2025高一春季数学教资试卷

2025高一春季数学教资试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=?(A){x|-1<x<1}(B){x|1≤x<2}(C){x|x>-1}(D){x|x<2}2.复数z=(2+i)/i(其中i为虚数单位)的实部是？(A)-1(B)1(C)-2(D)23.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域是？(A)(-∞,1)(B)[1,+∞)(C)(1,+∞)(D)(-1,1)4.给出四个命题：(1)若x²=1,则x=1；(2)若x=1,则x²=1；(3)若x²≠1,则x≠±1；(4)若x≠±1,则x²≠1。其中真命题的个数是？(A)1(B)2(C)3(D)45.已知点A(1,2),B(-3,0),则线段AB的中点坐标是？(A)(-1,1)(B)(-1,-1)(C)(2,1)(D)(1,0)6.若函数f(x)=ax³-3x+1在x=2处取得极值，则实数a的值是？(A)2(B)-2(C)3(D)-37.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a²=b²+c²-bc,则角A的大小是？(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°8.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃=5,S₆=30,则该数列的公差d是？(A)1(B)2(C)3(D)49.若向量u=(1,k),v=(3,-2),且u⊥v(向量垂直)，则实数k的值是？(A)-3/2(B)3/2(C)-6(D)610.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4,则圆心C的坐标和半径r分别是？(A)C(1,-2),r=2(B)C(-1,2),r=4(C)C(1,-2),r=4(D)C(-1,2),r=2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知直线l的倾斜角为45°,且经过点(1,-2)，则直线l的斜率k=_______。12.若tanα=-√3,且α在第二象限，则sinα=_______。13.计算：lim(x→2)(x²-4)/(x-2)=_______。14.在△ABC中，若a=3,b=2,C=60°，则边c的长=_______。15.已知函数f(x)=x²-4x+3,则f(x)在区间[1,4]上的最小值是_______。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x³-3x²+2。(1)求函数f(x)的单调递增区间和单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=3,b=√7,C=60°。(1)求边c的长；(2)求△ABC的面积。18.（本小题满分13分）已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₂=6,S₃=9。(1)求等比数列{aₙ}的首项a₁和公比q；(2)求数列{aₙ}的通项公式aₙ。19.（本小题满分13分）已知复数z=2-3i(其中i为虚数单位)。(1)求复数z的模|z|和辐角主值arg(z)（用反三角函数表示）；(2)求复数z的平方z²。20.（本小题满分13分）已知直线l₁:x-y+1=0和直线l₂:ax+2y-3=0。(1)若直线l₁与l₂平行，求实数a的值；(2)若直线l₁与l₂相交于点P，且点P到原点的距离为√5，求实数a的值。21.（本小题满分14分）设点A(1,0)，点B在直线l:y=x上运动。以AB为一边，在直线l的上方作等边△ABD。(1)求点D的轨迹方程；(2)若过点A作直线m与直线AD垂直，且直线m与点D的轨迹交于M,N两点，求线段MN的长。---试卷答案1.B2.A3.C4.B5.A6.D7.C8.B9.D10.A11.112.-1/213.414.√715.116.(1)函数f(x)的导数f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)>0，得x>2或x<0；令f'(x)<0，得0<x<2。故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。(2)函数在区间[-2,3]上的驻点为x=0,2。计算f(-2)=(-2)³-3(-2)²+2=-8-12+2=-18,f(0)=0³-3(0)²+2=2,f(2)=2³-3(2)²+2=8-12+2=-2。比较f(-2),f(0),f(2)和f(3)=3³-3(3)²+2=27-27+2=2。