初中数学专题08 利用勾股定理求旗杆的高度(解析版)

专题08利用勾股定理求旗杆的高度一、单选题1．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为1m，则学校教学楼的高度为（）A．11m B．13m C．14m D．15m【答案】C【分析】根据题意画出示意图，设学校教学楼的高度为，可得，，，利用勾股定理可求出．【解析】如图，设学校教学楼的高度为，则，，，左图，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方，∴，解得：．故选：C．【小结】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．2．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门才自动打开，则人头顶离感应器的距离（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米【答案】B【分析】作DE⊥AB,算出AE,DE的长度,利用勾股定理算出AD即可．【解析】过点D作DE⊥AB交AB于E,则EB=CD=1.6,DE=BC=1.2．∴AE=AB－EB=2.5－1.6=0.9．∴AD=故选B．【小结】本题考查勾股定理的应用,关键在于合理利用辅助线和勾股定理．3．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米【答案】B【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，

∴AE＝AB−BE＝2.5−1.6＝0.9（米）．

在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝==1.5（米）

故选：B．【小结】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．4．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现绳子刚好拉直并且下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解析】设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．

在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，

∴x2+52=（x+1）2，

解得x=12，

∴AB=12．

∴旗杆的高12m．

故选：C．【小结】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，熟悉勾股定理是解题的关键．5．校园内有两棵树，相距12米，一棵树高为13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（）A．10米 B．11米 C．12米 D．13米【答案】D【分析】如图所示，AB，CD为树，且AB＝13，CD＝8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC．【解析】如图所示，AB，CD为树，且AB＝13，CD＝8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，在直角三角形AEC中，AC＝＝＝13．故选：D．【小结】本题考查勾股定理解直角三角形，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．6．小华想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开6m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．8m B．10m C．12m D．14m【答案】A【分析】根据勾股定理，设出AB=x,列出关系式解答即可.【解析】设旗杆的高AB为m，则绳子AC的长为m

在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²

∴

解得x=8

∴AB=8

∴旗杆的高8m.故答案选A.【小结】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的关系式是解决本题的关键.7．小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m后，发现这时绳子的下端正好距地面1m，学校旗杆的高度是（）A．21m B．13m C．10m D．8m【答案】B【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为x米，在Rt△ACH利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】如图，已知AB=AC，CD⊥BD，CH⊥AB，CD=BH=1米，CH=5米，设AB=AC=x米．在Rt△ACH中，∵AC2=AH2+CH2，∴x2=52+（x-1）2，∴x=13，∴AB=13（米），故选B．【小结】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．8．小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（）A．8米 B．10米 C．12米 D．13米【答案】D【解析】【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为x米，在Rt△ACH利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】如图，已知AB=AC，CD⊥BD，CH⊥AB，CD=1米，CH=5米，设AB=AC=x米．在Rt△ACH中，∵AC2=AH2+CH2，∴x2=52+（x-1）2，∴x=13，∴AB=13（米），故选：D．【小结】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．9．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是()．A．8米 B．10米 C．12米 D．14米【答案】C【解析】画出示意图如下所示：设旗杆的高AB为xm,则绳子AC的长为(x+1)m，在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2，∴x2+52=(x+1)2，解得：x=12，∴AB=12m，即旗杆的高是12m．故选C．10．小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开10m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【答案】C【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解析】如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，

在Rt△ABC中，BC=10米，

由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，

∴x2+102=（x+2）2，

解得：x=24，

∴AB=24．

∴旗杆的高24米，

故选：C．【小结】本题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理列出方程．11．如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为(

