直线BC于点E，设DN＝xcm，则CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得∠DAN＝∠AEF＝α，然后根据正切的定义计算即可得．【解答】解：如图，延长AN，交直线BC于点E，由题意得：AD＝BC＝CD＝9cm，∠D＝90°，AD∥BC，AN∥FG，设DN＝xcm，则CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为（9﹣x）cm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之和，∴9×9(9−x)+1解得x＝4，即DN＝4cm，∵AN∥FG，∴∠AEF＝∠F＝α，∵AD∥BC，∴∠DAN＝∠AEF＝α，∴tanα=tan∠DAN=DN故答案为：49【点评】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．18．（3分）（2025•扬州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQ=12PF．当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是4π【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质；轨迹．【分析】分点P在矩形内部和点P在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP，交AB于点H，证明△AQH∽△PFA，进而得到AH=12AP=2，进而得到点Q在以AH为直径的圆上运动，得到当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，当点P在矩形外部时，同法可得，点Q在以AK为直径的圆上，得到当点E运动到点C时，点Q【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，∴AP＝AB＝4，当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP，交AB于点H，则：∠AQH＝90°＝∠BAD，∠AHQ＝∠PAF＝90°﹣∠HAQ，∵PF⊥AD，∴∠PFA＝90°＝∠AQH，∴△AQH∽△PFA，∴AHAP∵AQ=1∴AHAP∴AH=1∴点Q在以AH为直径的圆上运动，∴当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，∴点Q的运动路径长为：12当点P在矩形ABCD的外部时，作KQ⊥AP，交AB的延长线于点K，同法可得：△AKQ∽△PAF，AK=1∴∠AKQ＝∠PAF，点Q在以AK为直径的⊙O上运动，连接OQ，当点E运动到点C时，如图：∵AB＝4，BC=43，∠B∴tan∠BAC=BC∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°，∵将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，∴∠PAC＝∠BAC＝60°，∴∠PAF＝∠PAC﹣∠CAD＝30°，∴∠AKQ＝∠PAF＝30°，∴∠AOQ＝2∠AKQ＝60°，∴点Q的运动轨迹为圆心角为60°的AQ路径长为60π180∴点Q的运动路径总长为：π+π故答案为：4π3【点评】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点Q的运动轨迹，是解题的关键．三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（2025•扬州）计算：（1）12−2cos30°+（π+1）0（2）a（a+2）﹣a3÷a．【考点】整式的混合运算；实数的运算．【分析】（1）利用二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，零指数幂计算后再算加减即可；（2）利用单项式乘多项式，同底数幂除法法则计算后再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝23−2×＝23−=3（2）原式＝a2+2a﹣a2＝2a．【点评】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20．（8分）（2025•扬州）解不等式组4x−3≤x3(x+1)＞2x【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：4x−3≤x①3(x+1)＞2x②由①得，x≤1，由②得，x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1．负整数解有：﹣2、﹣1．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）（2025•扬州）为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评委的评分情况如下（单位：分）．表1评委评分数据选手评委评分小红7878777879小丽7768888878表2评委评分数据分析选手平均数中位数众数小红7.5b7小丽a8c根据以上信息，回答下列问题：（1）表2中a＝7.5，b＝7，c＝8；（2）你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由．【考点】众数；算术平均数；中位数．【分析】（1）分别根据平均数，中位数和众数的定义解答即可；（2）根据平均数、众数和中位数的意义解答即可．【解答】解：（1）由题意得：a=3×7+6+6×8b=7+7c＝8，故答案为：7.5，7，8；（2）小丽的成绩较好，理由如下：因为两个人的平均数相同，但小丽的成绩的中位数和众数均高于小红，所以小丽的成绩较好．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数，掌握相关统计量的计算方法是解题的关键．22．（8分）（2025•扬州）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是14（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以得到小明在这4种体育活动中随机选择，选中“乒乓球”的概率；（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可．【解答】解：（1）由题意可得，小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是14故答案为：14（2）树状图如下所示：由上可得，一共有16种等可能性，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的可能性有4种，∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为416【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．23．（10分）（2025•扬州）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的54【考点】分式方程的应用．【分析】设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是54x元，利用数量＝总价÷单价，结合用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，可列出关于x的分式方程，解之可得出x的值（即乙款书签的单价），再将其代入54【解答】解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是54x根据题意得：128x解得：x＝16，经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意，∴54x=答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．（10分）（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（（1）求反比例函数、一次函数的表达式；（2）求△OAB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点A（﹣1，6）代入可得反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得；（2）设一次函数的图象与x轴的交点为点C，先求出点C的坐标，再根据△OAB的面积等于△AOC与△BOC的面积之和即可得．