近十年福建省中考数学真题及答案2025

2025年福建中考数学试题及答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．下列实数中，最小的数是（

）A． B．0 C． D．22．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（

）A． B． C．0 D．24．福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大绕，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（

）A． B． C． D．5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．6．在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（

）A． B． C． D．7．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（

）A． B． C． D．8．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（

）A． B． C． D．9．如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（

）A． B． C． D．10．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作．12．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为m．13．若反比例函数的图象过点，则常数．14．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为．15．某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：项目员工听说读写最终成绩甲A70809082乙B90807082由以上信息，可以判断A，B的大小关系是AB．（填“>”“=”或“<”）16．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为千克．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．计算：18．如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：．19．先化简，再求值：，其中．20．甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）日期队员2月10日2月21日3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是．信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）年份20202021202220232024获奖分数线9089908990试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：(1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；(3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？21．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．(1)求的大小；(2)求证：是等边三角形．22．如图，矩形中，．(1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)若，求（1）中所作的正方形的边长．23．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．(1)求的值；(2)已知二次函数的最大值为．①求该二次函数的表达式；②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．24．阅读材料，回答问题．主题两个正数的积与商的位数探究提出问题小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数．分析探究问题1

小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例推广延伸小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a．借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，．证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数．由，得，即．（*）当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以；当且时，，所以所以，与（*）矛盾，不合题意；当且时，①；当且时，②．综上所述，命题成立．拓展迁移问题2

若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论．(1)解决问题1；(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；(3)解决问题2．25．如图，四边形ABCD内接于，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，求的周长．1．A【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小即可．【详解】解：∵，∴最小的数为；故选：A2．D【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；故选D．3．D【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项．【详解】解：要使在实数范围内有意义，需满足被开方数，解得．∴符合．故选：D．4．A【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．根据主视图是从前面看到的图形解答即可．【详解】解；A是该几何体的主视图，B，C，D不是该几何体的三视图．故选A．5．C【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可．【详解】解：，，，∴；在数轴上表示如图：故选C．6．B【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可．【详解】解：由题意，列表如下：1212共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有，两种，∴；故选：B．7．B【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴；故选：B．8．C【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可．【详解】解：设设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得：；故选：C．9．C【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果．【详解】连接，，则：，∵与相切于点A，∴，∵，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴为等边三角形，∴，故选C．10．A【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．