广东省汕头市2025-2026学年高一上学期期末统考数学试卷

广东省汕头市2025-2026学年高一期末统考数学试卷总分：150分考试时长：120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数不等式的求解方法求出集合，根据一元二次不等式的求解方法求出集合，根据交集的运算求出.【详解】，，或，或，，，，，故选项D正确.故选：D.2.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后将不等式进行变形，最后根据函数的单调性求解即可.【详解】因为函数，所以不等式变为.由于，所以为奇函数，所以，所以不等式变为.由于在上为增函数，所以，解得,故选：B.3.若，，，，则大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】借助中间值和函数的单调性比较大小.【详解】，，，所以，.故选：A4.已知向量，，则（）A. B. C.5 D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算求，进而可得模长.【详解】因为向量，，则，所以.故选：C.5.函数的对称轴方程为（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】以为整体，结合余弦函数对称性运算求解即可.【详解】令，解得，，所以函数的对称轴方程为，.故选：A.6.某几何体三视图：正视图与侧视图均为高为3cm的矩形，俯视图是边长为2cm的正方形，该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】几何体为长方体，由长、宽、高求体积.【详解】由三视图可知，几何体为长方体，底面正方形边长是2cm，高为3cm，所以体积为.故选：B7.从中取两数，事件A为“和为偶数”，B为“积为奇数”，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意结合古典概型分别求，，代入条件概率公式即可得结果.【详解】事件分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，所以，，由条件概率可得：.故选：D.8.函数的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】求导，利用导数判断的单调性和极值，结合零点存在性定理判断零点个数.【详解】因为的定义域为，且，令，解得或；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则的极大值为，极小值为，且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；所以函数的零点个数为3.故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知集合，，正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若m=3，则 D.若，则m=1或m=3【答案】AB【解析】【分析】选项A，根据交集定义和子集的定义求解；选项B，求出集合，根据并集的运算求解；选项C，求出集合，根据交集的运算求解；选项D，由，根据子集的定义分别按照和讨论求解.【详解】，选项A，，，故选项A正确；选项B，，，，故选项B正确；选项C，，，，故选项C错误；选项D，，当时，，满足，当时，，，或，或，综上可知，若，则或m=1或m=3，故选项D错误.故选：AB.10.函数（）的性质有（）A.奇函数 B.偶函数C.在上单调递减 D.在上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断AB；根据对勾函数的单调性判断CD.【详解】因为的定义域为，且，可知函数为奇函数，故A正确；又因为，，即，可知函数不为偶函数，故B错误；由对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，故CD正确；故选：ACD.11.函数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用换元法及同角公式变形给定函数，再利用二次函数求出取值范围.【详解】令，则，于是，当时，；当时，，所以所求范围是.故选：B三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.解方程，得_______.【答案】【解析】【分析】两边取对数可得，进而解方程即可.【详解】因为，两边取对数可得，可得，所以.故答案为：.13.向量，，则在方向上的投影数量为_____.【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标运算求，，进而可得投影数量.【详解】因为向量，，则，，所以在方向上投影数量为.故答案为：.14.正三棱柱底面边长为2，高为3，其外接球体积为_____.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质求出外接球半径，进而求出球的体积.【详解】由正三棱柱底面边长为2，得正外接圆半径，正三棱柱的高为3，得正三棱柱外接球球心到平面的距离，因此该外接球半径，所以所求外接球体积.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.已知函数.（1）化简；（2）求的最小正周期；（3）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）（3）最大值为2，最小值为【解析】【分析】（1）整理可得，利用诱导公式化简即可；（2）根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；（3）以为整体，结合正弦函数的有界性求最值即可.【小问1详解】因为.【小问2详解】因为，所以的最小正周期.【小问3详解】因为，则，当，即时，函数取到最大值；当，即时，函数取到最小值；综上所述：在上的最大值为2，最小值为.16.已知函数.（1）求的单调区间；（2）求的极值；（3）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）的极大值是2，极小值是-2.（3）在上的最大值为2，最小值为-2.【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导数的符号求解不等式的解集，进而求得函数的单调区间.（2）先求出函数的极值点，然后根据函数的单调性确定函数的极大值和极小值.（3）先确定函数在上的单调区间，然后求出端点的函数值和极值，进而得到函数在上的最值.【小问1详解】对函数求导得.当或时，；当时，；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.小问2详解】因为，令，解得或.由（1）知，的单调递增区间为，单调递减区间为.所以当时，取极大值为，当时，取极小值为.【小问3详解】由（1）知，的单调递增区间为，单调递减区间为.因为，所以在上的单调递增区间为，单调递减区间为.而，所以在上的最大值为2，最小值为-2.17.已知向量，，夹角为.（1）求；（2）若，，求；（3）若，，求.【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）利用数量积的定义及运算律求解.（2）由（1）中信息，利用数量积的运算律求出数量积.（3）利用垂直关系的向量表示及数量积的坐标表示，结合同角公式求出.【小问1详解】由向量，，得，同理，由，得，所以.【小问2详解】由（1）知，，而，，所以.【小问3详解】由，得，则，而，则，两边平方并整理得，显然，则，解得或，经验证符合题意，所以或.18.直三棱柱底面为直角三角形，，，，D为中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，，进而可得线面垂直；（2）建系并标点，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角的余弦值.【小问1详解】因为，D为中点，则，又因为平面，平面，则，且，平面，所以平面【小问2详解】因为平面，，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得；设平面的法向量，则，令，则，可得；则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.19.产品质量指标，，.（1）求；（2）抽取10件，求至少2件指标在之内的概率（结果保留四位小数）.说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，