二轮复习平面向量的线性运算作业

平面向量的线性运算

一、单选题（共15小题）

1.在△ABC中，点M为边BC的中点，点N在线段AM上，并且3AN=2NM,则际=（）

A.一看屈+《菽B.A'S-i-ACc.ACD.-IAB-4-AC

55555555

【答案】A

【分析】可画出图形，根据B为边BC的中点即可得山薪=萩+品，而根据3AN=2NM可得出正二萩+AC

25

从而根据币5=AN-标进行向量的数乘运算即可得HlBN.

【解答】解:如图,

・・M为BC的中点，AM=AB+AC

2

又3AN=2NM,.•・福章赢”:AC,

••・BN=AN-AB二等5寺

故选：A.

【知识点】向量数乘和线性运算

2.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE二靠近点A的三等分点，则而=（）

A，WAB4AD4-AB^-AEC4-AB-7-ADD・

33333634

【答案】C

【分析】利用平面向量的基本定理，用标和专线性表示币向量即可.

【解答】解:由可知,DF=DA+AF=-AD-4AE=-标出（标+在）=・标"版+4标=春标415,

333636

故选：C.

【知识点】平面向量的基本定理、向量数乘和线性运算

3.在AABC所在平面上有三点P、Q、R,满足强+而+氏=标，QA+QB+QC=BC«而+近十菽=取，

则△PQR的面积与△ABC的面积之比为（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5

【答案】B

【分析】将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简得到元二2屈，利用向量共线的充要条件得到P

是AC的三等分点，同理得到Q、R分别是AB,BC的三等分点；利用三角形的面积公式求出三角

形的面积比.

【解答】解：由苏+强+玩=屈，得而+云=标・而，

即江+玩=标+而，

即江+玩=.，

:.PC=2AP，

P为线段AC的一个三等分点，

同理可得Q、R的位置，

△PQR的面积为AABC的面积减去三个小三角形面积，

工面积比为1：3；

故选：B.

【知识点】相似三角形的性质、向量加减混合运算

4.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）

A.AB=DCB.AE+AB=ACC.BC+DC=CA1）.同百=

【答案】C

【分析】根据向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质解答即可.

【解答】解：由平行四边形的性质，可得

AB=DC»选项A正确；

由向量加法的平行四边形法则，可得

AD+AB=AC»选项B正确：

VAD+-S^+DA^

・•・选项D正确；

,：BC+DC=BC+AB=AC*

・•・选项C错误.

故选：C.

【知识点】向量加减混合运算

5.如图，在△ABC中，AN=2NC.P是BN上一点，若"S=t标+工菽，则实数t的值为（）

3

02/21

N

B

A.AB.2c.AD.旦

6324

【答案】C

【分析】根据右二2.即可得出正=|五，进而可得出屈一盅得而，然后根据B,P,N三点共线即

可得出t的值.

【解答】解：・・・祈:2.，

-e-AP=tABAC=tABAN*且B,P,N三点共线，

・•・t」=l，解得

X2112

故选：C.

【知识点】向晟加减混合运算

6.设0为两个非零向量，的夹隹，已知对任意实数t,|-t|的最小值为1,则()

A.若0确定，则||唯一确定B.若0确定，则||唯一确定

C.若||确定，则0唯一确定D.若||确定，则0唯一确定

【答案】B

【分析】先将I-ll平方，化简后可看成关于I的二次函数，然后求出其最小值，观查分析最小值中含有

哪些量，再进一步分析即可！

【解答】解：易知IE』后|2-2t|；||3|cose+t2|；|2,

令尸|；12t2-2t|；|E|cos8+|E|2,当时,y取得最小值L

IaI

2222

即l；|^^-2x^^x|；||b|coSe+|b|=|b|sine=r

Ia|IaI

可见当0确定时，II唯一确定下来；但II确定时，0的值在(0,n)可能有两个.

故选:B.