【详解】解：∵，∴当时，，∴抛物线过点，∴抛物线的开口向上，对称轴为，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，∴，∵，，∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，∴；故选：A．11．【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可．【详解】解：体重增加记作，那么体重减少应记作；故答案为：．12．4【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出．【详解】解：∵，∴为直角三角形，∵E是斜梁的中点，∴．故答案为：4．13．【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出值即可．【详解】解：∵反比例函数的图象过点，∴；故答案为：．14．1【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解．【详解】解：∵菱形，，∴，，，∴，．∵，∴，∴，∴，故答案为：1．15．>【分析】本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键．利用加权平均数的计算公式求解即可．【详解】解：∵，∴．∵，∴．∵，∴．故答案为；．16．0.8【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量．【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)．物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得．当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)．设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得．故答案为：．17．【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简、零指数幂、化简绝对值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．【详解】解：．18．见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论．【详解】证明：，．在和中，，，．19．，【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可．【详解】解：．当时，原式．20．(1)，见解析(2)甲，见解析(3)选甲更合适．理由见解析【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键．（1）先求出乙的方差，然后比较即可；（2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可；（3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可．【详解】（1），即．因为，所以，所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定．（2）由已知得，获奖分数线的平均数为，从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适．（3）选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适．21．(1)(2)见解析【分析】（1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可；（2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可．【详解】（1）解：是等边三角形，．D是的中点，．，，．（2）由平移可知：，，又，，∴，又，垂直平分，，由（1）知，，，，是等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．22．(1)见解析(2)【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形；（2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可．【详解】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形．由作图可知，，，∵矩形，∴，∴，，∴，∴，由作图可知，，∴四边形为矩形，∵，∴四边形为正方形；（2）由（1）知：，，四边形是矩形，，在中，，，．，．又，，，即，．在中，，，∴正方形EFGH的边长为．【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．23．(1)(2)①；②见解析【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．（1）根据二次函数的对称性求解即可；（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可；②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解．【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为．因为点在该函数的图象上，所以，所以，所以．（2）①由（1）可得，，所以该函数的表达式为，函数图象的顶点坐标为．因为函数的最大值为，所以，且，解得，或（舍去）．所以该二次函数的表达式为．②因为点在函数的图象上，所以．由①知，点关于直线对称，不妨设，则，即．所以，所以．24．(1)小明的猜想不正确，反例：(2)见解析(3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是【分析】（1）举反例即可；（2）①当且时，可得，得，不合题意；②当且时，可得，可得，得，即得．（3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即．【详解】（1）解：小明的猜想不正确．反例：．（2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意；②，所以，又，所以，由（*）知，所以．（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是．证明如下：由已知，A，B的位数分别为m，n，设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．由小华的命题知，当时，必有，此时，，所以；当时，必有，此时，，所以．综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是，【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键．25．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）利用得，结合同弧所对圆周角，再根据三角形外角性质，完成证明．（2）先证得，再通过角的等量代换证，推出，从而得．（3）利用（2）结论将周长转化为，通过相似三角形及三角函数、勾股定理求出的长，即周长为．【详解】（1）证明：，．，，．，．（2）证明：，．，，又，，，．由（1）知，，又，，．，．∵，，，，．（3）解：由（2）知，，的周长为．设，则．由（2）可知，．又，，，，．又，，．过点C作，垂足为P，则．四边形是圆内接四边形，，又，，．在中，，即．，，，．在中，，，解得，或（舍去）．．的周长为．【点睛】本题考查圆的性质、等腰三角形、相似三角形、解直角三角形等知识，通过角与边的转化、相似三角形判定与性质解题，关键是利用圆的性质和三角形知识进行边角关系推导．