故最大值为2，最小值为-18。17.(1)由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得c²=3²+(√7)²-2×3×√7×cos60°=9+7-3√7=16-3√7。故c=√(16-3√7)。(2)三角形面积S=(1/2)absinC=(1/2)×3×√7×sin60°=(3√7)/4×(√3/2)=(3√21)/8。18.(1)由a₂=6,S₃=9，得a₁q=6,a₁(1+q+q²)=9。将a₁q=6代入第二个式子，得a₁(1+q+q²)=(6/a₁)+6+6/a₁=9，即6+12/a₁=9，解得a₁=3。将a₁=3代入a₁q=6，得3q=6，解得q=2。(2)由a₁=3,q=2，得通项公式aₙ=a₁qⁿ⁻¹=3×2ⁿ⁻¹=3×2ⁿ⁻¹。19.(1)复数z=2-3i的模|z|=√(2²+(-3)²)=√13。设辐角主值为α，则tanα=(-3)/2=-3/2。由于z位于第四象限，故α=arctan(-3/2)。(2)复数z的平方z²=(2-3i)²=4-12i+9i²=4-12i-9=-5-12i。20.(1)直线l₁:x-y+1=0的斜率k₁=1。直线l₂:ax+2y-3=0的斜率k₂=-a/2。若l₁||l₂，则k₁=k₂，即1=-a/2，解得a=-2。(2)设直线l₁与l₂的交点为P(x₀,y₀)。由x₀-y₀+1=0和ax₀+2y₀-3=0，得x₀-y₀=-1,ax₀+2y₀=3。两式相加，得(a+1)x₀=2，即x₀=2/(a+1)。代入x₀-y₀=-1，得2/(a+1)-y₀=-1，解得y₀=(2+a)/(a+1)。点P到原点的距离√(x₀²+y₀²)=√((2/(a+1))²+((2+a)/(a+1))²)=√(4/(a+1)²+(4+4a+a²)/(a+1)²)=√((8+4a+a²)/(a+1)²)=√((a+2)²/(a+1)²)=|(a+2)/(a+1)|。由题意|(a+2)/(a+1)|=√5，两边平方得(a+2)²/(a+1)²=5。开方得|a+2|/|a+1|=√5。解得a+2=√5(a+1)或a+2=-√5(a+1)。分别解得a=(2-√5)/(√5-1)或a=(2+√5)/(√5+1)。化简得a=(2-√5)(√5+1)/(4-5)或a=(2+√5)(√5-1)/(4-5)。即a=(-2√5-2+5)/(-1)或a=(2√5-2+5)/(-1)。即a=(3-2√5)或a=(-3-2√5)。故a=3-2√5或a=-3-2√5。21.(1)设点B(x₀,x₀)，点D(x,y)。由等边三角形的性质，知AB=AD,∠BAD=60°。点A(1,0)，向量AB=(x₀-1,x₀)，向量AD=(x-1,y)。由|AB|=|AD|，得√((x₀-1)²+x₀²)=√((x-1)²+y²)，平方得(x₀-1)²+x₀²=(x-1)²+y²。由∠BAD=60°，得cos60°=((AB·AD)/(|AB||AD|))=((x₀-1)(x-1)+x₀y)/((x₀-1)²+x₀²)。将(x₀-1)²+x₀²=(x-1)²+y²代入，得(x-1)²+y²=((x₀-1)(x-1)+x₀y)/2。又由向量叉积，得2sin60°|AB|²=2√3|AB|²=|AB|²=x₀²+1-2x₀=y²。将x₀²=y²+2x₀-1代入(x₀-1)²+x₀²=(x-1)²+y²，得(y²+2x₀-1-1)+y²+2x₀-1=(x-1)²+y²。整理得4x₀-3=(x-1)²。故x₀=((x-1)²+3)/4。代入x₀²=y²+2x₀-1，得((x-1)²+3)²/16=y²+2((x-1)²+3)/4-1。整理得((x-1)²+3)²=16y²+8(x-1)²+24-16。整理得(x-1)²+8=16y²。即(x-1)²=16y²-8。两边同时除以8，得(x-1)²/8=2y²-1。故点D的轨迹方程为(x-1)²/8=2y²-1。整理得(x-1)²-16y²=-8。(2)直线AD的斜率k_AD=(y-0)/(x-1)=y/(x-1)。由m⊥AD，得m的斜率k_m=-1/(y/(x-1))=-(x-1)/y。直线m的方程为y-0=-(x-1)/y(x-1)。即y(x-1)=-(x-1)/y。代入点D的轨迹方程(x-1)²-16y²=-8，得y²(x-1)²-16y⁴=-8。整理得y²(x-1)²+8=16y⁴。令t=y²，得t(x-1)²+8=16t²。整理得16t²-t(x-1)²-8=0。由根与系数关系，设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)，则y₁+y₂=(x-1)²/16，y₁y₂=-1/2。线段MN的长|MN|=√((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²)。由(x₁