2025年质因数试题及答案

2025年质因数试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1.下列选项中，哪一个是231的正确质因数分解？A.3×7×11B.3×7×13C.5×7×11D.3×5×172.若n=2⁴×3²×5，n的质因数共有（）种。A.2B.3C.4D.53.下列分解式中，错误的是（）。A.102=2×3×17B.168=2³×3×7C.256=2⁸D.180=2×3²×5²4.已知a=2×3×5，b=2²×3×7，a和b的公共质因数的乘积是（）。A.2×3B.2×3×5×7C.2²×3²D.3×5×75.一个数分解质因数后为2³×3²×k，若该数是5的倍数，则k的最小取值为（）。A.5B.10C.15D.25二、填空题（每题4分，共20分）6.分解质因数：450=__________。7.分解质因数：1001=__________。8.若m=2×3×7，n=2²×3×11，则m和n的所有质因数的并集是__________（按从小到大排列）。9.一个两位数分解质因数后为p×q（p、q为不同质数），且p+q=16，则这个两位数可能是__________（写出所有可能）。10.已知A=2⁴×3³×5²，B=2²×3⁴×5×7，A和B的公共质因数的最高次幂乘积为__________。三、解答题（共65分）11.（8分）用短除法分解质因数：756。12.（10分）判断1234是否为质数，若不是，分解其质因数。13.（12分）已知三个连续偶数的乘积为480，求这三个偶数，并将它们分别分解质因数。14.（15分）某学校将360本图书分给若干个班级，要求每个班级分到的图书数量是质数，且每个班级分到的数量相同。问最多可以分给多少个班级？并说明理由（需用质因数分解解答）。15.（20分）观察以下规律：-6=2×3，质因数和为2+3=5；-12=2²×3，质因数和为2+3=5（重复质因数只算一次）；-18=2×3²，质因数和为2+3=5；-20=2²×5，质因数和为2+5=7。（1）定义“质因数和”为一个数所有不同质因数的和（重复质因数只算一次），求100的质因数和；（2）若一个数的质因数和为10，且该数是100以内的合数，写出所有可能的数（需分解质因数验证）。答案一、选择题1.A（231÷3=77，77÷7=11，故231=3×7×11）2.B（质因数为2、3、5，共3种）3.D（180=2²×3²×5，原分解式中2的指数错误）4.A（公共质因数为2和3，乘积为2×3）5.A（该数需含质因数5，故k最小为5）二、填空题6.2×3²×5²（450=45×10=9×5×2×5=3²×5×2×5=2×3²×5²）7.7×11×13（1001÷7=143，143÷11=13，故1001=7×11×13）8.2,3,7,11（m的质因数为2、3、7，n的质因数为2、3、11，合并后去重为2、3、7、11）9.39或55（p、q为质数且和为16，可能的组合：3+13=16，5+11=16；对应两位数为3×13=39，5×11=55）10.2²×3³×5（公共质因数为2、3、5，取最小指数：2²、3³、5¹，乘积为2²×3³×5）三、解答题11.短除法步骤：756÷2=378378÷2=189189÷3=6363÷3=2121÷3=77÷7=1故756=2²×3³×712.1234为偶数，能被2整除，不是质数。1234÷2=617验证617是否为质数：试除到√617≈24.8，用质数2、3、5、7、11、13、17、19、23试除，均无法整除，故617是质数。因此，1234=2×61713.设三个连续偶数为n-2、n、n+2（n为偶数），则(n-2)×n×(n+2)=480。化简得n³-4n=480，试算n=6时，6³-4×6=216-24=192≠480；n=8时，8³-4×8=512-32=480，符合条件。故三个偶数为6、8、10。分解质因数：6=2×3，8=2³，10=2×514.设班级数为k，每个班级分到的图书数为p（p为质数），则k×p=360，即k=360/p。要求k最大，即p最小（p为质数且p≤360）。分解360的质因数：360=2³×3²×5。360的质因数有2、3、5，其中最小的质数是2，此时k=360/2=180。验证：180个班级，每个班级分2本（2是质数），符合要求。故最多可分给180个班级。15.（1）100=2²×5²，不同质因数为2和5，质因数和为2+5=7。（2）质因数和为10的组合可能有：-2+3+5=10（三个质因数），对应数可能为2×3×5=30，2²×3×5=60，2×3²×5=90，2×3×5²=150（超过100，舍去）；-3+7=10（两个质因数），对应数可能为3×7=21，3²×7=63，3×7²=147（超过100，舍去），7²×3=147（同上）；-5+5=10（