2025-2026九上数学【特殊平行四边形】期末专项训练（含答案）

2025-2026九上数学【特殊平行四边形】期末专项训练题型一矩形、正方形性质理解（共3小题）1．（23-24九年级上·四川成都·期末）下列命题中，正确的是（

）A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组邻边相等的四边形是菱形C．平行四边形的对角线互相平分且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（22-23九年级上·天津和平·期末）如图，在正方形所在的平面内求一点，使，，，都是等腰三角形，具有这性质的点有个．题型二利用菱形的性质求值（共7小题）4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（

）A． B． C． D．5．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（）A． B．6 C． D．126．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在菱形中，若对角线，，则菱形的面积为（

）A．10 B．24 C．40 D．487．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若菱形的两条对角线的长分别为6，，则菱形的面积为．8．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，是菱形的对角线，若，则的度数为．9．（24-25九年级上·广东茂名·期末）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．圆圆家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，则该菱形的边长为．10．（24-25九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，求的度数．题型三利用菱形的性质证明（共2小题）11．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知四边形是菱形，相交于点O，下列结论正确的是（

）A． B．菱形的面积等于C．平分 D．若，则四边形是正方形12．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在菱形中，E、F分别是和的中点，连接、．求证：．题型四菱形的证明（共5小题）13．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（

）A． B．平分C．， D．14．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，与关于公共顶点O成中心对称，连接，，添加一个条件，使四边形为菱形．15．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，有下列条件：，②．(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形；(2)在（1）的条件下，若，求四边形的周长．16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，，对角线平分．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求菱形的周长．17．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．题型五根据菱形的性质与判定求值（共4小题）18．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（

）A．6cm B． C． D．19．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则°．20．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求四边形的面积．21．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）周末，小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形是一个菱形内框架，四边形是其外部框架，且点、、、在同一直线上，．(1)求证：四边形外框是菱形；(2)若外框的周长为，，，求的长．题型六利用矩形的性质求值（共6小题）22．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（

）A． B． C． D．23．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（）A． B． C． D．24．（23-24九年级上·四川成都·期末）在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是．25．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为．26．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形，旋转过程中，菱形周长的最小值是，菱形周长的最大值是．27．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，在矩形中，，动点M从点A开始沿边以的速度运动，动点N从点C开始沿边以的速度运动，点M和点N同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为，则当为何值时，四边形是矩形？题型七利用矩形的性质证明（共4小题）28．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（

）A． B． C． D．29．（24-25九年级上·广东清远·期末）矩形各边中点构成的四边形是．30．（23-24九年级下·陕西汉中·期末）如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形．31．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：．题型八矩形的证明（共4小题）32．（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（

）

A． B．C． D．33．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件，使为矩形．34．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为．（填一个即可）35．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，．(1)求证：四边形是矩形：(2)若，，求四边形的面积．题型九根据矩形的性质与判定求值（共4小题）36．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．537．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（

）A．24 B．36 C．48 D．6038．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点(不与点A，B重合)，作于点E，于点F，若点P是的中点，则长度的最小值是．39．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，．(1)求证：是菱形；(2)若，，求的长．题型十根据正方形的性质求值（共5小题）40．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（

）A． B． C． D．41．（24-25九年级上·广东·期末）在正方形中，边长，为中点，为上一点，且垂直平分交于点，则的长度为（

）A． B． C． D．42．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到设的面积分别为，如此下去，则的值为（

）A． B． C． D．101243．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，正方形的边在正六边形的边上，则度．

44．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，，作交延长线于点，则的长为．题型十一根据正方形的性质与判定证明（共2小题）45．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（

