2026届吉林省吉化第一高级中学数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析

2026届吉林省吉化第一高级中学数学高二上期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，若直线上存在点P，满足，则l的倾斜角的取值范围是（）A. B.C D.2．随着城市生活节奏的加快，网上订餐成为很多上班族的选择，下表是某外卖骑手某时间段订餐数量与送餐里程的统计数据表：订餐数/份122331送餐里程/里153045现已求得上表数据的回归方程中的值为1.5，则据此回归模型可以预测，订餐100份外卖骑手所行驶的路程约为（）A.155里 B.145里C.147里 D.148里3．函数的图像大致是（）A. B.C. D.4．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（）A.B.C.D.5．已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-26．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为A. B.1C. D.8．已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（）A. B.2C. D.9．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（）A.或 B.C.或 D.11．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A. B.C. D.12．设，则“”是“直线与直线”平行的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知曲线在处的切线方程为，则________14．已知，用割线逼近切线的方法可以求得___________.15．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解是__________.16．已知抛物线的焦点与的右焦点重合，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线C：的焦点为F，为抛物线C上一点，且（1）求抛物线C的方程：（2）若以点为圆心，为半径的圆与C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于D，E两点，若，证明直线DE过定点18．（12分）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了若干户居民去年一年的月均用电量（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计月均用电量的众数；（2）求a的值；（3）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，月均用电量不高于平均数的为第一档，高于平均数的为第二档，已知某户居民月均用电量为，请问该户居民应该按那一档电价收费，说明理由.19．（12分）双曲线（，）的离心率，且过点.（1）求a，b的值；（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.20．（12分）在①，②，③，，成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列中，公差不等于的等差数列满足_________，求数列的前项和.21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值.22．（10分）如图，在几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，，且，是的中点（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果.【详解】对直线，变形为，故其恒过定点，若直线存在点P，满足，只需直线与线段有交点即可.数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最大值，此时，对应倾斜角；当直线过点时，其斜率取得最小值，此时，对应倾斜角为.根据斜率和倾斜角的关系，要满足题意，直线的倾斜角的范围为：.故选：A.2、C【解析】由统计数据求样本中心，根据样本中心在回归直线上求得，即可得回归方程，进而估计时的y值即可.【详解】由题意：，，则，可得，故，当时，.故选：C3、B【解析】由导数判断函数的单调性及指数的增长趋势即可判断.【详解】当时，，∴在上单调递增，当时，，∴在上单调递减，排除A、D；又由指数函数增长趋势，排除C.故选：B4、D【解析】如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，设，则由已知得：，由定义得：，故在直角三角形中，，，，从而得，，求得，所以抛物线的方程为故选：D5、C【解析】根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数的值.【详解】解：因为空间三点，，在一条直线上，所以,故.所以.故选：C.【点睛】本题主要考查向量共线原理，属于基础题.6、B【解析】方程有两个根，转化为求函数的单调性与极值【详解】函数定义域是，有两个零点，即有两个不等实根，即有两个不等实根设，则，时，，递减，时，，递增，极小值＝，而时，，时，，所以故选：B7、A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.【详解】如图所示由正四面体的性质可得：可得：是棱中点故选：【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.8、A【解析】根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于a,b,c的方程，从而可求得双曲线的离心率得选项.