)A．(2+2)m B．(4+2)m C．(5+2)m D．7m【答案】B【分析】先根据勾股定理列式求出BD，则AD可求，AE也可求.【解析】由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，4BD2+BD2=100，BD=2，则AD=2BD=4，AE=AD+DE=4+2.故答案为B【小结】本题考查了勾股定理，灵活应用勾股定理求线段长是解题的关键.12．如图，小明为了测量校园里旗杆的高度，将测角仪竖直放在距旗杆底部点的位置，在处测得旗杆顶端的仰角为60°若测角仪的高度是，则旗杆的高度约为（）（精确到.参考数据：）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】过D作DE⊥AB，根据矩形的性质得出BC=DE=5m根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可得AD=10，根据勾股定理可得的长，根据AB=AE+BE=AE+CD算出答案.【解析】过D作DE⊥AB于点E，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为60°，∴∠ADE=60°．∴∠DAE=30°．∵BC=DE=5m，AD=2DE=10∴，∴AB=AE+BE=AE+CD=8.65+1.6=10.25m≈10.3m．故答案为:D【小结】本题考查了仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造出30°直角三角形模型是解决问题的关键.13．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子从顶端垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，那么学校旗杆的高度为()A．8米 B．10米 C．15米 D．17米【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理列出关于旗杆高的方程，解方程即可．【解析】设旗杆高为xm，由勾股定理得：

x2+82=（x+2）2

解得x=15．

故旗杆的高为15m．故选：C【小结】考查了勾股定理在生活中的应用，是基础知识比较简单．14．小明想知道学校旗杆（垂直地面）的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5m，且下端刚好接触地面，则旗杆的高是（）A．6m B．8m C．10m D．12m【答案】D【分析】将绳子下端拉开5m后,旗杆、绳子和地面组成了一个直角三角形,从已知条件中可得绳子长比旗杆高多1米,可设旗杆的高是xm,则绳长为(x+1)m,绳子的下端与旗杄底部距离5米,由题意可知,x+1是直角三角形的斜边;根据勾股定理得到方程x+5=(x+1),求解即可【解析】设旗杆高xm,则绳子长(x+1)m.根据题意,由勾股定理可得:x+5=(x+1)，解得x=12则旗杆的高度为12m故选D【小结】此题考查勾股定理的运用，难度不大15．从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有()m．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】首先根据题意画出图形，得到一个直角三角形．根据勾股定理，即可解答．【解析】由题意得，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，所以BC＝＝6．故选：C．【小结】能够把实际问题抽象出几何图形，再根据勾股定理进行计算．16．小亮想了解旗杆的高度，于是升旗的绳子拉倒旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆6m处，发现此时绳子末端距离地面1m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A．17mB．17.5mC．18mD．18.5m【答案】D【解析】【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x-1）m，BC=6m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x即可．【解析】设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x-1）m，BC=6m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-1）2+62=x2，解得：x=18.5，即旗杆的高度为18.5米，故选D．【小结】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．17．如图所示，AC是一根垂直于地面的木杆，B是木杆上的一点，且AB=2米，D是地面上一点，AD=3米.在B处有甲、乙两只猴子，D处有一堆食物.甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处，乙猴则向上爬到木杆顶C处腾空直扑到D处，如果两猴所经过的距离相等，则木杆的长为（）A．m B．2m C．3m D．5m【答案】B【解析】【分析】设BC=x，AC=（2+x），从题意可得到AB+AD=BC+CD可得CD=5-x，AB=2，AD=3，把数据代入DC

2=AC

2+AD

2，可得到一元二次方程．【解析】设BC的长为x米，

∵AB+AD=BC+CD，∴CD=5-x，∵AC

2+AD

2=DC

2,∴(2+x)2+32=(5-x)