）A．5 B．8 C．12 D．246．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图，正方形的对角线，相交于点O，点M是边上一点，连接，过点O作，交于点N，若正方形的边长为2，则四边形的面积是．题型十二正方形的证明（共6小题）47．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）四边形中，、相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A．，， B．，C．， D．，，48．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，、是对角线上的动点，且，、分别是边，上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个49．（23-24九年级上·全国·期末）在四边形中，对角线，交于点，，添加一个条件使四边形是正方形，那么所添加的条件可以是（写出一个即可）50．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是正方形；(2)若，求的长．（用含的代数式表示）51．（22-23九年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片折出一个以为内角的菱形吗？石雨的折法如下：第一步，折出的平分线，交于点D，第二步，折出的垂直平分线，分别交、于点E、F，把纸片展平，第三步，折出、，得到四边形，(1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形是菱形；(2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．52．（22-23九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O．(1)若，求证：矩形是正方形；(2)请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由．题型十三根据正方形的性质与判定求值（共3小题）53．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形纸片中，，．现将其沿对折，使得点在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（

）A． B． C． D．54．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是．55．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接．(1)求证：四边形是正方形；(2)若，求的长．题型十四中点四边形（共3小题）56．（23-24九年级上·全国·期末）一个四边形的中点四边形是矩形，则这个四边形可能是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形57．（23-24九年级上·全国·期末）如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，则四边形EFGH为．58．（22-23九年级上·山西太原·期末）如图，在中，点M和N分别在边和上，，连接，点D，E，F，G分别是的中点．求证：四边形是菱形．题型十五作图题（共4小题）59．（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．(1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F；(2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接．60．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点．线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列作图．(1)在图①中，在线段上找到一点，使；(2)在图②中，画出一个四边形，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且为格点．61．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在四边形中，，是对角线．(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹）(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．62．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在正方形中，点M，N分别是边，上的点，且，线段，相交于点E．(1)请用无刻度的直尺和圆规过点B作的垂线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）中所作图形，判断四边形的形状，并说明理由．题型十六折叠问题（共6小题）63．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段AF长为（

）A．2 B．1 C． D．64．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，则下列结论：若，则；若点与点重合，则；若，则；若，则；其中，正确的有（

）A． B． C． D．65．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是．66．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点，若，则．67．（23-24九年级上·河南南阳·期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．【猜想】的数量关系；【证明】请你证明上面的猜想；【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．（1）猜想与的数量关系，并证明；（2）若，，求的长．68．（23-24九年级上·吉林长春·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动．【操作】：操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结．【探究】：（1）如图①，当点在上时，______．（2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由．【应用】：若正方形纸片的边长为，当时，的长为______．题型十七旋转问题（共9小题）69．（23-24九年级上·广东·期末）如图①，矩形的边，，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点．数学思考：（1）填空：图①中__________；（用含的代数式表示）深入探究：（2）如图②，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：．70．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．71．（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上．(1)如图①，点B的坐标为，点C的坐标为；(2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形，A，B，C的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交x轴于点D，与y轴交于点E．①如图②，当时，点的坐标为，点E的坐标为；②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围．72．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小；【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积；【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长.73．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）综合与探究：如图①，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接．【证明结论】（）求证：四边形是正方形；【解决问题】（）如图①，若，求的面积；【问题探究】（）如图②，若，求证：点是的中点．74．（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上．(1)如图①，点B的坐标为，点C的坐标为；(2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形，A，B，C的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交x轴于点D，与y轴交于点E．①如图②，当时，点的坐标为，点E的坐标为；②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围．75．（22-23九年级上·辽宁辽阳·期末）已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．（1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系；【模型应用】（2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；【模型迁移】（3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长．76．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为4，点是边的中点，点为边上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、．(1)线段的长为；(2)当点运动到边中点时，求线段的长；(3)当时，求线段的长；(4)连接，当度时，线段的长取得最小值，此时，．77．（24-25九年级上·广东东莞·期末）【探究与证明】活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．【问题情境】如图①，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点．【猜想证明】从特殊到一般(1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案）(2)如图②，当时，连接，求此时的面积；(3)如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明；(4)当点F，E，D三点共线时，请求出此时的长度．题型十八动点问题（共5小题）78．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点．(1)求直线的解析式；(2)若点从出发以2个单位秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以1个单位秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的猜想；(3)在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点P运动的时间；如果不能，请说明理由．79．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，在矩形中，，，动点，均以每秒个单位长度的速度分别从点，点同时出发，其中点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．运动时间为秒，的面积为．(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；(2)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出的面积大于时的取值范围．80．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平行四边形中，，，为边上的一动点，动点从点出发，沿着的方向，以每秒个单位的速度向点运动，设运动时间为秒，作点关于直线的对称点．(1)当点在中点处，且在线段上时，若与四边形重叠部分为直角三角形，求的值；(2)若点与点同时从点出发，点在线段上，以每秒个单位的速度向点运动，记线段与线段的交点为，设的面积为，求与的函数表达式．81．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，当点停止运动时，点也随之停止运动．作点关于的对称点，连接、，以、为邻边构造．设点运动时间为秒．(1)用含的代数式表示线段的长；(2)当为矩形时，求的长；(3)当点在边上运动且的面积被分成：两部分时，求的值；(4)连接，当与的一边平行或垂直时，直接写出的值．82．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为(1)当秒时，的值是多少？(2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围；(3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由．参考答案：题型一矩形、正方形性质理解DC9题型二利用菱形的性质求值