2024年福建中考数学试题及答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．下列实数中，无理数是（

）A． B．0 C． D．2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（

）A． B．C． D．4．在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（

）A． B． C． D．5．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（

）A． B． C． D．7．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（

）A． B． C． D．8．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（

）A． B．C． D．9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（

）A． B．C． D．10．已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（

）A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．因式分解：x2+x=．12．不等式的解集是．13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是．（单位：分）14．如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为．

15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为．16．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则．（单位：）（参考数据：）三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．计算：．18．如图，在菱形中，点分别在边上，，求证：．19．解方程：．20．已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．(1)求A地考生的数学平均分；(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．21．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．(1)求二次函数的表达式；(2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．22．如图，已知直线．(1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积．23．已知实数满足．(1)求证：为非负数；(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．24．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

图1

图2

图3(1)直接写出的值；(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（

）图4A．

B．C．

D．(3)卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ规格（单位：cm）单价（单位：元）3520现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）25．如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点．(1)求的值；(2)求证：；(3)求证：与互相平分．1．D【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数．【详解】根据无理数的定义可得：无理数是故选：D．2．C【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键．【详解】故选：C．3．C【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个长方形．故选：C．4．A【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解．【详解】∵，∴，∵，则，∴，故选：A．5．B【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则．利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误．【详解】解：，A选项错误；，B选项正确；，C选项错误；，D选项错误；故选：B．6．B【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是，故选：B7．A【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解．【详解】∵，为的中点，∴∵∴∵直线与相切，∴，∴故选：A．8．A【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，列出方程即可．【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，根据题意得：，故选：A．9．B【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，，即可判断；B.不一定等于，即可判断；C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断；D.过作，可得，由对称性质得同理可证，即可判断；掌握轴对称的性质是解题的关键．【详解】解：A.，，由对称得，点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，，，，，结论正确，故不符合题意；B.不一定等于，结论错误，故符合题意；C.由对称得，∵点E，F分别是底边的中点，，结论正确，故不符合题意；D.过作，，，，由对称得，，同理可证，，结论正确，故不符合题意；故选：B．10．C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，，的大小情况，即可解题．【详解】解：二次函数解析式为，二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，当时，，当时，，，当时，，，故A、B错误，不符合题意；当时，，由二次函数对称性可知，，当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，故C正确符合题意；D错误，不符合题意；故选：C．11．【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可．【详解】解：12．【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解．【详解】解：，，，故答案为：．13．90【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大．根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可；【详解】解：∵共有12个数，∴中位数是第6和7个数的平均数，∴中位数是；故答案为：90．14．2【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到，进而得到，同理可得，最后利用四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解，即可解题．【详解】解：正方形的面积为4，，，点，，，分别为边，，，的中点，，，同理可得，四边形的面积为．故答案为：2．15．【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答．【详解】解：如图：连接∵反比例函数的图象与交于两点，且∴设，则∵∴则∵点在第一象限∴把代入得∴经检验：都是原方程的解∵∴故答案为：16．128【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案．【详解】解：如图，∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，∴，，∵，∴，在中，，，∴，由题意可知，，∴，∴在中，，∴，故答案为：17．4【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可；【详解】解：原式．18．见解析【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．根据菱形的性质证得，，再根据全等三角形的判定证明即可．【详解】证明：四边形是菱形，，，，，．19．．【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．【详解】解：，方程两边都乘，得．去括号得：，解得．经检验，是原方程的根．20．(1)86；(2)不能，举例见解析．【分析】本小题考查加权平均数等基础知识，（1）根据平均数的概念求解即可；（2）根据平均数的意义求解即可．【详解】（1）由题意，得A地考生的数学平均分为．（2）不能．举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为．因为，所以不能判断B地考生数学平均分一定比地考生数学平均分高．21．(1)(2)【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等.（1）根据待定系数法求解即可；（2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标．【详解】（1）解：将代入，得，解得，所以，二次函数的表达式为．（2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即，所以．由已知，得，所以．由，解得（舍去），所以点坐标为．22．(1)见解析；(2)的面积为1或．【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想：（1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可；（2）分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可【详解】（1）解：如图，直线就是所求作的直线．（2）①当时，，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：，，．②当时，分别过点作直线的垂线，垂足为，．，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，．，，，，．在中，由勾股定理得，．．③当时，同理可得，．综上所述，的面积为1或．23．(1)证明见解析；(2)不可能都为整数，理由见解析．【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．（1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解；（2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可．【详解】（1）解：因为，所以．则．因为是实数，所以，所以为非负数．（2）不可能都为整数．理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．①当都为奇数时，则必为偶数．又，所以．因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．又因为，所以．因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．综上所述，不可能都为整数．24．(1)2；(2)C；(3)见解析．【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解；（2）根据几何体的展开图即可求解；（3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解．【详解】（1）解：如图：上述图形折叠后变成：由折叠和题意可知，，，∵四边形是正方形，∴，即，∴，即，∵，∴，∴的值为：．（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，∴C选项符合题意，故选：C．（3）解：卡纸型号型号型号型号需卡纸的数量（单位：张）132所用卡纸总费用（单位：元）58根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为：∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则（个），∴所用卡纸总费用为：（元）．25．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）先证得，再在中，．在中，，可得，再证得结果；（2）过点作，交延长线于点，先证明，可得，再证得，再由相似三角形的判定可得结论；（3）如图，连接，由（2），可得，从而得出，从而得出，得出，再上平行线判定得出，再证得，从而得出四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果．【详解】（1），且是的直径，．，在中，．，在中，．，；（2）过点作，交延长线于点．．，，．，，，，，．，，，．（3）如图，连接．是的直径，．，．由（2）知，，，，．．，．由（2）知，，．，，，四边形是平行四边形，与互相平分．【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想等．

