西藏自治区拉萨市2025-2026学年高二上学期期末联考试题 数学

西藏自治区拉萨市2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题一、单选题1．若3，，27成等差数列，则（

）A．9 B．15 C． D．2．抛物线的焦点到准线的距离为（

）A． B．3 C．4 D．63．如果一个棱长为的正方体的外接球的表面积为，则（

）A． B． C． D．4．设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中能得出的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，5．圆与圆的位置关系为（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切6．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（

）A．天 B．天 C．天 D．天8．已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C．4 D．5二、多选题9．已知直线与直线之间的距离为，则的值可以是（

）A． B． C． D．10．设椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点（不同于左、右顶点），则（

）A． B．的离心率为C．弦的长可能等于 D．的周长为11．如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（

）A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为C．三棱锥的体积的最大值为D．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为三、填空题12．已知向量，若，则m=.13．已知直线与圆相交于两点，则.14．已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时，.四、解答题15．（1）求焦点关于准线的对称点为的抛物线的标准方程；（2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程.16．直线经过两直线和的交点.(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；(2)若直线与圆相切，求直线的方程.17．在数列中，.(1)证明：是等差数列；(2)设，求数列的前项和.18．如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求二面角的正弦值.19．已知椭圆的左､右顶点分别为，，且，点是上的一点.(1)求的方程；(2)已知点，（，不在轴上）是椭圆上不同的两点.①求直线，的斜率之积；②若直线的斜率是直线的斜率的倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

1．B利用等差中项可得答案.【详解】若3，，27成等差数列，则，解得.故选：B.2．B由抛物线定义和方程即可得解.【详解】由题意知，所以焦点到准线的距离为3.故选：B.3．D求出正方体外接球的半径，根据可求得的值.【详解】由球的表面积为，得球半径满足，解得，因此正方体的体对角线，所以.故选：D.4．A根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.【详解】A.若，，，则，那么，故A正确；B.若，，，则，故B错误；C.若，，则，或，又，则与有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C错误；D.若，，，则与有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D错误.故选：A5．A由圆心距和半径和、差的关系即可判断.【详解】由题意知，，两圆的半径分别为，，所以，故两圆外离.故选：A.6．D建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角.【详解】如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，所以，，设异面直线与所成的角为，则，故选：D.7．A根据题干确定各等比数列，结合等比数列求和公式，列不等式，解不等式即可.【详解】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列，其前项和，又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍，所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列，其前项和，令，解得或，因为，所以，故选：A.8．B根据点差法求出关系，即可求解.【详解】设，，则，①；，②，①-②得，则弦中点坐标为直线的斜率为，即,则.故选：B.9．BC根据平行线间距离公式列方程，解方程即可.【详解】由题意可知，所以与间的距离，解得或.故选：BC10．AB求出、、的值，可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；求得，可判断C选项；利用椭圆的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，在椭圆中，，，，所以，A对；对于B选项，椭圆的离心率为，B对；对于C选项，，弦的长不可能等于，C错；对于D选项，的周长为，D错.故选：AB.11．BCD利用扇形的侧面积公式求出圆锥的母线长，进而得出其高，结合锥体的体积公式可判断A选项；根据扇形的弧长公式可判断B选项；求出面积的最大值，结合锥体的体积公式可判断C选项；将圆锥沿着展开，结合勾股定理可判断D选项.【详解】对于A选项，设圆锥的母线长、底面半径、高分别为、、，由题知，圆锥的侧面积，所以，圆锥高，故该圆锥的体积为，A错；对于B选项，侧面展开图弧长，圆心角，B对；对于C选项，由圆的几何性质可知，由勾股定理可得，由基本不等式可得，故，当且仅当，即当时，等号成立，此时，故，C对；对于D选项，由B选项知，侧面展开图扇形圆心角，点在上且，则，展开后的扇形中，与（对应底面同一点）的圆心角为，最短路径为线段，且，D对.故选：BCD.12．由空间向量垂直的条件求解.【详解】由，得解得故答案为：13．求出圆心、半径及圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算得解.【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以.故答案为：14．9根据等差数列的性质推出，，即可得解.【详解】由，得，又，所以，即，所以，即等差数列前9项为负，从第10项开始为正，所以前9项和最小。即当取得最小值时，.故答案为：915．（1）；（2）.（1）由题意知在轴上，设所求抛物线方程为，根据两点关于直线对称求出的值，即可得出抛物线的标准方程；（2）设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】（1）由题意知在轴上，故设所求抛物线方程为，所以，准线方程为，因为关于直线的对称点为，所以，解得，故所求抛物线的标准方程为.（2）设所求双曲线的方程为，将点代入上述方程，得，所以双曲线的方程为，故所求双曲线的方程为.16．(1)(2)或（1）求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，综合可得出直线的方程.【详解】（1）联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，根据题意得：圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.17．(1)证明见解析(2)(1)利用等差数列的定义即可证明；(2)由（1）先写出数列的通项，即得数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为，所以，即，所以数列是公差为1的等差数列.（2）因为数列是公差为1的等差数列，，所以，所以于是

设数列的前项和为，则.18．(1)证明见解析(2)(3).（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行；（2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离；（3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值.【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则.设平面的一个法向量为，又，，所以令，解得，所以平面的一个法向量为，又，所以，又平面，所以平面.（2）由（1）知.设平面的一个法向量为，所以令，解得，所以平面的一个法向量为，所以点到平面的距离，即点到平面的距离为.（3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，又所以，即二面角的正弦值为.19．(1)(2)①；②直线恒过点.【详解】（1）由，得