2，

∴x=

，

AC=2+

=2m．

故选B．【小结】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及数形结合的思想，通过图形找到等量关系然后列方程求解．18．刘徽是我国三国时期杰出的数学大师，他的一生是为数学刻苦探究的一生，在数学理论上的贡献与成就十分突出，被称为“中国数学史上的牛顿”．刘徽精编了九个测量问题，都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的，这本著作是（）．A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《孙子算经》 D．《海岛算经》【答案】D【分析】运用《九章算术注》相关知识即可直接解答．【解析】由于《九章算术注》是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，该书第一卷的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，故本书的名称是《海岛算经》．故答案为D．【小结】本题主要考查了数学常识，了解一定的数学史以及数学著作是解答本题的关键．19．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A．10m B．11m C．12m D．13m【答案】B【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解析】设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，故选：B．【小结】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题.20．为测量大楼的高度，从距离大楼底部30米处的，有一条陡坡公路，车辆从沿坡度，坡面长13米的斜坡到达后，观测到大楼的顶端的仰角为30°，则大楼的高度为（）米．（精确到0.1米，，）A．26.0 B．29.2 C．31.1 D．32.2【答案】B【分析】过点D作DF⊥AB与点F，过点C作CE⊥DF与点E，通过解直角三角形可求出CE、DE、AF的长，再由AB=AF+BF即可求出结论．【解析】过点D作DF⊥AB与点F，过点C作CE⊥DF与点E，如图所示．∵CD的坡度i=1：2.4，CD=13，∴设CE=x，则DE=2.4x，∴CD=x=13，∴x=5，∴CE=5米，DE=12米．在Rt△ADF中，∠ADF=30°，DF=DE+EF=42，∴AF=DF•tan∠ADF≈24.2米，∴AB=AF+BF=29.2米．故选：B．【小结】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线，通过解直角三角形求出AF、CE的值是解题的关键．21．丽丽想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．4米 B．8米 C．10米 D．12米【答案】B【分析】据题意设出旗杆的高，表示绳子的长，再利用勾股定理即可求得绳子的长，即旗杆的高【解析】设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m．

根据题意得：

x2+62=（x+2）2，

解得x=8，

∴绳长为x+2=8+2=10．

故选：B．【小结】本题考查了勾股定理的应用的知识，根据题意应用勾股定理构造方程是解答关键．二、填空题22．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．【答案】x2−（x−3）2＝82【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【解析】设绳索长为x尺，根据题意得：x2−（x−3）2＝82，故答案为：x2−（x−3）2＝82．【小结】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．23．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为尺，木柱AB的长用含的代数式表示为__尺，根据题意，可列方程为___．【答案】【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程．【解析】设绳索长为x尺，则木柱长为尺，根据勾股定理可列方程：，故答案为：；．【小结】本题考查勾股定理的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．24．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为_____．【答案】【分析】根据题意可直接进行列式求解．【解析】由题意易得：；故答案为．【小结】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．25．如图，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为，利用勾股定理求出旗杆的高度约为__________．【答案】旗杆的高度为12米【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，利用勾股定理列出方程，解之即可求得旗杆的高度．【解析】设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米，

在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=（x+1）2，

解得，x=12．

答：旗杆的高度为12米．【小结】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键26．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有____m．【答案】4【解析】解如图所示：在RtABC中，BC=3，AC=5，由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2设旗杆顶部距离底部AB=x米，则有32+x2=52，解得x=4故答案为：4．【小结】本题考查勾股定理．27．小华将升旗的绳子从旗杆的顶端拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆的处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为______．【答案】17【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设旗杆的高度为xm，在中利用勾股定理即可得出答案．【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，则设旗杆的高度为xm，则在中，解得即旗杆的高度为17m故答案为：17．【小结】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容，构造出直角三角形是解题的关键．28．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何?译文是：今有门不知其高、宽，有竿，不知其长、短，横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为尺，则可列方程为__________．【答案】．【解析】【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．【解析】根据勾股定理可得：

，即x2-8x+16+x2-4x+4=x2，

解得：x1=2（不合题意舍去），x2=10，

10-2=8（尺），

10-4=6（尺）．

答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．

故答案为：．【小结】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解题的关键．29．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有____m．【答案】4【解析】解如图所示：在RtABC中，BC=3，AC=5，由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2设旗杆顶部距离底部AB=x米，则有32+x2=52，解得x=4故答案为：4．【小结】本题考查勾股定理．30．如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条钢缆，要求地面钢缆固定点与电线杆底部的距离是，则钢缆的长度为(不计接头)______________【答案】13m【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解析】在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴AC＝=＝13，答：钢缆的长度为13米，故答案为：13m．【小结】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．31．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆6m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的总长度为________m．【答案】10【分析】如详解图所示，可设绳子长度为，再用表示出旗杆中部分的长度，然后构造直角三角形用勾股定理列出等式，解之即可.【解析】解:如图，过作于，设绳子的长度为，则在中，即解得:,即绳子的长度为.故答案为:.【小结】本题主要考查勾股定理的实际应用，合理设未知数，构造直角三角形并运用勾股定理是解答关键.32．如图，从电线杆离地面5m处向地面拉一条长13m的固定缆绳，这条缆绳的固定点距离电线杆底部有_____m.【答案】12【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【解析】如图示：∵电线杆、地面及缆绳正好构成直角三角形，AC=5m，BC=13m，