【详解】由题意可设右焦点为，因为，且圆：，所以点在以焦距为直径的圆上，则，设的中点为点，则为的中位线，所以，则，又点在渐近线上，所以，且，则，，所以，所以，则在中，可得，，即，解得，所以，故选：A【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量9、C【解析】函数有两个零点等价于方程有两个根，等价于与图象有两个交点，通过导数分析的单调性，根据图象即可求出求出的范围.【详解】函数有两个零点，方程有两个根，，分离参数得，与图象有两个交点，令，，令，解得当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，且在处取得极大值及最大值，可以画出函数的大致图象如下：观察图象可以得出.故选：C.【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.10、A【解析】由一元二次不等式的解集可得且，确定a、b、c间的数量关系，再求的解集.【详解】由题意知：且，得，从而可化为，等价于，解得或.故选：A.11、C【解析】由五角星的内角为，可知，又平分第三颗小星的一个角，过作轴平行线，则，即可求出直线的倾斜角.【详解】都为五角星的中心点，平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为，可知，过作轴平行线，则，所以直线的倾斜角为，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查直线倾斜角，解题的关键是通过做辅助线找到直线的倾斜角，通过几何关系求出倾斜角，考查学生的数形结合思想，属于基础题.12、D【解析】由两直线平行确定参数值，根据充分必要条件的定义判断【详解】时，两直线方程分别为，，它们重合，不平行，因此不是充分条件；反之，两直线平行时，，解得或，由上知时，两直线不平行，时，两直线方程分别为，，平行，因此，本题中也不是必要条件故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】先求导，由，代入即得解【详解】由题意，故答案为：114、【解析】根据导数的定义直接计算即可【详解】因为，所以，故答案为：15、【解析】根据题意，列方程计算即可【详解】因为，所以，可转化为点到点和点的距离之和为，所以点在椭圆上，则，解得.故答案为：16、【解析】求出抛物线的焦点坐标即为的右焦点可得答案.【详解】由题意可知：抛物线的焦点坐标为，由题意知表示焦点在轴的椭圆，在椭圆中：，所以，因为，所以.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）设，，将与圆P的方程联立得到韦达定理，再写出直线的方程即得解.【小问1详解】解：因为抛物线C上一点，且，所以到抛物线C的准线的距离为2则，，则，所以，故抛物线C的方程为【小问2详解】证明：由（1）知，则圆P的方程为设，，将与圆P的方程联立，可得，则，当时，，不妨令，则，此时；当时，直线DE的斜率为，则直线DE的方程为，即，即，令且，得，直线过点；综上，直线DE过定点18、（1）175（2）0.004（3）该居民该户居民应该按第二档电价收费，理由见解析【解析】（1）在区间对应的小矩形最高，由此能求出众数；（2）利用各个区间的频率之和为1，即可求出值；（3）求出月均用电量的平均数的估计值即可判断.【小问1详解】由题知，月均用电量在区间内的居民最多，可以将这个区间的中点175作为众数的估计值，所以众数的估计值为175.【小问2详解】由题知：，解得则的值为0.004.【小问3详解】平均数的估计值为：，则月均用电量的平均数的估计值为，又∵∴该居民该户居民应该按第二档电价收费.19、（1），（2）【解析】（1）根据已知条件建立关于a、b、c的方程组可解；（2）巧设与已知双曲线同渐近线的双曲线方程为可得.【小问1详解】因为离心率，所以.又因为点在双曲线C上，所以.联立上述方程，解得，，即，.【小问2详解】设所求双曲线的方程为，由双曲线经过点，得，即.所以双曲线的方程为，其标准方程为.20、详见解析【解析】根据已知求出的通项公式.当①②时，设数列公差为，利用赋值法得到与的关系式，列方程求出与，求出，写出的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法求和即可；选②③时，设数列公差为，根据题意得到与的关系式，解出与，写出的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法求和即可；选①③时，设数列公差为，根据题意得到与的关系式，发现无解，则等差数列不存在，故不合题意.【详解】解：因为，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，选①②时，设数列公差为，因为，所以，因为，所以时，，解得，，所以，所以.所以.（i）所以（ii）（i）（ii），得：所以.选②③时，设数列公差为，因为，所以，即，因为，，成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，从而，所以，所以，（i）所以（ii）（i）（ii），得：，所以.选①③时，设数列公差为，因为，所以时，，所以.又因为，，成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，从而无解，所以等差数列不存在，故不合题意.【点睛】本题考查了等差（比）数列的通项公式，考查了错位相减法在数列求和中的应用，考查了转化能力与方程思想，属于中档题.21、（1）；（2）.【解析】（1）根据周长可求，再根据离心率可求，求出后可求椭圆的方程.（2）当直线轴时，计算可得的面积的最大值为，直线不垂直轴时，可设，联立直线方程和椭圆方程可求，设与平行且与椭圆相切的直线为：，结合椭圆方程可求的关系，从而求出该直线到直线的距离，从而可求的面积的最大值为.【详解】（1）由椭圆的定义可知，的周长为，∴，，又离心率为，∴，，所以椭圆方程为.（2）当直线轴时，；当直线不垂直轴时，设，，，∴.设与平行且与椭圆相切的直线为：，，∵，∴，∴距的最大距离为，∴，综上，面积的最大值为.【点睛】方法点睛：求椭圆