陕西省汉中市重点中学2026届高二上数学期末预测试题含解析

陕西省汉中市重点中学2026届高二上数学期末预测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线的一个方向向量为，则它的斜率为（）A. B.C. D.2．已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.3．人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（）A. B.C. D.4．设太阳光线垂直于平面，在阳光下任意转动棱长为一个单位的立方体，则它在平面上的投影面积的最大值是（）A.1 B.C. D.5．已知函数，则函数在点处的切线方程为（）A. B.C. D.6．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为9，则点P的纵坐标为（）A. B.C.6 D.77．已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件8．下列抛物线中，以点为焦点的是（）A. B.C. D.9．已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.10．已知函数，的导函数，的图象如图所示，则的极值情况为（）A.2个极大值，1个极小值 B.1个极大值，1个极小值C.1个极大值，2个极小值 D.1个极大值，无极小值11．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（）A B.C. D.12．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为a，b，则直线到原点的距离不超过1的概率是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆心在x轴上且过点的一个圆的标准方程可以是______14．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为_______.15．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面所成角的正弦值为______16．已知数列的前项和为，，则___________，___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为.如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：年龄/人数长期潜伏非长期潜伏50岁以上6022050岁及50岁以下4080（1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天，请用概率知识解释其合理性；（ii）以题目中的样本频率估计概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，则，，.18．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限（单位：年）1234567失效费（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费参考公式：相关系数线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，参考数据：，，19．（12分）2017年5月27日当今世界围棋排名第一的柯洁在与的人机大战中中盘弃子认输，至此柯洁与的三场比赛全部结束，柯洁三战全负，这次人机大战再次引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.（1）请根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？非围棋迷围棋迷合计男女1055合计（2）为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛，首轮该校需派两名学生出赛，若从5名学生中随机抽取2人出赛，求2人恰好一男一女的概率.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知椭圆()与椭圆的焦点相同，且椭圆C过点（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A，B，且，(O为坐标原点)，若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；（3）P是椭圆C上异于上顶点，下顶点的任一点，直线，，分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值21．（12分）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔．某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生（1）若从中挑选2名志愿者，求入选者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，那么现将6人分为A、B两组进行滑雪项目相关知识及志愿者服务知识竞赛，共赛10局．A、B两组分数（单位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139从统计学角度看，应选择哪个组更合适？理由是什么？22．（10分）某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直图（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据的方向向量求得斜率.【详解】且是直线的方向向量，.故选：A2、D【解析】由可得直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解【详解】由题意，故为直角三角形，，又，，又为直角三角形，故，，即，.故选：D.3、C【解析】由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由于每一个圆弧为四分之一圆，从而可求出下一段圆弧所以圆的圆心，进而可得其方程【详解】解：由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由题意可知下一段圆弧过点，因为每一段圆弧的圆心角都为90°，所以下一段圆弧所在圆的圆心与点的连线平行于轴，因为下一段圆弧半径为13，所以所求圆的圆心为，所以所求圆的方程为，故选：C4、C【解析】确定正方体投影面积最大时,是投影面与平面AB'C平行，从而求出投影面积的最大值.【详解】设正方体投影最大时，是投影面与平面AB'C平行，三个面的投影为两个全等的菱形，其对角线为，即投影面上三条对角线构成边长为的等边三角形，如图所示，所以投影面积为故选：C5、C【解析】依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程即可解决.【详解】则，又则函数在点处的切线方程为，即故选：C6、D【解析】设出P的纵坐标，利用抛物线的定义列出方程，求出答案.【详解】由题意得：抛物线准线方程为，P点到抛物线的焦点的距离等于到准线的距离，设点纵坐标为，则，解得：.故选：D7、C【解析】根据充要条件的定义进行判断【详解】解：因为函数为增函数，由，所以，故“”是“”的充分条件，由，所以，故“”是“”的必要条件，故“”是“”的充要条件故选：C8、A【解析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程.