【知识点】两向量的和或差的模的最值

7.设，，为非零不共线向量，若|-t+(l・t)|》|-|(teR),则()

A.(+)±(-)B.(+)_L(+)C.(+)_L(+)D.(-)±(+)

【答案】D

【分析】因为对任意的实数t£R,不等式|・t+(l・t)|^|-|(t£R)恒成立，所以把不笔式整理成关

于t一元二次不等式.

【解答】解.：设，，为非零不共线向量，

若|-t+(1-t)|2|-|(tGR),

则I(a-c)+(l-t)(c+b)»l-I,

**•I(a-c)+(l・t)(b+c)『21a-c/，

化简得，(1-t)2(b+c)2+2(1-t)(b+c)?(a-c)20，

即(b+c)2t2-2[(b+c)2+(b+c)(a-C)](b+c)?+2(b+c)(”c)20,

/.△=4[(b+7)(a-^)]2<0,

；・(b+c)(a-c)=0,

(b+c)-L(a-c)・

故选：D.

【知识点】两向量的和或差的模的最值

8.已知||=1,|+|+|-|=4,则||的最大值是()

A.V2B.2C.V6D.2V2

【答案】B

【分析】由平行四边形法则可得,l+l，I・I为三角形的边长，如图所示，再由余弦定理可得IOB的表达

式，由角的三角函数的范围可得|0B|的最大值.

【解答】解：设0A=，0B=»则0C=+，BA=-，设NA0B=a,则/0BC=n-a,

因为|OA|=|BC|=|=L|OB|=|I，|+|=|0Cl2=|0C|2,Ia-bl=|AB|,

在△OBC中，由余弦定理可得|0CI=d|OB产+lBC|2-2|0B|,|BC|,COS(兀-a：=

Vl+lOB|2+2|0B|-Cosa'

2=2

在AOAB'I'IABI=yj|0A1+1OBI2-2|0AI-|0B|cosaV1+|OB1-2|0B|-cosa-

因为1+1+-1=4,所以II+IOB12+2|0BI・cosa+Jl+lOB12-2|0B|・cosa=%

即Jl+lOB|2+2|0E|・cosa=4-A/1+|0B12-2|0B|-cosCf

两边平方整理可得：2di+|0BI2-2|0B1・cosa=4■|OB|?COSa,

再两边平方可得：|0B『=——e[3,4],所以|0B|的最大值为2,

4-cos4a

故选：B.

04/21

a

【知识点】两向量的和或差的模的最值

9.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则正=（）

A-4-AB-7AEB.-^-AD-7ABaAB-^7-ADD-JAD^AB

24242424

【答案】A

【分析】根据条件可画出图形，根据向量加法、减法和数乘的几何意义即可用屈，标表示出向量而.

【解答】解：如图，•・•四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，F为AE的中点，

:.DF=AF-AD

=yAE-AE

1.»»

=y（AB+BE）-AD

乙

1♦1^^―•

=不（杷=ADA虹

乙乙

1一Q-

=-^AB4-AE-

24

故选：A.

【知识点】向量数乘和线性运算

10.在aABC中，点D为BC中点，则而」•以=（）

2

A.ADB.-i-^DC4-ACD.-yCA

乙乙乙

【答案】C

【分析】根据共线向量的规定，即可得而=▲证,再根据向量减法的几何意义便可得到而二或=』正

222

-4■百=《＜BC-而）=4-AC-

222

【解答】解：ZXABC中，点D为BC中点，

・•・BD=-BC，

2

BDBABC,嬴=£（菽-裒）=,菽•

-^乙=乙-1乙-乙乙2

故选：C.

【知识点】向量数乘和线性运算

11.在AABC中,AB=>菽=，M=—BC，则标=（)

3

A.2+2Bc

33fit4

【答案】A

【分析】根据条件可得出前二EG，从而得出疝=思亨5=!七|~（5三），然后进行向量的数乘运算即

可.

【解答】解：・・•屈菽品

***BC=AC-AB=b-

AAD=^+BD=a-H|-BC=

故选:A.

