江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试数学试题解析版

江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求1.设,则集合中元素的个数为A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】,共6个元素.2.已知复数满足，则等于A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】.3.若为抛物线上一点,则点到其焦点的距离为A.4 B.5 C. D.6【答案】B【解析】在抛物线上，，，到焦点的距离.4.已知函数为奇函数,则的值为A.0 B.-2 C.2 D.1【答案】C【解析】为奇函数,则.5.已知第一组数据的平均数为,方差为,第二组数据的平均数为,方差为,则A. B. C. D.【答案】A【解析】一组数据加上平均数后,平均数不变,方差变小.6.函数在区间上的零点个数为A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】画作与的图象,两个函数共有4个交点.7.在无穷正项等差数列中,记为数列的前项和,则“”是“数列是等差数列”的A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】当时,则是等差数列,充分;当是等差数列时,,是等差数列的前项和,而,,必要.8.已知双曲线的左、右焦点为为双曲线的右支上一点,直线与左支交于点,且的平分线与轴交于点,则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】方法一:为角平分线,,,,,.方法二:由角平分线条件,又,令,则.又共线且,若在上,则与矛盾在线段上,,又联立为正三角形,,且与同线.在中,.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有A. B.C.与的夹角为 D.存在,使得【答案】ABD【解析】,对.对.与夹角为,D对.10.已知直线与圆相交于两点,则下列结论正确的有A.直线过一定点B.直线与圆相切C.点到的最大距离为D.的面积恒小于8【答案】BC【解析】直线不可能过定点,错.圆,圆心,半径2,直线直线与相切,对.到直线距离对.即时,，D错.11.对于等式,如果将视为自变量视为常数,记为,那么为幂函数;如果将视为常数,视为自变量记为,那么为指数函数;如果将视为自变量记为,那么称为幂指函数.关于函数,下列结论中正确的有A.函数在上单调递增B.函数有最小值C.当时,方程无实根D.当时,函数有两个极值点【答案】BCD【解析】令在单调递减,单调递增,即在单调递减单调递增,错.对.时,无实根,对.对于时,,在单调递增,有且仅有一个零点且在单调递减,单调递增,如图有两个零点,有两个极值点,D对,选BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知等比数列的前项和为,且.若,则________.【答案】4【解析】.13.已知函数在上单调递减，则整数的可能取值为_______(答案不唯一,只需写出满足条件的一个值).【答案】可取任何一个【解析】在恒成立,可取任何一个.14.圆柱的轴截面为为下底面圆的直径，.点为下底面圆周上的一点,平面与上底面的交线为,若四边形为正方形，则四棱锥的体积为________.【答案】【解析】方法一:如图建系,设平面的法向量不妨设,则,①为正方形,,,,④⑤,由①②③④⑤解得为矩形,到平面距离.方法二:,设四边形为正方形,,.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.记内角的对边分别为,已知(1)求；(2)若，求边上的高.【解析】(1).(2)边上的高.16.在平面直角坐标系中，已知，平面内一动点满足成等差数列,记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点的直线交曲线于两点.①若点的坐标为，求线段的长；②若的面积是面积的3倍，求直线的方程.【解析】(1)成等差数列，的轨迹为椭圆且曲线的方程为.(2)①当时，，直线方程为.②，设，①设直线方程为且由,代入③直线的方程为.17.如图，已知多面体中，平面，，底面为正方形.(1)求证:平面平面；(2)若，且平面与平面所成角的余弦值为.①式线段的长；②线段上是否存在点,使得平面平面,且满足平面.若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.【解析】(1)证明:平面，，又，平面平面平面平面.(2)①如图建系，设，，，,设直线的一个法向量而平面的一个法向量.②设，当时，由，延长延长线于点,此时,若平面,而,此时,舍去当时,仿上,也舍当时,交线平面符合,为上靠近的三等分点.18.某地文旅部门为了解天气状况对某景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天在该景点调查了200位游客，调查结果如下表.满意不满意合计晴天80阴雨天40合计140200(1)完善上述表格，并判断能否有99%的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响;(2)从这200位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们对该景点均满意的概率；(3)当地天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息:若第1天为晴天,则第2天为晴天的概率为,为阴雨天的概率为;若第1天为阴雨天,则第2天为阴雨天的概率为,为晴天的概率为.已知第1天是晴天,求第天仍是晴天的概率,并求前天晴天的天数的期望.附录:.0.0100.0050.0016.6357.87910.828【解析】(1)2×2列联表如下:满意不满意合计晴天8020100阴雨天6040100合计14060200有的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响.(2)记事件为两个调查当天的天气状况一致，事件为他们对该景点均满意(3)由题意知成首项为,公比为的等比数列某一天要么是晴天,要么是雨天,它符合两点分布记第天为，且.19.已知函数,直线与曲线相切.(1)求的值；(2)若对任意，存在，使得不等式成立,求的最大值;(3)若，求证:对任意，有.【解析】(1)设切点为(2)对使先处理3,固定住使之成立,即成立只需即可!再处理,即