2025-2026学年吉林省长春市榆树市慧望中学九年级（上）期末数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年吉林省长春市榆树市慧望中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.将一元二次方程x（x-3）=4化成一般形式正确的是（）A.x2-3x-4=0 B.x2+3x+4=0 C.x2-3x+4=0 D.x2+3x-4=03.大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金分割比.如图，B为AC的黄金分割点（即）.若AC=100cm,则BC的长约为（）A.42cm

B.38.2cm

C.61.8cm

D.70cm4.吉林省于2025年12月3日至7日面向全省义务教育阶段学生设立了为期5天的“冰雪假期”，许多学生都来到了滑雪场.如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为500米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB为（）米.A. B. C.500cos20° D.500sin20°5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=125°，则∠BOD的度数是（）A.130°

B.110°

C.115°

D.125°6.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A.掷一枚一元硬币，落地后正面朝上

B.掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是2的倍数

C.一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球，取出的球是红球

D.在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯7.抛物线y=4x2-1的图象上两点A（m,3）、（n,3）、（m≠n），当x=m+n时，对应的函数值为（）A.-1 B.3 C.0 D.无法确定8.如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB.若AO⊥BO，且，则k的值为（）A.1

B.

C.-1

D.-2

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9.计算：=

.10.二次函数y=（x+1）2-2的最小值是______．11.已知关于x的一元二次方程x2-kx-6=0的一个根为x=-3，则k的值为

.12.如图，△ABC和△A′B′C是以点C为位似中心的位似图形，且△A′B′C和△ABC的面积之比为1：4，点C的坐标为（1，0），若点A的对应点A′的横坐标为-2，则点A的横坐标为

.

13.长春市正在进行地铁五号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌（如图）.小明在离指示牌水平距离3m的点A处测得指示牌顶端点D和底端点E的仰角分别为60°和30°，则路况指示牌的高DE为

m.

14.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A（m,0），有以下四个结论：①b＜0；②m＞-2；③ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根；④.其中正确的结论有

（填写所有正确结论的序号）.

三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题6分)

计算：（-1）2025+2sin245°-cos30°+tan60°.16.(本小题6分)

解方程：

（1）x2+8x-12=0；

（2）（x+2）（x-1）=2-2x.17.(本小题6分)

净月潭国家森林公园计划新建一段长方形的森林徒步道，供游客休闲观景.已知这段徒步道的长比宽多4米，徒步道的面积为45平方米，求该徒步道的长和宽各是多少米？18.(本小题7分)

第33届世界大学生运动会将于2027年在长春举办，某班级为宣传大运文化选拔志愿者，制作了背面完全相同，正面分别写着“赛事服务”“礼仪引导”“后勤保障”三个志愿岗位的三张卡片.

（1）若小红随机抽取一张卡片，恰好正面是“文艺表演”的事件是______.

A.必然事件

B.随机事件

C.不可能事件

（2）若小红随机抽取一张卡片，记下正面内容，放回并洗匀，小明再从中随机抽取一张，求两人恰好抽中同一志愿岗位的概率.19.(本小题7分)

图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC内接于⊙O，且点A、B、C、O均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图.

（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出∠ADB，使∠ADB=∠ACB.

（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=180°.

（3）在图③中的圆上找一点F，使得BF平分∠ABC.20.(本小题7分)

如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．

（1）若∠ABD=2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．

（2）若⊙O的半径为，tan∠BDC=，求AC的长．21.(本小题8分)

某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中OA是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，AB是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米.现以OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若保温墙AB到点O的距离OA=8米，求出保温墙AB的高度.22.(本小题9分)

【模型初识】“一箭穿心”是圆中最值问题的核心解题模型，其核心结论是：过圆外定点和圆心的直线与圆相交于两点，这两点到圆外定点的距离分别为该定点到圆上点的最大值和最小值.

【探究证明】（1）如图①，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段.

证明：如图②，在⊙O上任意取一个不同于点A的点C，连接OC、CP.

则有OP＜OC+PC（▲）请补全▲处缺失的依据.

即OP-OC＜PC.

由OA=OC得OP-OA＜PC，即PA＜PC.

从而得出线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段.

（2）小琳认为在图①中，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段，你认为小琳的说法正确吗？请说明理由.

【直接运用】

（3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以BC为直径的半圆交AB于D，P是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是______.

（4）如图④，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，5），⊙A的半径为3，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是______.

【灵活运用】

（5）如图⑤，⊙O的半径为6，弦AB=6，点C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于点M，则△ABM面积的最大值是______.

23.(本小题10分)

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，BC=10，点P在边AC上，点Q在边BC上，且AP=CQ，连接PQ，以PQ为斜边作等腰直角△PQR（∠PRQ=90°），使点R与点C在直线PQ的同侧.

（1）AC边的长为______.

（2）当点P为AC中点时，求点Q到直线AB的距离；

（3）当点R在△ABC的边上时，求AP的长；

（4）当点P到直线BC的距离是点R到直线BC的距离的3倍时，直接写出AP的长.24.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（2，-5），与y轴的交点坐标为（0，-1），点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、，已知点E（2，0），作点A关于点E的对称点C，作点B关于点E的对称点D，构造四边形ABCD.

（1）求该抛物线所对应的函数表达式.

（2）设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值.

（3）当m＞1时，若抛物线在四边形ABCD内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，求m的取值范围.

（4）当四边形ABCD是矩形时，直接写出m的值.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】

10.【答案】-2

11.【答案】-1

12.【答案】7

13.【答案】

14.【答案】①③④

15.【答案】．

16.【答案】解：（1）x2+8x-12=0，

（x-2）（x-6）=0，

∴x-2=0或x-6=0，

∴x1=2，x2=6；

（2）（x+2）（x-1）=2-2x,

（x+2）（x-1）-2（1-x）=0，

（x-1）（x+2+2）=0

∴x+4=0或x-1=0，

∴x1=-4，x2=1．

17.【答案】长为9米，宽为5米．

18.【答案】C

19.【答案】如图，∠ADB即为所求；

如图，∠AEC即为所求；

如图，点F即为所求．

20.【答案】解：（1）连接OC，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠COB=2∠OAC，

∵∠BDC=∠OAC，∠ABD=2∠BDC，

∴∠COB=∠ABD，

∴OC∥DE，

∵CE⊥DB，∠CED=90°，

∴∠OCE=90°，OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线．

（2）连接BC，

∵∠BDC=∠BAC，

∴tan∠BAC=tan∠BDC=，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，

∴=，

设BC=x,AC=2x,

∴AB=x,

∵⊙O的半径为，

∴x=2，

∴x=2，

∴A