【解答】解：（1）由题意得：将点A（﹣1，6）代入y=kx，得：所以反比例函数的表达式为y=−6将点B（m，﹣2）代入y=−6x可得：∴B（3，﹣2），将点A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝ax+b得：−a+b=63a+b=−2解得a=−2b=4所以一次函数的表达式为y＝﹣2x+4；（2）如图，设一次函数的图象与x轴的交点为点C，将y＝0代入一次函数y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝0，解得x＝2，∴C（2，0），∴OC＝2，由（1）已得：A（﹣1，6），B（3，﹣2），∴△AOC的OC边上的高为|6|＝6，△BOC的OC边上的高为|﹣2|＝2，∴△OAB的面积为S△AOC【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键．25．（10分）（2025•扬州）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长．【考点】菱形的判定与性质；角平分线的定义；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，再根据平行四边形性质得AD∥BC得∠OAE＝∠OCF，由此可依据“ASA”判定△OAE和△OCF全等得EA＝FC，进而得EA＝EC＝FA＝FC，然后根据菱形的判定即可得出结论；（2）（2）证明△CDE和△CBA相似，利用相似三角形的性质即可得出DE的长．【解答】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠OAE＝∠OCF，在△OAE和△OCF中，∠AOE=∠COF=90°OA=OC∴△OAE≌△OCF（ASA），∴EA＝FC，∴EA＝EC＝FA＝FC，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，BC＝5，∴CD＝AB＝3，∠D＝∠B，∵四边形AFCE是菱形，∴∠ACB＝∠ACE，∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠BCA，又∵∠D＝∠B，∴△CDE∽△CBA，∴DEAB∴DE3∴DE=【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，理解平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．26．（10分）（2025•扬州）材料的疏水性扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（2）材料的疏水性随着接触角的变大而变强（选填“变强”“不变”“变弱”）．【实践探索】实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．（3）请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．【创新思考】（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．【考点】圆的综合题．【分析】（1）圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC，分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，∠PMN即为所求；（2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；（3）连接OA，等边对等角，得到∠ABC＝∠OAB，切线的性质，结合等角的余角相等，得到∠BAD＝∠BAC，进而得到∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC即可；（4）可以根据lr=π【解答】解：（1）①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；（2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，故答案为：变强；（3）∠CAD＝2∠BAC，理由如下：连接OA，则：OA＝OB，∴∠ABC＝∠OAB，∵AD为切线，∴OA⊥AD，∴∠OAB+∠BAD＝90°，∵BC⊥AC，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵∠ABC＝∠OAB，∴∠BAD＝∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；（4）∵水滴弧的长度为：l=nπr∴lr∴可以根据lr的大小，进行判断，l【点评】本题考查尺规作图一复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键．27．（12分）（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象（记为G1）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象（记为G2）经过点A，C．直线x＝t与两个图象G1，G2分别交于点M，N，与x轴交于点P．（1）求b，c的值．（2）当点P在线段AO上时，求MN的最大值．（3）设点M，N到直线AC的距离分别为m，n．当m+n＝4时，对应的t值有2个；当m﹣n＝3时，对应的t值有0个；当mn＝2时，对应的t值有4个；当mn=1时，对应的t值有【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先求出A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），再用待定系数法可求b，c的值；（2）由（1）知G2的表达式为y＝x2+4x+3，设P（t，0）（﹣3≤t≤0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3），故MN＝﹣t2﹣2t+3﹣t2﹣4t﹣3＝﹣2t2﹣6t＝﹣2（t+32）2+9（3）作MS⊥AC于点S，RN⊥AC于点R，设MN交AC于点E，如图1所示，由待定系数法可知直线AC的表达式为y＝x+3，则∠CAB＝45°，∠MES＝∠NER＝45°，MS＝m，RN＝n，从而ME=2m，RN=2n，即ME＝NE=，进而得m＝n，①当m+n＝4时，即m＝n＝2，故MN=42，又﹣3≤t≤0时，MNmax=92＜42，那么由图可知当t＜﹣3时或t＞1时，共2种情况满足题意；②当m﹣n＝3时，即m＝n+3，这与m＝n相矛盾，故不成立，对应的t值有0个；③当mn＝2时，由m＝n可知，m＝n=2，故ME④当mn=1时，m＝n恒成立，所以对应的【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1），∴令y＝0，可得x＝﹣3或1，即A（﹣3，0），B（1，0），把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c中，可得c=39−3b+3=0，解得b=4故b的值为4，c的值为3；（2）由（1）知G2的表达式为y＝x2+4x+3，设P（t，0）（﹣3≤t≤0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3），故MN＝﹣t2﹣2t+3﹣t2﹣4t﹣3＝﹣2t2﹣6t＝﹣2（t+32）2即MN的最大值为92（3）作MS⊥AC于点S，RN⊥AC于点R，设MN交AC于点E，如图1所示，由待定系数法可知直线AC的表达式为y＝x+3，∴∠CAB＝45°，∴∠MES＝∠NER＝45°，∵MS＝m，RN＝n，∴ME=2m，NE∵E（t，t+3），∴ME=，NE=，即ME＝NE=，进而可得m＝n，①当m+n＝4时，即m＝n＝2，故MN=42当﹣3≤t≤0时，MNmax=9那么由图可知当t＜﹣3时或t＞1时，共2种情况满足题意，故对应的t值有2个；②当m﹣n＝3时，即m＝n+3，这与m＝n相矛盾，故不成立，对应的t值有0个；③当mn＝2时，由m＝n可知，m＝n=2故ME＝2，∴=2，即t2+3t＝±2，解得t＝﹣2或﹣1或−3−172或故对应的t值有4个；④当mn∵m＝n恒成立，∴对应的t值有无数个．故答案为：2，0，4，无数．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数与坐标轴的交点的求法，二次函数与线段，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，难度不大，注意分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题关键．28．（12分）（2025•扬州）问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况．【从特例开始】（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中∠FAH＝45°．（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE＝PF＝6，