第23讲　圆的有关概念与性质-2026年中考数学复习课件

第六章圆第23讲圆的有关概念与性质(5年4考)知识梳理夯基础知识点一圆的有关概念及性质知识梳理圆心圆在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径弦连接圆上任意两点的线段直径经过

的弦

弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆

于半圆的弧叫做优弧;

于半圆的弧叫做劣弧

等圆能够重合的两个圆等弧在同圆或

中,能够互相

的弧

弦心距(拓展)从圆心到弦的距离小大等圆重合圆是轴对称图形,任何一条

所在直线都是圆的对称轴.圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.把圆绕圆心旋转任意角度,所得图形都和原图形重合.

直径针对训练1.如图所示,点A,B,C,D在☉O上,AB是☉O的直径.(1)写出图中的弦:

;

(2)☉O中最长的弦是

,写出☉O的半径:

;

(3)写出图中的劣弧:

;

(4)写出弦BC所对的弧:

;

(5)弦BC所对的圆心角是

,

圆周角是

;

(6)☉O的对称轴是

.

AC,BC,ABABOA,OB,OC,OD∠BOC∠BAC直径AB所在的直线(答案不唯一)知识点二垂径定理及其推论知识梳理定理垂直于弦的直径

弦,并且

弦所对的两条弧

推论平分弦(不是直径)的直径

于弦,并且平分弦所对的两条弧

定理与推论的延伸弦的垂直平分线经过

,并且平分弦所对的弧;

平分弦所对的一条弧的直径,

弦,并且平分弦所对的另一条

平分平分垂直圆心垂直平分弧2.定理及推论辨析如图所示,AB是☉O的弦,弦CD交AB于点P,CD=6cm.针对训练3⊥⊥3知识点三弧、弦、圆心角1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧

,所对的弦也

.

2.推论:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余两组量分别对应

.

知识梳理相等相等相等温馨提示应用定理时,一定要注意“在同圆或等圆中”这个条件,同时要特别注意一条弦对应两条弧.针对训练3.串题练透考点如图所示,AB是☉O的直径.(2)若CE=BD,∠EOD=32°,则∠COB=

;

(3)若∠AOD=∠BOE,BD=4,则AE的长是

.

66°32°4知识点四圆周角定理及其推论1.圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角

,等于它所对的圆心角的

.

2.推论:(1)半圆或直径所对的圆周角是

;

(2)90°的圆周角所对的弦是

.

知识梳理相等一半直角直径3.常见图形及结论图形:4.如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦.(1)∠ADB的度数为

;

(2)若∠ACD=36°,则∠ABD的度数为

,∠BAD的度数为

.

针对训练90°36°54°5.[人教九上P88练习T3变式]如图所示,OA,OB,OC都是☉O的半径,∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠BAC.证明:∵∠AOB=2∠ACB,∠BOC=2∠BAC,且∠AOB=2∠BOC,∴2∠ACB=4∠BAC,即∠ACB=2∠BAC.知识点五圆内接四边形1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆;2.圆内接四边形的对角

.

3.拓展:圆内接四边形的一个外角等于其内对角,如图所示,∠C=∠DAE.知识梳理互补针对训练6.如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠BOD=100°,则∠BAD=

,∠BCD=

.

50°130°7.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,它的一个外角∠EBC=65°,分别连接AC,BD,若AC=AD,则∠DBC的度数为()A.50° B.55° C.65° D.70°A重难突破提能力考点1垂径定理及其推论典例1(2025中山模拟)如图(1)所示,平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿,主要用来盛液体物质,可以轻度受热.如图(2)所示,它的截面图可以近似看作是由☉O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形,其中BC∥MN,若☉O的半径为25mm,AB=36mm,BC=14mm,MN=30mm,求该平底烧瓶的高度.解:如图所示,连接OB,OM,过点O作EF⊥BC,交BC于点E,交MN于点F,∵BC∥MN,∴EF⊥MN.∴EF平分BC,MN.由条件可知BE=7mm,MF=15mm,∵☉O的半径为25mm,AB=36mm,即时训练CA.50cm B.30cm C.25cm D.15cm2.如图所示,小区内有个圆形花坛O,点C在弦AB上,AC=11,BC=21,OC=13,则这个花坛的面积为

(结果保留π).

400π3.如图所示,已知☉O的直径AB⊥弦CD于点E,连接CO,并延长交AD于点F,CF平分AD.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦(1)求∠A的度数;解:(1)∵CF过圆心O,且平分AD,∴CF⊥AD,即∠AFO=90°.∴∠A+∠AOF=90°.∵AB⊥CD,∴∠CEO=∠AED=90°.∴∠C+∠COE=90°.∵∠AOF=∠COE,∴∠A=∠C.如图所示,连接OD,则∠A=∠ODA,∠C=∠ODC,∴∠A=∠ODA=∠ODC.又∵∠A+∠ODA+∠ODC=90°,∴∠A=30°.(2)若OE=1,求CD的长.考点2圆周角定理及其推论(5年4考)典例2(2025广州模拟)如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作☉O,交BC于点D,交CA的延长线于点E,连接AD,DE.直径所对的圆周角是直角(1)求证:BD=CD;(1)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵AB=AC,∴BD=CD.(2)若AB=10,AD=6,求DE的长.∵BD=CD,∴CD=8.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B=∠E,∴∠C=∠E.∴DE=DC=8.即时训练4.(2023广东)如图所示,AB是☉O的直径,∠BAC=50°,则∠D等于()A.20° B.40° C.50° D.80°B5.如图所示,AB为☉O的直径,CD,AB交于点E,E为弦CD的中点,若∠BAD=30°,且BE=2,则BC的长是

.

46.(2022广东T22,12分)如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,∠ADB=∠CDB.直径所对的圆周角是直角,直径AC对着两个圆周角,注意结合题目进行选择(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;规范解答解:(1)△ABC是等腰直角三角形.…………1分证明如下:∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.………2分7.如图所示,在正n边形中,∠1=20°,则n的值是()全国视野拓思维B如图所示,设正n边形的中心为点O,∠AOB为中心角,将正n边形看成一个圆A.16 B.18 C.20 D.36B9.“筒车”是一种以水流作动力,取水灌田的工具,据史料记载,它发明于隋而盛于唐,距今已有1000多年的历史,是我国古代劳动人民的一项伟大创造.如图所示,“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O在水面上方,且当圆被水面截得的弦AB为6m时,水面下盛水筒的最大深度为1m(即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离).(1)求该圆的半径.解:(1)如图所示,过点O作OD⊥AB,