【知识点】向量数乘和线性运算

12.设E为△ABC所在平面内一点，若BC=2EC，则（）

A.AE=-1AB+^ACB.AE=^AE-AC

2223

C.AE=-1AB+^ACD.AE=^AE-AC

2322

【答案】A

【分析】直接利用向量的线性运算的应用和减法求出结果.

【解答】解：E为aABC所在平面内一点，若菽=2应，

根据向量的线性运算：AC-AB=2（AC-AE），

则标总正弓'冠

故选：A.

【知识点】向量数乘和线性运算

13.在梯形ABQ）中，AB=4DC，则正等于（）

A.-AAB+J.-SB.-AB*AEC.AB-AED.-旦标+S标

444444

【答案】B

【分析】根据标=4五即可得出血=4［正标-靛）］，然后进行向量的数乘运算即可解出近.

【解答】解：•・•AB=4DG

AAB=4(BC-BD)，AAB=4[BC-('S-AB)],

06/21

•*-BC=-4AB+AE-

4

故选：B.

【知识点】向量数乘和线性运算

14.在△ABC中，D点满足丽=2巾，则布=()

A.3CD-2CAB.3CE+2CAC.2CD-3CA【).2CD+3CA

【答案】A

【分析】由题意利用平面向量的运算即可求解.

【解答】解：无=以+屈=忌+3标=取+3(CD-CA)=3而・2忌.

故选：A.

【知识点】向量数乘和线性运算

15.平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足丽=2.，若标:入京+四讪，则人+口的值是()

A.4B.2C.AD.A

42

【答案】D

【分析】利用M为CD的中点，点N满足而=2而,得到而』而，而N■近，再将等式屈=入高+四菽

23

转化成标，标的关系，从而得到入，U的方程，求解即可.

【解答】解：根据题意可得，5N=^DC»BN=-^-BC*

23

因为标=入晶+四福，

所以屈=入(标+而i)+H(AB+BN)

=x(AD^-DC)+|X(AB-HyBC)

1-^=0

由平面向量基本定理可得

rx=-l

解得3,

r=2

所以入+W=]•

故选；D.

【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理

二、填空题（共10小题）

16.在aABC中，AB=2,AC=1.D是BC边上的中点，则标•反的值为.

【分析】把标二处变和它=正-标代入要求的式子化询可得结果.

2

"~~♦2—♦2

【解答】解：75•菽=配+AC?（AC-AB）=AC-研=上1=一旦,

2222

故答案为：一旦.

2

【知识点】向量数乘和线性运算

17.正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A,B,C,D,E

是正五边形的五个顶点，且躯=返工，若而=,则而+而=（用表示）.

AM2

【分析】根据幽巫11可得出处XL乜，进而得出冠巫工：并且而=而，而=-水，从而可

AM2QN22

用表示出CP+NM.

・・QN二MN二fT

【解答】解:

,AN'AM"2

.AN二2二遍T

**QN=V5-1=2

・启—布+1端一述+1一

••NA=~z-QN=~--a，

乙乙

・•・CP+NM=MA-MN=NA=返°Z.

2

故答案为：近工：

2@

08/21

【知识点】向量数乘和线性运算

18.已知向量，满足|a+b|=2>|a-b|=V3*则|Z|+|EI的最大值为一.

【分析】根据向最加法、减法、余弦定理和基本不等式求解.

【解答】解：如图，设V,>=。，

在4ABD和AABC中分别用余弦定理得：

|1|2+|b|2-2laI?lb|cos0=^2,①

Ia|2+lbI2_2laI?lb|cos（n-o）=22,②

①+②得：|Z|2+|E|2=9

・•・（|；|+-1）2=|；|2+后|2+2|aI?|b|=l+2|；|?R区］+|；内其|2=

乙乙

工—=7,（当且仅当|1|="|bH"=”成立.）

22

A

Ia|+|b|<^

故答案为：V7.

【知识点】两向量的和或差的模的最值

19.已知||=1,向量满足|-|+|+|=4,则||的最小值为一.

【分析】直接利用基本不等式的应用和向软的数量积和平行四边形的性质求出结果.