∴（m）故答案为12．【小结】本题考查的是勾股定理的应用，有利于培养学生理论联系实际的能力．33．同学们想知道学校旗杆的高度，发现旗杆上的绳子垂到地面还多了2m，当它把绳子的下端拉开8m后，发现下端刚好接触地面，那么旗杆的高是_______米．【答案】15【分析】根据题意画出示意图，利用勾股定理可求出旗杆的高．【解析】如图所示：设旗杆AB=x米，则AC=（x+2）米，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+2）2=x2+82，解得：x=15．故答案为15.【小结】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是画出示意图，要求同学们熟练掌握勾股定理的表达式．34．在地面立一根为13米的电线杆，为了加固电线杆，在距电线杆顶端一米的地方向斜下方拉一条钢丝，钢丝所埋地点距电线杆底部5米，则钢丝最短需________米.（不计钢丝的损耗）【答案】13【解析】【分析】根据题意得到直角三角形，利用勾股定理求得斜边即可确定钢丝的长度．【解析】根据题意得：钢丝长为=13，故答案为13.【小结】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于利用勾股定理进行计算.35．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是______________．【答案】15米【分析】根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．【解析】设BD=米，则AD=（）米，CD=（）米，

∵，

∴，

解得．

即树的高度是10+5=15米．故答案为：15米．【小结】本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．36．如图所示，地面上竖立了一根木杆，顶端与地面上有绳索相连．在木杆的8米高处有两只猴子，一只猴子爬下木杆走到离木杆16米的处．另一只爬到杆顶后沿绳索滑至处，两只猴子所经过的路程相等，则这根木杆高__________米．【答案】12【分析】阅读题目信息可得两只猴子所经过的距离相等是指BD+AD=BC+AC=24，设BD=x，根据勾股定理列方程求解.【解析】设BD=x米，根据题意可得BD+AD=BC+AC，x+AD=8+16，∴AD=24-x，在RtΔACD中，由勾股定理得，，∴解得，x=4∴DC=x+8=4+8=12米，即这根木杆高12米.【小结】本题考查勾股定理的实际应用，通过图形找到等量关系列方程是解答此题的关键.37．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___米．【答案】13【分析】如图，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC．【解析】如图所示，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中，，则小鸟至少要飞13米．故答案为：13．【小结】本题考查的是解直角三角形的应用，解答本题的关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．三、解答题38．如图，从高米的电线杆的顶部处，向地面的固定点处拉一根铁丝，若点距电线杆底部的距离为米，现在准备一根长为米的铁丝，够用吗？请你说明理由．【答案】够用，理由见详解．【分析】用勾股定理求出AB边长，再与12比较大小，即可得到答案．【解析】够用，理由如下：在△ABC中，∠ACB=90°，∴AB==10，10<12，∴铁丝够用．【小结】本题考查勾股定理，根据勾股定理求斜边长，注意勾股定理的书写要强调在直角三角形中．39．如图为一棵大树，在树上距地面的处有两只猴子，它们同时发现处有一筐水果，一只猴子从处往上爬到树顶处，又沿滑绳到达处，另一只猴子从处滑到处，再由处跑到处.已知两只猴子所经过的路程都为，求树高.【答案】12m．【分析】在Rt△ABC中，设AD=xm，由题意可得AC=（15-x）m，BC=15-10=5m，根据勾股定理可得，解方程可以求x的值，即可计算树高AB=10+x．【解析】设AD=xm，由题意可得AC=（15-x）m，BC=15-10=5m，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：，