4.C

5.A

6.B

7.

8./70度

9.13

10.123°题型三利用菱形的性质证明

11.C

12.证明：四边形是菱形，，、分别是和的中点，，，，又，，．题型四菱形的证明

13.C

14.

AD=ABAD=AB（答案不唯一）

15.（1）（1）选①作为条件证明：如图，在四边形中∵，∴四边形是平行四边形∵∴四边形是菱形选②作为条件证明：如图，在四边形中∵，分∴四边形是平行四边形∵∴四边形是菱形（2）解：由（1）知：四边形是菱形∴且与互相平分∴，在中，，由勾股定理得：∴四边形的周长为：

16.（1）证明：对角线平分，，，，，，又，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；（2）周长为

20

17.（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．∵AE=CF，∴OA+AE=OC+CF，即OE=OF．∴四边形AECF是平行四边形．∵AC⊥EF，∴四边形EBFD是菱形．（2）面积为

120题型五根据菱形的性质与判定求值

18.C

19.25

20.（1）解：，，，平分，平分，，，，，，，，∵，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）面积为

24

21.（1）证明：四边形是菱形，，，，，，，，，在和中，，，同理可证：，，，在和中，，，，四边形是菱形；（2）30题型六利用矩形的性质求值

22.C

23.B

24.

25.50°

26.12；20

27.

t=4题型七利用矩形的性质证明

28.C

29.菱形

30.解：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形，∴，即，∴平行四边形是矩形．

31.证明：四边形是矩形，，，，，，，在和中，，．题型八矩形的证明

32.D

33.

或（或或或）（答案不唯一）

34.

或（答案不唯一）35.（1）证明：，，，又平分，平分，，，，，，，，点是的中点，，∴四边形是平行四边形∵∴四边形是矩形；（2）面积为题型九根据矩形的性质与判定求值

36.A

37.C

38.

1.2

39.（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形．，∴平行四边形是矩形，，∴，∴是菱形；（2）题型十根据正方形的性质求值

40.A

41.B

42.B

43.30°

44.10题型十一根据正方形的性质与判定证明

45.A

46.1题型十二正方形的证明

47.C

48.C

49.

AB=AD

50.（1）证明：∵的垂直平分线交于，交于，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴四边形是矩形，（2）a

51.（1）解：图形如图所示：理由：∵是的平分线，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴．同理，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是菱形．（2）当

△ABC

为直角三角形且

∠BAC=90∘

时，四边形

AEDF

是正方形

52.（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴矩形是正方形；（2）条件：AB=AD（答案不唯一）题型十三根据正方形的性质与判定