2222

【解答】解：根据向量的数量积和平行四边形的性质:|7+b|+|l-b|=2（|l|+|b|）»

22（a+b）2

根据不等式的性质：a+b>-

2

222

由基本不等式的应用，可得|；+b|+|；-b|>|x（|；+bhl；+b|）^当且仅当

Ia+bI=|a-b|时等号成立.

所以2（|；|2+后|2）〉（蜀山乎AD二

A2

整理得2（1+|b|2）>解得|b|>^

所以II的最小值为加.

故答案为：V3

【知识点】两向量的和或差的模的最值

20.已知向量彳=（2,b=（n,3），若a=2^，则m+n=.

【答案】7

【分析】根据题意，a=2b列出方程组，即可求得m和n的值，进而求出m+n的值.

【解答】解：由题意胃=(2,m),b=(n,3)，a=2b

可得.2n2，解得m=6,n=l,

m=2X3,

贝I」m+n=6+l=7.

故答案为；7.

【知识点】向量数乘和线性运算

21.已知四边形ABCD中,AD/7BC,ZBAD=90°,AD=1,BC=2,M是AB边上的动点,则|证+2而|的最

小值为一.

【答案】4

【分析】根据条件可以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并设AB=m,从而得出D

(1,m),C(2,0),并设M(0,t),并且te[0,m],从而可得出|死+2而|=V16+(2m-3t)24,

从而得出答案.

【解答】解：建立如图的直角坐标系，

设AB=m,M(0,t),te[0,m],由题意可知，c(2,0),D(l,m),MC=(2,-t)，

MD=(1,nrt>MC+2MD=(4,2nr3t>

**•|MC+2MD|=V16+(2m-3t)2^4,当且仅当1普时取等号，

即I元+2而I的最小值为4.

故答案为：4

【知识点】两向量的和或差的模的最值

22.如图所示，ABCD是梯形，AD〃BC,AD=2BC,设标=,CD=,用，表示菽=

【分析】由题意，放在AABC和ZkACD中，运用向量的三角形法则，即可用之和三来表示出菽.

【解答】解：由题，AD/7BC,AD=2BC,

10/21

AC=AB+BC=AB-^AE=AB-H|AC^-CD*

AyAC=AB-^CE>

：•AC=2a+b.

故答案为：2a+b.

【知识点】向量的三角形法则

23.已知|1|=2,lb|=La+b=(2,-V3),则G-2El=一.

【答案】2

【分析】由已知结合向量数量积的性质即可直接求解.

【解答】解：因为la1=2，lbl=Ll+b=(2,-内

所以铲+$+2；■而7,

所以a・匕一1，

则|1-2芯|2=l2-4a*b+4b2=4-4X1+4=4,

则|a-2b|=2.

故答案为：2.

【知识点】向量数乘和线性运算

24.已知向量=(1,0),=(入，2),|2a-bl=Ia+bl>则入=

【分析】求出甚-三和W+%的坐乐，根据模长公式列方程求出X的值.

【解答】解：旗-7=(2-入，-2),a+b=(1+入，2),

,•*I2a-bl=1a+b»

(2-x)2+4=(1+X)2+4,

解得x=l.

2

故答案为：1.

2

【知识点】两向量的和或差的模的最值

25.计算：0P+NQ+MN-MF=.

【分析1利用向量线性运算性质即可得出.

【解答】解：OP+NQ+MN-MF=0P+PM+MN+NQ=0Q.

故答案为：0Q.

【知识点】向量加减混合运算

三、解答题（共10小题）

26.如图，在△0AB中，点P为直线AB上的一个动点，且满足2标，Q是0B中点.

3

（I）若0（0,0）,A（1,3）,B（2，0）,且示至，求前的坐标和模？

33

（II）若AQ与0P的交点为M,又赢=1而，求实数t的值.

【分析】（【）根据题意，而=而-福，代入可求，然后结合向量模长的坐标表示可求，

（II）由方卷旋，然后结合向量的线性表示可转化为0P=-|-0A-ky0B»再结合0M=t0P=

,结合平面向量基本定理可求.

