湖北省荆门市高三上学期元月考试数学试题

荆门市2026年高三年级元月考试数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．全卷共150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算求得复数，即可写出其在复平面内对应的点坐标，得到答案.【详解】，∴复数在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限.故选：C.2.已知等差数列前n项和为，若，则（）A.9 B.5 C.1 D.10【答案】A【解析】【分析】根据等差数列前项和公式与等差中项的性质计算即可.【详解】因为等差数列前n项和为，，所以.故选：A.3.的展开式中，常数项为（）A.15 B.－15 C.20 D.－20【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理写出二项展开式通项，令的幂指数为零，再代入展开式通项即可求得常数项.【详解】二项式定理展开式的通项为，常数项需满足：，可得：，则常数项：.故选：A.4.“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（）A.， B. C.， D.【答案】B【解析】【分析】设球的半径为，分别求出球的体积与圆柱体积，以及球的表面积与圆柱的表面积，即可得解．【详解】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为，球表面积为，圆柱的表面积为，所以，，所以．故选：B.5.如图，在空间四边形中，分别为的中点，点分别在边上且满足，，则以下命题正确的个数为（）①四边形梯形②③平面④若直线相交于点，则点必在直线上A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】先证再证即可判断①②，利用线面平行判断定理即可判断③，利用基本事实即可判断④.【详解】由分别为的中点，所以且，又点分别在边上且满足，，所以且，所以且，所以四边形为梯形，故①正确；由，故②正确；由，平面，平面，所以平面，故③正确；若直线相交于点，所以平面，且平面，所以是平面与平面的公共点，又平面平面，所以，故④正确；故选：D.6.设函数，若，则满足的关系式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别得到函数和在定义域上的零点，根据题意，结合图象，列出关系式，即可求解.【详解】由函数，因为在定义域上单调增且零点为，在定义域上单调减且零点为，故与在定义域内函数值正负相反且零点重合，如图所示，则，所以．故选：C7.如图，用M、、三类不同的元件连接成一个系统，当M正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知M、、正常工作的概率依次是、、，则在系统正常工作的前提下，只有M和正常工作的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算系统正常工作的概率，再计算只有M和正常工作的概率，最后用条件概率公式.【详解】设事件A为系统正常工作，事件B为只有M和正常工作，因为并联元件，能正常工作的概率为，所以，又因为，所以．故选B．8.设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，记与的内切圆半径分别为，若，则的离心率为（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】设焦点，且内心和的横坐标分别为，过分别作、、的垂线，由双曲线的定义，求得，得到和，再由直角三角形的性质，得到，得到，得出，进而求得离心率.【详解】设双曲线的焦点分别为，其中，再设与的内心和的横坐标分别为，过分别作、、的垂线，垂足分别为，则，，，所以，且，则，，可得，同理可得，因此点和在直线上，又由平分，平分，因为，则，且，又因为，，，且，则，即，解得，所以双曲线的离心率．故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一．某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立．每组电池的正常使用年限（单位：年），，，以下结论正确的是（）A. B.C. D.这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为0.75【答案】AB【解析】【分析】利用正态分布的性质及正态曲线求解出的值和的值，利用公式及求解，由两组电池能否正常使用相互独立，利用独立重复试验求概率.【详解】对于选项A，，，，，，，，故选项A正确；对于选项B，，故选项B正确；选项C，，，故选项C错误；选项D，，，，，两组电池能否正常使用相互独立，这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为，故选项D错误.

故选：AB.10.关于函数，，以下结论正确的是（）A.有8个零点B.的最大值为1C.是轴对称图形D.函数，则的零点的个数可能为0，1，2，4，6【答案】BCD【解析】【分析】令，计算即可判断A；，可判断B；由计算可判断C；作出图象，结合图象可判断D.【详解】对于A，令，即，得或，即，，，，，，共6个，故A错误；对于B，因为当时，，，所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确；对于C，因为，所以函数关于对称，故C正确；对于D，由C可知，函数关于对称，故只讨论的单调性和极值，结合对称性可作出函数在区间上的图象，因为，所以，求导可得，则，因为，当且仅当或时等号成立，令，则，当时，或，当时，，因为，在区间上单调递减，所以函数在区间上，先增后减然后再增，当时，，时，，时，，结合ABC选项作出函数图象如下：令，得，函数的零点可以看作函数图象与直线交点的个数，结合图象可知：函数的零点的个数可能为0，1，2，4，6，故D正确.故选：BCD11.如图，已知等腰梯形中，，，点，分别为线段，上的动点且，点、为线段、的中点，则以下结论正确的是（）A. B.C.若为的外心，则 D.【答案】ABC【解析】【分析】解法一（代数法）：根据向量线性运算计算可判断A；建立平面直角坐标系，由题意设出，，根据向量夹角计算公式计算即可判断B；设，得平行四边形PMEN为菱形，即点E为的外心，计算可判断C；结合C计算可判断D.解法二（几何法）：根据向量线性运算计算可判断A；由几何关系可得，进而可得，计算可判断B；作的平分线交DC于E，由几何关系可得四边形PMEN为菱形，可判断C；由可判断D.