∴，

解得，x=2，即AD=2m，

∴AB=AD+DB=2+10=12m，

答：树高AB为12m．【小结】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．40．如图所示，线段AB是电杆的一条固定拉线，AB=2.5m，BC=1.5m，另一条拉线在地面上的固定点到杆底C的距离C=2.4m，拉线=2.5m.求电杆上两固定点A和的距离.【答案】1.3m.【解析】【分析】在Rt△ABC和Rt△C中，利用勾股定理分别求出AC和C，即可得A的长.【解析】在Rt△ABC和Rt△C中，AC=m，C=m，∴A=AC-C=2-0.7=1.3m.答：电杆上两固定点A和的距离是1.3m.故答案为：1.3m.【小结】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．41．如图是某体育广场上的秋千，秋千静止时，其下端离地面0.7m，秋千荡到最高位置时，其下端离地面1.2m，此时秋千与静止位置时的水平距离为1.5m，请你根据以上数据计算秋千摆绳的长度．【答案】．【分析】根据题意画出图形，表示出图形中相关线段的长，再利用勾股定理得出答案．【解析】如图，作BE⊥OA，垂足为E，由题意得，，，，∴，．设，则．在中，由勾股定理得，，即，解得．答：秋千摆绳的长度为．【小结】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确表示出各边长，运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．42．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子拉展后，下端刚好接触地面，被拉直的绳子下端拉开5m（绳子下端与旗杆根部的距离），请你帮小明计算旗杆的高．【答案】12m．【分析】设的长是m，则的长是m，在中，由勾股定理得，据此代入，结合方程思想即可解题．【解析】如图，表示旗杆，表示拉展的绳子，设的长是m，则的长是m，在中，∴整理得：解得：答：旗杆的高是12m．【小结】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．43．下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD=1米，AD=15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．

【答案】小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．【分析】延长FC交AB于点G，设BG=x米，在Rt△BGC中利用勾股定理可求x，进而可得AB的正确长度【解析】如图，延长FC交AB于点G

则CG⊥AB，AG=CD=1米，GC=AD=15米设BG=x米，则BC=(26－1－x)米在Rt△BGC中，∵∴解得∴BA=BG＋GA=8+1=9（米）∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．【小结】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形44．如图，为测量某写字楼的高度，小明在点测得点的仰角为30°，朝写字楼方向前进，到达点，再次测得点的仰角为60°，试求写字楼的高度．【答案】【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．【解析】由题意，知，，∴．∴．∴．在中，∵，∴．答：写字楼的高度为．【小结】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．45．如图，要从电线杆离地面5米处向地面拉一条13米长的拉线，求地面拉线固定点A到电线杆底部B的距离．【答案】12米【分析】在直角三角形ABC中利用勾股定理可得AB2=AC2-BC2=132-52=122，进而得到AB长．【解析】在Rt△ABC中，BC=5，AC=13，

由勾股定理，得AB2=AC2-BC2=132-52=122，

所以AB=12（米）．

所以地面拉线固定点A到电线杆底部B的距离为12米．【小结】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．46．小刚想知道学校升旗杆的高度，他发现旗杆顶端处的绳子垂到地面后还多米；当他把绳子拉直后并使下端刚好接触地面，发现绳子下端离旗杆下端米．请你帮小刚把旗杆的高度求出来．【答案】4米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【解析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，