2023年福建中考数学真题及答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．下列实数中，最大的数是（）A．B．0C．1D．22．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A．1B．5C．7D．94．党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（）A．B．C．D．5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．6．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（）A．B．C．D．7．阅读以下作图步骤：①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A．且B．且C．且D．且8．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（）A．平均数为70分钟B．众数为67分钟C．中位数为67分钟D．方差为09．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（）A．B．C．D．310．我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（）A．B．C．3D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货5件应记作_________．12．如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为_________．13．如图，在菱形中，，则的长为_________．14．某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：项目应聘者综合知识工作经验语言表达甲758080乙858070丙707870如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是_________．15．已知，且，则的值为_________．16．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是_________．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）算：．18．（8分）解不等式组：19．（8分）如图，．求证：．20．（8分）先化简，再求值：，其中．21．（8分）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．（1）求证：；（2）求证：平分．22．（10分）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由23．（10分）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大度远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的两点，可测得的大小，如图3．小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得；（ⅱ）分别在上测得；测得．求解过程：由测量知，，，又①_________，．又②_________（．故小水池的最大宽度为_________．（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；（2）小明求得用到的几何知识是_________；（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母表示，角度用表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．24．（12分）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若，且，求证：三点共线；（3）小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．25．（14分）如图1，在中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．（1）求证：；（2）求的度数；（3）若是的中点，如图2．求证：．数学试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识与基本技能．每小题4分，满分40分．1．D2．D3．B4．C5．A6．B7．A8．B9．A10．C二、填空题：本题考查基础知识与基本技能．每小题4分，满分24分．11．12．1013．1014．乙15．116．三、解答题：本题共9小题，共86分．17．本小题考查算术平方根、绝对值、零指数幂等基础知识，考查运算能力．满分8分．解：原式．18．本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识，考查运算能力．满分8分．解：解不等式①，得．解不等式②，得．所以原不等式组的解集为．19．本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等．满分8分．证明：，即．在和中，．20．本小题考查因式分解、分式的基本性质及其运算、二次根式等基础知识，考查运算能力．满分8分．解：原式．当时，原式．21．本小题考查角平分线、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、圆的性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观等，考查化归与转化思想．满分8分．解：（1）是的切线，，即．是的直径，．．，，，即，．（2）与都是所对的圆周角，．，，．由（1）知，，平分．22．本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念．满分10分．解：（1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．（2）他应往袋中加入黄球．理由如下：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：第二球第一球红黄①黄②黄③新红红，黄①红，黄②红，黄③红，新黄①黄①，红黄①，黄②黄①，黄③黄①，新黄②黄②，红黄②，黄①黄②，黄③黄②，新黄③黄③，红黄③，黄①黄③，黄②黄③，新新新，红新，黄①新，黄②新，黄③共有20种等可能结果．（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率；（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率；因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．23．本小题考查两点间距离的概念及其度量、角度概念及其度量、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等基础知识；考查抽象能力、空间观念、几何直观、应用意识、创新意识等，考查应用所学知识分析、解决问题的综合实践能力；考查数形结合思想、模型观念等．满分10分．解：（1）①；②；（2）相似角形的判定与性质；（3）测量过程：（ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；（ⅱ）用皮尺测得．求解过程：由测量知，在中，．过点作，垂足为．在中，，即，所以．同理，．在中，，即，所以．所以．故小水池的最大宽度为．24．本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、空间观念、几何直观、创新意识等，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等．满分12分．解：（1）因为抛物线经过点，所以解得所以抛物线的函数表达式为．（2）设直线对应的函数表达式为，因为为中点，所以．又因为，所以解得所以直线对应的函数表达式为．因为点在抛物线上，所以．解得，或．又因为，所以．所以．因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线．（3）的面积为定值，其面积为2．理由如下：（考生不必写出下列理由）如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值．又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为；直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2．25．本小题考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，考查推理能力、空间观念、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等．满分14分．解：（1）是由线段绕点顺时针旋转得到的，，，．，．．，．．（2）设与的交点为，如图1．，，，．，，．又，．，．（3）延长交于点，连接，如图2．，，．是的中点，．又，，．，，．由（2）知，，．，，，，即．，，．

