数学-湖北省襄阳四中2026届高三年级上学期质量检测五

第1页/共1页襄阳四中2026届高三上学期质量检测（五）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（其中i为虚数单位，）．若是纯虚数，则（）A. B. C.1 D.42.已知是函数的导函数，且，则（）A.1 B.2 C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.设随机变量，，，，则（）A. B.C D.5.中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（）A6种 B.12种 C.24种 D.48种6.双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（）A. B. C. D.28.等差数列前n项和为，已知，，则（）A.7 B.8 C.9 D.10二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列关于说法正确的是（）A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B.某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从两点分布C.小赵．小钱．小孙．小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则D.抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，则事件A，独立10.如图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若点在外，，，则下列说法中正确的有（）A. B.C.四边形面积的最大值为 D.四边形面积无最大值11.已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为.点满足，，过点作平面行于和，平面分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（）A.四边形的周长为定值B.四棱锥的体积的最大值为C.当时，平面截球所得截面的周长为D.当时，将正四体绕旋转后与原四面体的公共部分体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.集合，，则集合的子集个数为______．13.已知是单调递减等比数列，其前项和为，若，则___________．14.已知正实数满足，则的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角对边分别为.若.（1）若，求边上的中线的长；（2）若是锐角三角形，求的取值范围.16.在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点.（1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由；（2）请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值；.17.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，拥有强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．（1）求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；（2）当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设表示事件“第n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由．18.设，已知函数.（1）若，判断在区间上的单调性；（2）若，判断的零点个数，并给出证明；（3）若，求正整数a的值.19.由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比.已知椭圆，椭圆与的焦点在同一坐标轴上，且经过点，并与椭圆相似.（1）求椭圆的方程.（2）若直线与椭圆相切，且与椭圆交于两点，求证：的面积是定值.（3）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点（在的上方），直线与椭圆交于两点（S在的上方）.是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

襄阳四中2026届高三上学期质量检测（五）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（其中i为虚数单位，）．若是纯虚数，则（）A. B. C.1 D.4【答案】B【解析】【分析】先利用复数的乘法，写出，再根据纯虚数的概念求参数.详解】，因为是纯虚数，所以.故选：B2.已知是函数的导函数，且，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】求导函数，令即可求解.【详解】由，可得，故，解得.故选：A.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用向量数量积的运算律结合条件求出，再根据向量夹角的计算公式列式求解即得.【详解】由得，又因为，代入解得，由，因为，所以.故选：C.4.设随机变量，，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由正态分布的性质得，由作差法、对数的性质比较大小，即可得.【详解】因为，所以.因为，所以，所以，，所以.故选：A5.中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（）A.6种 B.12种 C.24种 D.48种【答案】C【解析】【分析】根据“特殊元素（位置）优先法”，先安排生行、净行和旦行，再安排其他行即可.【详解】由题意，生行、净行由男生扮演，则从3名男生中选2人，再全排列，有种扮演方式；旦行由女生扮演，则从2名女生中选1人，有种扮演方式；剩下2人有种扮演方式，故共有（种）不同的人物角色扮演方式．故选：C6.双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先设，代入双曲线方程得到，根据四边形是正方形，得到，从而得到，再转化为齐次式求离心率的取值范围即可.【详解】设，在第一象限，由题知：，解得：，由双曲线的对称性可知，正方形的中心为原点，且其顶点关于坐标轴对称，所以，所以，解得.又因为，所以，解得，所以.即双曲线离心率的取值范围是，故选：C7.已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数的图象和性质求出结果.【详解】若关于的方程在上恰有一个实数根，则，即在上恰有一个实数根，因为恰为的最小正周期，且当时，，所以，若，则关于的方程在上有两个实数根，因为，所以，此时，即，解得，所以．故选：A8.等差数列前n项的和为，已知，，则（）A7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】根据等差数列性质可得，，结合题意运算求解即可.【详解】因为数列为等差数列，则，又因为，即，解得或，若，则，不合题意；若，则，解得；综上所述：.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列关于说法正确的是（）A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B.某人射击时命中概率为，此人射击三次命中的次数服从两点分布C.小赵．小钱．小孙．小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则D.抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，则事件A，独立【答案】ACD【解析】【分析】对于A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1；对于B：此人射击三次是三次独立重复试验，命中的次数服从二项分布；对于C：由题意求得，，再由公式，可判断C；对于D：根据事件独立性的定义可判断D.【详解】对于A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，所以出现正面的次数是随机变量，故A正确；对于B：某人射击时命中的概率为，此人射击三次是三次独立重复试验，命中的次数服从二项分布，而不是两点分布，故B不正确；对于C：由题意得，所以，所以，故C正确；对于D：根据事件独立性的定义得出事件A、B是独立的，故D正确.故选：ACD.10.如图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若点在外，，，则下列说法中正确的有（）A. B.C.四边形面积的最大值为 D.四边形面积无最大值【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角求出角判断AB；利用三角形面积公式及余弦定理，借助三角函数性质求解判断CD.【详解】在中，由正弦定理及，得，即，有，而，，解得，而，则有，因此，，AB正确；显然是等边三角形，四边形面积等于，当且仅当，即时取等号，CD错误.故选：AB11.已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为.点满足，，过点作平面行于和，平面分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（）A.四边形的周长为定值B.四棱锥的体积的最大值为C.当时，平面截球所得截面的周长为D.当时，将正四体绕旋转后与原四面体的公共部分体积为【答案】ABD【解析】【分析】将正四面体转化为正方体，利用正方体的性质分析运算，对A：根据面面平行的性质定理结合平行线的性质分析运算；对B：根据锥体体积公式，利用导数求其最值；对C：根据球的性质分析运算；对D：根据正方体分析可得：两个正四面体的公共部分两个全等的正四棱锥组合而成，利用锥体体积公式运算求解.【详解】对于边长为2的正方体，则ABCD为棱长为的正四面体，则球心O即为正方体的中心，连接，设，∵，，则为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，，平面，∴平面平面，对A：如图1，∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，则，即，同理可得：，，，，∴四边形EMGH的周长（定值），A正确；对B：如图1，由A可知：，，，，∵为正方形，则，∴为矩形，根据平行可得：点A到平面的距离，故四棱锥的体积，则，∵，则当时，则，在上单调递增，当时，则，在上单调递减，∴当时，取到最大值，故四棱锥的体积的最大值为，B正确；对C：正四面体ABCD的外接球即为正方体的外接球，其半径，设平面截球O所得截面的圆心为，半径为，时，，平面过外接球球心，平面截球所得截面圆半径为，截面圆周长为，C错误；对D：如图2，将正四面体ABCD绕EF旋转后得到正四面体，设，∵，则分别为各面的中心，∴两个正四面体的公共部分为，为两个全等的正四棱锥组合而成，根据正方体可得：，正四棱锥的高为，故公共部分的体积，D正确；故选：BD.【点睛】思路点睛：对于正四面体的相关问题时，我们常转化为正方体，利用正方体的性质处理相关问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.集合，，则集合的子集个数为______．【答案】4【解析】【分析】解方程组，根据方程组的解的个数可得中元素的个数，即可得解.【详解】解：联立，解得或，所以集合中有2个元素，所以集合的子集个数为个.