【详解】∵抛物线为，∴可设抛物线方程为，∴即，∴抛物线方程为，故选：A.9、C【解析】利用向量数量积的定义及运算性质逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A：因为，所以，故选项A错误；对B：因为，故选项B错误；对C：因为，故选项C正确；对D：因为，故选项D错误故选：C.10、B【解析】根据图象判断的正负，再根据极值的定义分析判断即可【详解】由，得，令，由图可知的三个根即为与的交点的横坐标，当时，，当时，，即，所以为的极大值点，为的极大值，当时，，即，所以为的极小值点，为的极小值，故选：B11、A【解析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.【详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，四边形ABCD的面积，当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，设，则，，直线BD方程为，同理得：，则有，当且仅当，即或时取“=”，而，所以四边形ABCD面积最小值为.故选：A12、C【解析】先由条件得出a，b满足，得出满足的基本事件数，再求出总的基本事件数，从而可得答案.【详解】直线到原点的距离不超过1，则所以当时，可以为5，6当时，可以为4，5，6当时，可以为4，5，6当时，可以为2，3，4，5，6当时，可以为1，2，3，4，5，6当时，可以为1，2，3，4，5，6满足的共有25种结果.将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为a，b，共有种结果所以满足条件的概率为故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】确定x轴上一个点做圆心，求出半径，再写出圆的标准方程即可.【详解】以x轴上的点为圆心，则半径，所以圆的标准方程为：.故答案为：14、【解析】根据判断出四边形为平行四边形，由此求得圆的方程以及的长，进而判断出点在圆上，根据圆与圆的位置关系，求得的取值范围.【详解】四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，所以圆的方程为，且ON为△ABM的中位线AM＝2ON＝2AO1＝3，故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：，故与x2＋y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，由，解得，故a的取值范围为(，4).故答案为：【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.15、【解析】作图，考虑底面是正三角形，按照线面夹角的定义构造直角三角形即可.【详解】依题意，作图如下，取的中点G，连结，∵是正三角形，∴，，又∵是正三棱柱，∴底面，∴，即平面，，与平面的夹角=，在中，，故答案为：.16、①.②.【解析】第一空：由，代入已知条件，即可解得结果；第二空：由与关系可推导出之间的关系，再由递推公式即可求出通项公式.【详解】，可得由，可知时，故时即可化为又故数列是首项为公比为2的等比数列，故数列的通项公式故答案为：①；②三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）有；（2）（i）答案见解析；（ii）250.【解析】（1）根据列联表中的数据，利用求得，与临界表值对比下结论；（2）(ⅰ)根据，利用小概率事件判断；(ⅱ)易得一个患者属于“长潜伏期”的概率是，进而得到，然后判断其单调性求解.【详解】（1）依题意有，由于，故有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）(ⅰ)若潜伏期，由，得知潜伏期超过天的概率很低，因此隔离天是合理的；(ⅱ)由于个病例中有个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，于是，则，，当时，；当时，；∴，.故当时，取得最大值.【点睛】方法点睛：利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率18、（1）答案见解析；（2）；失效费为6.3万元【解析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数可得结果；（2）根据公式求出和可得关于的线性回归方程，再代入可求出结果.【详解】（1）由题意，知，，∴结合参考数据知：因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系（2）∵，∴∴关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程得万元，∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元19、(1)没有95%把握认为“围棋迷”与性别有关.(2).【解析】（1）由频率分布直方图求得频率与频数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据分层抽样原理，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【详解】（1）由频率分布直方图可知，所以在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而列联表如下非围棋迷围棋迷合计男301545女451055合计7525100因为，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.（2）由（1）中列联表可知25名“围棋迷”中有男生15名，女生10名，所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5名学生中，有男生3名，记为，有女生2名，记为.则从5名学生中随机抽取2人出赛，基本事件有：，，，，，，，，，，共10种；其中2人恰好一男一女的有：，，，，，，共6种；故2人恰好一男一女的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图、独立性检验和列举法求概率的应用问题，是基础题20、（1）；（2）存在，；（3）证明见解析，定值2【解析】(1)根据已知条件，用待定系数解方程组即可得到C的方程；(2)设出AB的方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，代入由确定方程内即可得到结果；(3)设P点坐标，求出M和N坐标，设出圆G的圆心坐标，求得圆的半径，由垂径定理求得切线长|OT|，结合P在椭圆上可证|OT|为定值﹒【小问1详解】设椭圆C的方程为将点代入椭圆方程有点解得，(舍)∴椭圆的方程为；【小问2详解】设，当AB斜率存在时，设，代入，整理得，由得，即，由韦达定理化简得，即，设存在圆与直线相切，则，解得，∴圆的方程为；又若AB斜率不存在时，检验知满足条件，故存在圆心在原点的圆符合题意；【小问3详解】如图：，，设，直线，令，得；直线，令，得；解法一：设圆G的圆心为，则，，，而，∴，∴，∴，即线段OT长度为定值2解法二：，而，∴，∴由切割线定理得．∴，即线段OT的长度为定值221、（1）（2）答案见详解【解析】(1)：把4名男生和2名女生编号后用列举法写出任选2名的所有基本事件，同时可得出，两人是一男一女的基本事件，计数后可计算概率；(2)：求出两组数据的均值和方差，比较可得【小问1详解】设4名男生分别用A，B，C，D表示：2名女生分别用1，2表示.基本事件为：，，，，，，，，，，，，共15种，所以所求概率为；【小问2详解】A组数据的平均数，B组数据的平均数，A组数据的方差，B组数据的方差，所以选择A队．理由：A、B两队平均数相同，且，A组成绩波动小22、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.【解析】（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1求解.

（2）根据频率分布直方图，得到成绩不低于60分的频率，再根据该校高一年级共有学生640人求解.

（3）由频率分布直方图得到成绩在[40，50)和[90，100]分数段内的人数，先列举出从数