【详解】解法一（代数法）：点，为线段，的中点，，，两式相加得：，故A正确；以为原点，所在直线为轴，过点作垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系：则，，所以，，所以，故B正确；设，则，即点坐标为，因为，，所以，，所以平行四边形为菱形，所以，所以点为的外心，即点与重合，此时，，即点在直线上，所以，故C正确．，则，当且仅当时等号成立，故D错误；解法二（几何法）：点，为线段，的中点，，，两式相加得：，故A正确；因为，点为线段的中点，且，所以，故四边形，为平行四边形，所以，故是等边三角形，则，，所以，故，故，故，故B正确；作的平分线交于，因为，所以，由，，故，，，四点共圆，故，故为正三角形，所以四边形为菱形，故即为的外心，即与重合，故，故C正确；，故D错误．故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______．【答案】8【解析】【分析】根据椭圆的定义计算即可求解.【详解】由题意知，，如图，由椭圆的定义知，，所以的周长为.故答案为：813.圆被直线所截得的最短弦长为______．【答案】【解析】【分析】求解直线经过的定点，即可根据垂直求解最短弦长.【详解】直线l的方程可化为，联立解得．所以直线恒过定点．当直线时，直线被圆截得的弦长最短，C到直线l的距离为，所以最短弦长是．故答案为：14.已知函数，若恒成立，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】对进行讨论，利用导数求解函数的单调性，可得最值，进而得，构造函数，利用导数求解最值即可得解.【详解】由可得，当时，此时恒成立，在上单调递增，当时，，不满足，故不合题意；当时，此时；当时，令得，故在单调递增，令得，故在单调递减，要使恒成立，则，故，所以，记，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，故的最大值为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知锐角三角形ABC所对的边分别为a、b、c，．（1）求A；（2）若，H为的垂心，求的面积S的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简等式，然后三角形三个内角和的关系及正弦的和差角公式化简等式，即可求得；（2）由垂心的性质得，设，，在中由余弦定理得到等式，由基本不等式求得的最大值，然后由三角形面积公式求得面积的最大值.【小问1详解】由得，又故，又，故又，故，【小问2详解】由垂心的性质得：，设，，在中，，即，∴（当且仅当时等号成立）∴16.如图，在三棱锥中，，，，分别为的中点．（1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成的角．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）结合题设易得，，可得平面，进而求证即可；（2）结合长度关系易证得平面，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：分别为中点，，又，，分别为中点，，又，，，平面，平面，又平面，平面平面．【小问2详解】在中，由，，则，又，，，即，又，，平面，平面，以为原点，分别以所在直线为轴，以平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，，设是平面的一个法向量，则有，令，得，设与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角为.17.已知函数，、为大于0的常数，．（1）求在的极小值点；（2）求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出，令，求出值，分析两边单调性确定极值点.（2）根据（1）中结论得到，进一步化简整理即可得证.【小问1详解】，，令，则，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在存在唯一的极小值点．【小问2详解】因为，，所以，由（1）得：，故，即，即，即，故．18.现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为．甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏．（1）甲将游戏币向上抛出4次，用X表示落下时正面朝上的次数，求X的期望；（2）甲将游戏币，，抛出，用Y表示落下时正面朝上游戏币个数，求Y的分布列及其期望；（3）将这n枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜.请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．【答案】（1）1（2）分布列见解析，（3）公平，理由见解析【解析】【分析】（1）根据二项分布的期望公式计算即可.（2）先确定的可能取值，然后根据事件的相互独立求出对应的概率值，进而得到的分布列和期望.（3）先根据题意列出正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，记，得到数列为首项是，公差为的等差数列，最后求得.【小问1详解】依题意得：每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为，故，于是．【小问2详解】记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，则，，Y可取0，1，2，3．由事件相互独立，则；；；故分布列为：0123P．【小问3详解】不妨假设按照的顺序抛这n枚游戏币；记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，；于是；即，即，记，则，，故数列为首项是，公差为的等差数列；故，则，故，，则，因此公平．19.设两个非零向量，，，，将方向逆时针旋转到方向所成的角记为，定义伪叉积：，规定零向量与任意向量的伪叉积为零．已知对任意的，，及，满足：，．（1）设，，计算和；（2）设，，求证：；（3）如图，设、分别与椭圆交于A、B和D、E两点，且都过椭圆的左焦点F，M、N分别为AB、DE的中点，延长BD与EA交于G，求的面积的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算求出，又为锐角，利用同角关系式求出，利用伪叉积的定义求出和．（2）证法一：不妨设射线OA、OB分别为角、的终边，则，，设，，则，，利用伪叉积的定义求出，从而得证；证法二：，，由平面向量数量积的坐标运算求出，利用同角关系式求出，利用伪叉积的定义求出，从而得证．（3）利用三角形的面积公式和伪叉积的定义得到，结合平面向量的基本定理得到，分别按照AB与x轴重合和AB与x轴不重合讨论求解，当AB与