故答案为：4.13.已知是单调递减的等比数列，其前项和为，若，则___________．【答案】【解析】【分析】根据等比数列性质和韦达定理从而求得，则求出，再求出，最后利用等比数列的前项和的公式求出．【详解】是单调递减的等比数列，，，，是方程的两个根．，，，，，．故答案为：.14.已知正实数满足，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】先将等式变形，构造函数，利用函数单调性得到，对变形后使用基本不等式求解最小值.【详解】变形为，则，即，令，则恒成立，则，单调递增，又，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2.故选：A四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为.若.（1）若，求边上的中线的长；（2）若是锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由条件结合正弦定理得，结合题意得的三边长，求得，在中利用余弦定理求出；（2）由题意知：且．要使是锐角三角形，只要．由解得，由余弦定理得的表达式，进而可得的取值范围.【小问1详解】在中，由于，所以，结合题意得，即故的三边长分别为，所以，在中，，故．【小问2详解】由题意知：且．要使是锐角三角形，只要．故，解得：，又，由，得，所以，故的取值范围是16.在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点.（1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由；（2）请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值；.【答案】（1）存在，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意根据条件推出平面平面，再根据面面平行的判定定理证明结论.（2）若选，在中，利用，求出，取中点，连接，从而证明，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，再利用法向量求二面角即可.若选，由，求出，取中点，连接，从而证明，仿照选的方法可求二面角.【小问1详解】在直线上存在一点，使得平面平面，理由如下：连接交于点，连接，取的中点，连接，又平面,平面，平面平面，故,O为的中点，点为中点，则，，故四边形为平行四边形，则，平面，平面，故平面；又点为中点，为的中点，故,平面，平面，故平面，平面，故平面平面，【小问2详解】选择，四边形为菱形，,则为正三角形，，故在中，，由余弦定理知，取中点，连接，在中，，则，所以，因为是正三角形，所以，因为平面，所以平面，平面，又平面，故平面，以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,则，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，,设平面的法向量为，则，即，令，得平面的法向量，故，由于平面与平面所成二面角为，则，所以平面与平面所成二面角的正弦值为；若选：由（1）可知，，取中点，连接，在中，，则，所以，因为是正三角形，所以，又平面，则平面，平面，故；因为是正三角形，所以，因为平面，所以平面，以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,则，设平面法向量为，则，即，令，则，故，,设平面的法向量为，则，即，令，得平面的法向量，故，由于平面与平面所成二面角为，则，所以平面与平面所成二面角的正弦值为；17.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，拥有强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．（1）求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；（2）当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设表示事件“第n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）可以；理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由条件可得的可能取值为，然后分别求出其所对应的概率，即可得到分布列.（2）根据题意，由条件可得是以为首项，为公比的等比数列，然后结合等比数列的通项公式即可得到结果.【小问1详解】设计算机4次生成的数字之和为，则，则，，的可能取值为，则，，，所以的分布列为123【小问2详解】设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，由全概率公式可知则，，即，，且，所以是以为首项，为公比的等比数列，则，所以恒成立，所以该企业具有一定的智能化管理水平，能拿到奖金.18.设，已知函数.（1）若，判断在区间上的单调性；（2）若，判断的零点个数，并给出证明；（3）若，求正整数a的值.【答案】（1）在区间上单调递增．（2）有且仅有1个零点，证明见解析（3）1【解析】【分析】（1）先求出导函数，然后结合指数函数的单调性及余弦函数的最值判断，即可得解.（2）求出的导函数，按照和，分别研究函数的单调性，结合零点存在性定理判断零点个数.（3）设，分，，三种情况讨论，利用导数法研究其单调性求出其最值即可判断成立.【小问1详解】，则，所以.当时，，，所以在区间上单调递增．【小问2详解】，则，，当时，，故在上单调递增．又，故在上存在唯一零点．当时，恒成立．综上，若有且仅有1个零点．【小问3详解】设，①若，令，令，解得．当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，即．同理，令，令，解得．当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以，，即．，所以满足题意．②若，令，则，记，由得故在上单调递增，又，所以，时，在上单调递增．又，所以，所以不合题意．③若，当，又，所以，所以不合题意．综上，正整数a的值为1．【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.19.由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该