辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

高一年级数学试卷时间：120分钟分数：150分试卷共两部分：第一部分：选择题型（1-11题58分）；第二部分：非选择题型（12-19题92分）第I卷（选择题共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）.1.已知命题，则是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断求解即可.【详解】命题，则是：.故选：C2.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】移项通分，转化为一元二次不等式即可求解.【详解】，可得，即为，且，可得故选：C3.已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出基本事件的个数以及符合条件的事件的个数，进而结合古典概型概率公式即可求出结果.【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，016，543，247，062共6个，所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.故选：A4.已知，函数若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，求得，结合列出方程，即可求解.【详解】由题意可得，则，解得，故选：B.5.如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用线性运算求得，然后求得，最后利用共线定理的推论列式求解即可.【详解】因为，所以，则，因为P、B、N三点共线，所以，解得.故选：D．6.幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（）A.无法判断 B.等于0 C.恒小于0 D.恒大于0【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的概念及性质求得，然后根据函数的单调性及奇函数性质转化求解即可.【详解】由，解得或.当时，；当时，.因为函数的图象与坐标轴有交点，故.又，所以，因为为在R上单调递增的奇函数，所以，即.故选：D7.某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（）A.168，35 B.168，20 C.169.6，35 D.169.6，20【答案】A【解析】【分析】先得到样本中的男生和女生人数，进而利用平均数和整体方差的求解公式进行计算.【详解】男学生和女学生人数比例为，故样本中男生人数为人，女生人数为人，样本的平均数为，样本的方差为.故选：A.8.已知函数是定义在上的奇函数，，且，有成立．设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据单调性定义可知在上单调递减，化简为，根据单调性可得大小关系.【详解】不妨令，则由得：，，设，在上单调递减，，又为奇函数，，，，又，，即.故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.9.某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）A.这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有100人B.估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时C.估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时D.估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时【答案】BCD【解析】【分析】对于A：直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断；对于B：根据众数的定义进行判断；对于C：直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断；对于D：直接利用频率分布直方图的数据，按照平均数的定义进行计算，即可判断.【详解】对于A：从频率分布直方图，可以得到，即这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有200人，故A错误；对于B：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，故B正确；对于C：由频率分布直方图可以得到，设抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为k小时，则有：，解得：k=9.2，即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，故C正确；对于D：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为小时，由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，故D正确；故选：BCD10.下列说法正确的是（）A.函数的定义域是，则的定义域是B.若函数的图象关于直线对称，则为偶函数C.若函数对恒成立，则实数a的取值范围为D.若是奇函数，则的值域为【答案】BCD【解析】【分析】选项A：根据抽象函数的定义域求解即可；选项B：根据函数图象平移及奇偶性定义判断即可；选项C：将恒成立问题转化为求值域问题求解即可；选项D：根据奇函数的定义求出值，再求值域即可.【详解】选项A：函数的定义域是，则，所以，因此的定义域为，令，则，所以的定义域为，故A错误；选项B：根据函数图象平移的性质，函数向左平移1个单位得到的图象.因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，根据偶函数的定义可知，为偶函数，故B正确；选项C：令，因为，所以（函数在上单调递增）.函数可化为.若对恒成立，即对恒成立，也即对恒成立令，.因为在上单调递减，在上单调递增，所以.所以，即实数的取值范围为，故C正确；选项D：因为是奇函数，所以，函数定义域为.，，所以，则，即对定义域内的恒成立，所以.此时.因为，所以且.当时，，；当，，；所以的值域为，故D正确.故选：BCD.11.已知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是（）A. B.在定义域上单调递减C.是奇函数 D.若，则不等式的解集为【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法求出，可判断选项A；根据函数单调性的定义可判断选项B；根据函数奇偶性、对称性和图象变换可判断选项C；借助函数的单调性及题中条件可判断选项D.