【解答】解.：（I）根据题意，Q是0B中点，即OQ=LOB，

2

又ON=《OA，且A（L3）,B（］,Q）,

若0（0,0）,A（1,3）,B（区，0）,且示=」正，

33

可知OQ=（―,0）,ON=<—,1），

33

ANQ=0Q-0N=-1），

且INQl=N/+（_］）2=

（II）因为和［最

O

所以而-示=］（而-而），可以化简为：而=电24布,

又而i=t*6?=t（额X卷而），

不妨再设ET叩了，即诬-正=|1（0Q-0A），

所以万=（1-口）忌+［100®,

12/21

由Q是OB的中点，所以而△■连，

2

即祈=（1-U）示+今而②，

由①②，可得1-U=2L,其，，

323

联立得t=3.

4

【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理

27.如图，己知ZXABC中，D为BC的中点，AE=1EC,AD,BE交于点F,设菽=,标=.

2

（I）用，分别表示向量屈，EB；

（2）若AF=tAE，求实数t的值.

【分析】（1）利用向量的线性运算，即可用，分别表示向量AB，EB;

（2）若赤=t标,利用标，标共线，求实数t的值.

【解答】解：（1）由题意，D为BC的中点，口标

3

V/+菽=2元,

，AB=2・，

・•・EB=AB-AE=2--1=-A+2；

33

（2）VAF=tAE=t,

-FB=AB-AF=-+（2-1）,

VEB=-A+2,祚，标共线，

3

,-1_2-t

,——2，

F

t=­.

2

【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理

28.已知平行四边形OABC中，若P是该平面上任意一点，则满足而二人而+以五（入，u£R）.

（I）若P是BC的中点，求N+u的值；

（2）根据A,B,P三点共线可得出京与屈共线，从而得出至二k"S，进而得出

OP=（l-k）OA+kOE.这样根据平面向量基本定理即可得出X+u=l.

【解答】解：⑴若P是BC的中点,则而4丽+羽）=2（而+而-赢）=-^-OA+OB'

乙乙乙

XOP=XOA+[1M

・•・根据平面向量基本定理得，■2,

|1=1

*,•入+四斗

（2）证明：VA,B,P三点共线,

；・族和族共线，

・•・存在实数k,使而二k'S，

AOP-OA=k（OBJOA），

・•・OP=（l-k）OA+kOB，

VOP=XOA+HOB.

，根据平面向量基本定理得，入+u=l-k+k=l.

【知识点】向量数乘和线性运算

29.如图所示，在△ABO中，羽上茄，诬小布，AD与BC相交于点U,设0A=a，OB=b-

42

（1）试用向量，表示而：

（2）过点M作直线EF,分别交线段AC,BD于点E,F.记衩=入Z，OF=|1b求证：京-工为定值.

ALL

14/21

B

【分析】（1）由A,M,I）三点共线，可设方=血+（1-0）而=卷上见总由B，M,C三点共线，可设

OM=nOC+(l-n)0B=—a+(l-n)b»

4

1

由平面向量基本定理可得：因为，不共线，所以〈，解得m=>y,nJ'

1-m77

-1-n

（2）由向量表示二点共线得：设而=卜次+（1，）而=k入；+（i-k）uf，由（i）如k人」，

7

(1-k)=-|-»即(=7k，-^-=7-7k,所以得解

fA人pi

【解答】解：⑴由A,M,D三点共线，可设而;位而=m；得工，

由B,M,C三点共线，njTaOM=nOC+（l-n）OB=^-a+（l-n）h

4

因为,不共线，

1

m=^n

所以《1-m1解得m=^_,n=y*

亍=l-n

故OM[a

（2）因为E,M,F三点共线,

®OM=kOE+(l-k)OF=kXa+(l-k)|1b

由(l)知k入(1-k)

即十二7k，-^-=7-7k*

【知识点】向量数乘和线性运算

30.如图，平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,NBAD=60°,点E、F分别为AD、DC边的中点，BE与AF

相交于点0.记AB=,AD=.