根据勾股定理可得：x2+32=（x+1）2，

解得，x=4．

答：旗杆的高度为4米．【小结】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解答本题的关键是用未知数表示出三边长度，利用勾股定理解答．47．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．【答案】风筝距离地面的高度AB为12米．【分析】设，从而可得，再利用勾股定理即可得．【解析】由题意得：是直角三角形，，米设，则在中，由勾股定理得：，即解得（米）答：风筝距离地面的高度AB为12米．【小结】本题考查了勾股定理的实际应用，理解题意，得出AB与AC的关系是解题关键．48．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)．【答案】2.9．【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，代入数可得答案．【解析】由题意可得：米，，，米，米，米，，，，，，则（米．【小结】本题主要考查了勾股定理得应用，熟悉相关性质是阶梯的关键．49．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺=10寸），则的长是多少?【答案】101寸【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【解析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA=OB=AD=BC，设OA=OB=AD=BC=r寸，则AB=2r（寸），DE=10寸，OE=CD=1寸，∴AE=（r1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即（r1）2+102=r2，解得：r=50.5，∴2r=101（寸），∴AB=101寸．【小结】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．50．如图，花果山上有两只猴子在一棵树上的点B处，且，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树处的A处，另一只猴子乙先爬到项D处后再沿缆绳滑到A处．己知两只猴子所经过的路程相等，设为．求这棵树高有多少米?【答案】7.5米【分析】已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA=BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．【解析】设BD为x米，且存在BD+DA=BC+CA，即BD+DA=15，DA=15-x，∵∠C=90°，∴AD2=AC2+DC2，∴（15-x）2=（x+5）2+102，∴x=2.5，∴CD=5+2.5=7.5，答：树高7.5米．【小结】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出BD+DA=BC+CA的等量关系并根据直角△ACD求BD是解题的关键．51．如图所示，小明在测量旗杆的高度时发现，国旗的升降绳自然下垂到地面时，还剩余0.3米，小明走到距离国旗底部6米的C处，把绳子拉直，绳子末端恰好位于他的头顶D处，假设小明的身高为1.5米，求旗杆的高度是多少米？【答案】旗杆的高度为10.6米【分析】过点D作，垂足为E，可证四边形为长方形，可知米，设旗杆高度为米，则绳子长度为米，米，在中，由勾股定理，得，，解方程即可．【解析】过点D作，垂足为E，∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠EBC=∠BCD=∠BED=90°，∴四边形为长方形，∴米，设旗杆高度为米，则绳子长度为米，米，在中，由勾股定理，得，∴，整理得，即，解得．答：旗杆的高度为10.6米．【小结】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，掌握勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，利用勾股定理结合旗杆与绳长的关系构造方程是解题关键．52．如图1，创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，图2为从此场景中抽象出的数学模型，宣传牌（）顶端有一根绳子（），自然垂下后，绳子底端离地面还有（即），工作人员将绳子底端拉到离宣传牌处（即点到的距离为），绳子正好拉直，已知工作人员身高（）为，求宣传牌（）的高度．【答案】【分析】过点作于点，构造直角三角形，设，根据勾股定理列方程，求出AF，再根据矩形性质，加上DE长即可．【解析】如图，过点作于点．由题意，得，，，，∴．设，则，在中，，由勾股定理，得，即，解得．∴．答：宣传牌（）的高度为．【小结】本题考查了勾股定理的应用和矩形的性质，恰当的作出辅助线，构造直角三角形，应用勾股定理建立方程是解题关键．53．如图，某人为了测量小山顶上的塔顶离地面的高度，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为，再沿方向前进到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，求的高度（结果保留根号）【答案】【分析】由题意得出∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，设BC=x，表示出BD，CD和AC的长，利用AB=60得到方程，求出x，最后根据DC=x得到结果．【解析】由题知，∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，∴∠BDC=30°，△ACD是等腰直角三角形，设BC=x，∴BD=2x，∴CD==x=AC，∴AB=AC-BC=x-x=（-1）x=60，解得：x==，∴DC=x=，答：塔高约为．【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用勾股定理的知识求解，难度一般．54．在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘，另一只猴子爬到树顶后直接跃向池塘的处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高．【答案】树高为15m.【分析】设树高BC为xm，则可用x分别表示出AC，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得x的值．【解析】设树高BC为xm，则CD=x-10，则题意可知BD+AB=10+20=30，∴AC=30-CD=30-（x-10）=40-x，∵△ABC为直角三角形，∴AC2=AB2+BC2，即（40-x）2=202+x2，解得x=15，即树高为15m，【小结】本题主要考查勾股定理的应用，用树的高度表示出AC，利用勾股定理得到方程是解题的关键．55．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为400cm，彩旗完全展开时的尺寸是如图①所示的长方形，其中∠B=90°，AB=90cm，BC=120cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②所示．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．【答案】彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为250cm．【分析】根