2022年福建中考数学试题及答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.－11的相反数是（）A.－11 B. C. D.11【答案】D2.如图所示的圆柱，其俯视图是（）A. B.C. D.【答案】A3.5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，数据13976000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C4.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A5.如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）A. B. C. D.π【答案】B6.不等式组的解集是（）A. B. C. D.【答案】C7.化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】C8.2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（）A. B. C. D.【答案】D9.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：，，）

A.9.90cm B.11.22cm C.19.58cm D.22.44cm【答案】B10.如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（）A.96 B. C.192 D.【答案】B二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.四边形的外角和等于_______.【答案】360°．12.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______．【答案】613.一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______．【答案】14.已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）【答案】-5（答案不唯一负数即可）15.推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数为x，令，等式两边都乘以x，得．①等式两边都减，得．②等式两边分别分解因式，得．③等式两边都除以，得．④等式两边都减m，得x＝0.⑤所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．【答案】④16.已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．【答案】8三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：．【答案】【详解】解：原式．18.如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．【答案】见解析【详解】证明：∵BF＝EC，∴，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴，∴∠A＝∠D．19.先化简，再求值：，其中．【答案】，．【详解】解：原式．当时，原式．20.学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图，其中A组为，B组为，C组为，D组为，E组为，F组为．（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．【答案】（1）活动前调查数据的中位数落在C组；活动后调查数据的中位数落在D组（2）1400人【小问1详解】活动前，一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数，∴活动前调查数据的中位数落在C组；活动后，A、B、C三组的人数为（名），D组人数为：（名），15+15=30（名）活动后一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数，∴活动后调查数据的中位数落在D组；【小问2详解】一周的课外劳动时间不小于3h的比例为，（人）；答：根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．21.如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．【答案】（1）见解析（2）【小问1详解】∵，，∴四边形ABED是平行四边形，∴∠B＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．【小问2详解】连接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴，∴．∴的长．22.在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．【答案】（1）购买绿萝38盆，吊兰8盆（2）369元【小问1详解】设购买绿萝盆，购买吊兰盆∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆∴∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元∴得方程组解方程组得∵38>2×8，符合题意∴购买绿萝38盆，吊兰8盆；【小问2详解】设购买绿萝盆，购买吊兰吊盆，总费用为∴，∴∵总费用要低于过390元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍∴将代入不等式组得∴∴的最大值为15∵为一次函数，随值增大而减小∴时，最小∴∴元故购买两种绿植最少花费为元．23.如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．【答案】（1）作图见解析（2）【小问1详解】解：如图所示，⊙A即为所求作：【小问2详解】解：根据题意，作出图形如下：设，⊙A的半径为r，∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又，∴四边形AEFG是正方形，∴，在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，∴，在Rt△ABE中，，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴，AB＝CD，∴，又，∴，∴，∴，在Rt△ADE中，，即，∴，即，∵，∴，即tan∠ADB的值为．24.已知，AB＝AC，AB＞BC．（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．【答案】（1）见解析（2），见解析（3）30°【小问1详解】∵，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴，∴，∴，∴四边形ABDC是平行四边形，又∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形；【小问2详解】结论：．证明：∵，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；【小问3详解】在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，∴，∵，∴，设，，则，∵CA＝CD，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即∠ADB＝30°．25.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，或（3，4）（3）存在，【小问1详解】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以抛物线的解析式为．【小问2详解】设直线AB的解析式为，将A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以直线AB的解析式为．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．所以．因为A（4，0），B（1，4），所以．因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，所以，．设，则．所以，即，解得，．所以点P的坐标为或（3，4）．【小问3详解】记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，，设直线AB的解析式为．设，则整理得时，取得最大值，最大值为

2021年福建中考数学试题及答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.在实数，，0，中，最小的数是（）A. B.0 C. D.2.如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）A B.C. D.3.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（）A. B. C. D.4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.5.某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：项目作品甲乙丙丁创新性90959090实用性90909585如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁6.某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（）A. B.C. D.7.如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（）A. B. C. D.8.如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（）A. B. C. D.9.如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（）