【详解】对于选项A：定义在区间上的函数满足：对任意均有令，可得，解得，故选项A正确；对于选项B：由可得任取、，且，则.由于当时，，，所以，即，故在定义域上单调递增，故选项B错误；对于选项C：令，由可得，即，所以，即函数关于点对称.而的图象可由图象向左平移个单位得到，所以函数关于点对称，则是奇函数，故选项C正确；对于选项D：因为，所以，则不等式等价于由在定义域上单调递增，得，解得，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的图象平移变换、抽象函数的奇偶性和单调性以及抽象不等式的解法.解题关键是：熟练函数奇偶性、对称性知识应用；解答抽象不等式的关键是根据不等式结合函数值情况得到相应不等式，求得结果.第Ⅱ卷（非选择题共92分）二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.12.若事件与事件互斥，且，，则______.【答案】##【解析】【分析】根据互斥事件的概率加法公式，求得，再由对立事件的概率公式，即可求解.【详解】因为事件与事件互斥，则，又因为，所以.故答案为：.13.若，，且，则的最小值为________．【答案】6【解析】【分析】由题意可得，利用基本不等式计算可得，即，即可求解.【详解】由，得，整理得，当且仅当时等号成立.则，故，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，即的最小值为6.故答案为：614.设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据倍缩函数的定义，构造出方程组，得到，是方程的两个不等实根，结合等量代换化为一元二次方程，利用方程有两个不等实根且均大于0求解即可.【详解】因为在上单调递增，所以单调递增，又在上单调递增，所以在定义域内单调递增.因为函数为“倍缩函数”，所以，即，所以，是方程的两个不等实根.设，，则方程有两个不等的正实根，所以，解得.所以满足条件的实数的取值范围为.故答案：三、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15.已知集合，集合.（1）求；（2）已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性求出集合，再利用并集的概念运算；（2）根据一元二次不等式求解集合，再根据是的真子集求m的取值范围.【小问1详解】，，故.【小问2详解】，因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，则，得，故实数m的取值范围为.16.已知定义在上的函数.（1）判断函数的单调性，并用定义证明；（2）解不等式.【答案】（1）增函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可作出判断与证明；（2）利用函数为奇函数，把不等式转化为，再利用的单调性，得出不等式组，即可求解.【小问1详解】函数在上是增函数，证明如下：设，则，，，且，则，则，即，所以函数在上是增函数.【小问2详解】，，故是奇函数，，，是定义在上的增函数，，解得，所以不等式的解集为.17.如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点.（1）若是的中点，，，求实数的值；（2）若，，求的最大值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）建系，利用向量坐标运算，建立方程，即可求解；（2）建系，设正方形的边长为1，，构建函数模型，根据基本不等式，即可求解.【小问1详解】如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6，则，所以，，设点，则，由，得，所以，即，得到，设，则，所以，解得.【小问2详解】因为三点共线，且，所以，设正方形的边长为1，，则，所以，，，所以，又，所以，所以，，所以，若，则，若，则，当且仅当，即时，等号成立，综上所述：的故大值为1.18.不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5.（1）现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率；（2）某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签.游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜；游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜；游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜.小明同学决定先玩游戏一，（i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？（ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？【答案】（1），（2）（i）；（ii）5，6，7【解析】【分析】（1）利用列举法求出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解；（2）（i）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二获得书签的概率，再根据当时，即可得答案；（ii）同（i），求得先玩游戏三获得书签的概率，从而得到满足题意，再结合（1），讨论满足的的解即可.【小问1详解】解：对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间，则，因为，所以，所以.对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间，则，因为，所以，所以.【小问2详解】解：（i）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”，记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，的样本空间为，则，所以．则互斥，相互独立，所以由（1）知，当时，，，,所以当时，接下来先玩游戏二获得书签的概率为.（ii）由（i）知．同理，互斥，相互独立，．因为，所以，解得．仿照（1）中的方法得，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，所以，当对应的均为，大于，满足题意；对应的均为，小于，不满足题意．因此，符合题意的的取值为5，6，7．19.已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且．（1）求和的解析式；（2）若函数在上的值域为，求正实数a的值；（3）证明：对任意实数k，曲线与曲线总存公共点．【答案】（1），（2）（3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用解方程组法即可