（1）用、表示BE，并求IBEI；

（2）若A0=入AF，求实数人的值.

2

【分析】（1）由向量的线性运算得：就=标-标=」标-标=2-二，BE=A/lu.

22V4b

⑵设菽=入房，而叩诿，由向量的线性运算得:在△ABO中有诟=标+正，所以XAF

［入哈J2

人h^"

5

=AB+四BE，所以入（4）=+u（▲二），又，不共线，则.入，解得：，

2

M5

得解

【解答】解：（1）BE=AE-AB=AD-AB=-i-Z

22

BEl=#-—；芯+丁=^l-4X2Xy+16=叮;

（2）设菽=XAF.BO=HBE.

在AABO中有无=屈+而,

所以入AF=AB+NBE，

所以入（v）=+\i（A.-

2

\J£

,-2

又，不共线，贝叱

X

丁口小

、2

解得：，

|1』

M5

故实数入的值为2.

5

【知识点】向最数乘和线性运算

31.（1）已知A、B、P三点共线，0为任意一点，若而=山赢+赢.求证m+n=l；

16/21

（2）如图，已知△OAB中，点B关于点A的

对称点为C,D在线段0B上，且0D=2DB,

DC和0A相交于点E.设m=,0B=.

若祈=入不，求实数人的值.

C

【分析】（1）利用三点共线得到数乘关系，再结合向量加减法用水，族表示作，即可得证；

（2）利用三点共线设而二k五，进而用含k的式子表示肩，再结合而二人不，用含x的式

子表示肩，对比系数即可得解.

【解答】解：（1）证明：TA、B、P三点共线，

，可设历二四靛，

・•・OP=OA+AP

=OA+kiAB

=0A+I1（OB-OA）

=（1-M）OA+ktOB，

又•；OP=mOA+nOB»

・・・112叫

,IW=n'

m+n=l；

（2）解：由C、D、E三点共线，

可设混二k亘，

V0D=2DB,

・•・瓦4•丽与，

33

又前二2而，

・•・OC=OB+BC

=OB+2BA

=OB+2（OA-OB）

=2a-E，

ACD=OD-OC

0―♦——

=fb-（2a-b）

J

5——

=-fb-2a»

-♦-•H——

••CE=kCD=-kb-2ks,

而OE二人OA=入a

ACE=OE-OC

=入a-（2a-b）

=b+（入-2）a»

匡1

・•・{3，

-2k=入-2

解得人二，

5

故实数人的值为：9.

5

【知识点】向量数乘和线性运算

32.已知向量上（_3,2），E二（2,l）^c=（3,-l）^t£R.

（1）求G+tE|的最小值；

（2）若Z-tE与共线，求t的值.

【分析】（1）用t表示|W+tE|，结合二次函数的性质求解.

（2）利用向量共线的充要条件计算.

【解答】解：（1）・・,短（-3,2），记⑵1），

,,a+tb=（2t-3,1+2）

***।a+t^l=7（2t-3）2+（t+2）2=75t2-8t+13(tGR)..........(R分)

18/21

・,•当时，Ia+tbI的最小值为1匹............(5分)

55

(2)7a-tb=(-3-2t,2-t>c=(3,-1>a-tE与共线............(7分)

；・(-3-2t)X(-1)=3(2-1),......................(9分)

・•・t=l......................(1()分)

5

【知识点】两向显的和或差的模的最值

33.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设标二£BC=bCA=c，CM=3cCN="2b>

求：(1)2a+b-3c；

(2)满足a=!nb+nc的实数m，n；

(3)M,N的坐标及向量豕的坐标.

【分析】(1)根据题意，求出向量、、，计算22+石-3《即可；

(2)由向量相等，其坐标对应相等，列出方程组，求出m、n的值：

(3)设出M(X,,y.),N(X2,根据向量相等，求出M、N的坐标，再求向量诬的坐标表

示.

【解答】解：(】)YA(