A. B. C. D.10.二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.若反比例函数的图象过点，则k的值等于_________．12.写出一个无理数x，使得，则x可以是_________（只要写出一个满足条件x即可）13.某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是_________．14.如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．

15.已知非零实数x，y满足，则值等于_________．16.如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，点E不与A，B重合，且，G是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①与一定互补；②点G到边的距离一定相等；③点G到边的距离可能相等；④点G到边的距离的最大值为．其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：．18.如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：．19.解不等式组：20.某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？21.如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．（1）求证：；（2）求证：．22.如图，已知线段，垂足为a．（1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点．23.“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．24.如图，在正方形中，E，F为边上的两个三等分点，点A关于的对称点为，的延长线交于点G．（1）求证：；（2）求的大小；（3）求证：．25.已知抛物线与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点，求最小值；（2）已知点中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：与的面积相等．参考答案：1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】112.【答案】答案不唯一（如等）13.【答案】14.【答案】15.【答案】416.【答案】①②④17.计算：．【答案】【详解】．18.【详解】【分析】由得出，由SAS证明，得出对应角相等即可．【详解】证明：∵，∴．在和中，∴，∴．19.【答案】【详解】解：解不等式，，解得:．解不等式，，解得：．所以原不等式组的解集是：．20.【答案】（1）该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱；（2）该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元【详解】解：（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱．依题意，得解得所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱．（2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元．则批发农产品的数量为箱，∵该公司零售的数量不能多于总数量的30%∴依题意，得．因为，所以w随着m的增大而增大，所以时，取得最大值49000元，此时．所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元．21.【详解】证明：（1）在等腰直角三角形中，，∴．∵，∴，∴．（2）连接．由平移性质得．∴，∴，∴．∵是等腰直角三角形，∴．由（1）得，∴，∴，∴．22.【详解】（1）作图如下：

四边形是所求作的四边形；（2）设直线与相交于点S，

∵，∴，∴设直线与相交于点，同理．∵P，Q分别为的中点，∴，∴∴，∴，∴，∴，∴点S与重合，即三条直线相交于同一点．23.【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．此时，比赛的所有可能对阵为：，，，，共四种．其中田忌获胜的对阵有，，共两种，故此时田忌获胜的概率为．（2）不是．齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．综上所述，田忌获胜的所有对阵是，，，，，．齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是，，，，，，共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，所以，此时田忌获胜的概率．24.【详解】解：（1）设直线与相交于点T，

∵点A与关于对称，∴垂直平分，即．∵E，F为边上的两个三等分点，∴，∴是的中位线，∴，即．（2）连接，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴．∴，∴，又，∴，∴是等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴．取的中点O，连接，在和中，，∴，∴点，F，B，G都在以为直径的上，∴．

（3）设，则．由（2）得，∴，即，∴．设，则，在中，由勾股定理，得，∴．在中，由勾股定理，得．又∵，∴，∴．∵，∴，∴．由（2）知，，又∵，∴，∴，∴，∴．25.【答案】（1）-1；（2）①；②见解析【详解】解：因为抛物线与x轴只有一个公共点，以方程有两个相等的实数根，所以，即．（1）因为抛物线过点，所以，所以，即．所以，当时，取到最小值．（2）①因抛物线与x轴只有一个公共点，所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．又点中恰有两点在抛物线的图象上，所以只能是在抛物线的图象上，由对称性可得抛物线的对称轴为，所以，即，因为，所以．又点在抛物线的图象上，所以，故抛物线的解析式为．②由题意设，则．记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F，即，因为，所以．又，所以，所以．所以，所以，即．所以，即．①把代入，得，解得，所以．②将②代入①，得，即，解得，即．所以过点A且与x轴垂直的直线为，将代入，得，即，将代入，得，即，所以，因此，所以与的面积相等．

2019年福建省中考数学真题及答案一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）计算22+（﹣1）0的结果是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可．【解答】解：原式＝4+1＝5故选：A．【点评】此题考查了实数的运算，解答本题关键是掌握零指数幂的运算法则，难度一般．2．（4分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（）A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：将720000用科学记数法表示为7.2×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正方形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的