贵州省黔东南州天柱二中2026届高二数学第一学期期末质量检测试题含解析

贵州省黔东南州天柱二中2026届高二数学第一学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，在上随机任取一个数，则的概率为（）A. B.C. D.2．五行学说是中华民族创造的哲学思想.古代先民认为，天下万物皆由五种元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在如图所示的相生相克关系.若从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，则这两种元素恰是相生关系的概率是（）A. B.C. D.3．设集合，集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（）A.或 B.或C. D.5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A.63.6万元 B.65.5万元C.67.7万元 D.72.0万元6．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（）A. B.C. D.17．方程所表示的曲线为（）A.射线 B.直线C.射线或直线 D.无法确定8．某市统计局网站公布了2017年至2020年该市政府部门网站的每年的两项访问量，数据如下：年度项目2017年2018年2019年2020年独立用户访问总量（单位：个）2512573924400060989网站总访问量（单位：次）23435370348194783219288下列表述中错误的是（）A.2017年至2018年，两项访问量都增长幅度较大；B.2018年至2019年，两项访问量都有所回落；C.2019年至2020年，两项访问量都又有所增长；D.从数据可以看出，该市政府部门网站的两项访问量都呈逐年增长态势9．复数，则对应的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于A. B.C. D.11．已知双曲线，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.12．对任意实数k，直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相离 D.与k有关二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则函数在上的最大值为_______14．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____15．设，，，则动点P的轨迹方程为______，P到坐标原点的距离的最小值为______16．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示双曲线.若为真，则实数的取值范围为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆，点.（1）若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；（2）若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.18．（12分）已知甲组数据的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分(仅一位小数)为叶，例如第一个数据为5.3（1）求：甲组数据的平均值、方差、中位数；（2）乙组数据为，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值为，方差为，求：乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算步骤.参考公式：平均值，方差19．（12分）如图①，在梯形PABC中，，与均为等腰直角三角形，，，D，E分别为PA，PC的中点.将沿DE折起，使点P到点的位置（如图②），G为线段的中点.在图②中解决以下两个问题.（1）求证：平面平面；（2）若二面角为120°时，求CG与平面所成角的正弦值.20．（12分）如图1，在△MBC中，，A，D分别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如图2，连结PB，PC，BD（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x经过点A（1，2），直线l：y=kx+b与抛物线C交于M，N两点.（1）若，求直线l的方程；（2）当AM⊥AN时，若对任意满足条件的实数k，都有b=mk+n（m，n为常数），求m+2n的值.22．（10分）如图所示，在正方体中，点，，分别是，，的中点（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的大小

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先解不等式，然后由区间长度比可得.【详解】解不等式，得，所以，即的概率为.故选：A2、C【解析】先计算从金、木、水、火、土五种元素中任取两种的所有基本事件数，再计算其中两种元素恰是相生关系的基本事件数，利用古典概型概率公式，即得解【详解】由题意，从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10个基本事件，其中两种元素恰是相生关系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5个基本事件，所以所求概率.故选：C3、A【解析】解不等式求集合，然后判断两个集合的关系【详解】，解得，故，可化为或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要条件故选：A4、B【解析】根据，确定二次函数的图象开口方向，再由二次方程的两根为2，，写出不等式的解集.【详解】因为二次方程的两根为2，，又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集为或，故选：B5、B【解析】，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5考点：线性回归方程6、B【解析】直接由点面距离的向量公式就可求出【详解】∵，∴，又平面的一个法向量为，∴点A到平面的距离为故选：B7、C【解析】将方程化为或，由此可得所求曲线.【详解】由得：或，即或，方程所表示的曲线为射线或直线.故选：C.8、D【解析】根据表格数据，结合各选项的描述判断正误即可.【详解】A：2017年至2018年，两项访问量分别增长、，显然增长幅度相较于后两年是最大的，正确；B：2018年至2019年，两项访问量相较于2017年至2018年都有回落，正确；C：2019年至2020年，两项访问量分别增长、，正确；D：由B分析知，该市政府部门网站的两项访问量在2018年至2019年有回落，而不是逐年增长态势，错误.故选：D.9、C【解析】化简复数，根据复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数，所以复数对应的点为位于第三象限.故选：C.10、C【解析】过作，连接，由于，故平面，所以所求直线与平面所成的角为，设棱长为，则，故，.点睛：本题主要考查空间立体几何直线与平面的位置关系，考查直线与平面所成的角，考查线面垂直的证明方法和常见几何体的结构特征.由于题目所给几何体为直三棱柱，故侧棱和底面垂直，这是一个重要的隐含条件，通过作交线的垂线，即可得到高，由此作出二面角的平面角.11、D【解析】由双曲线的方程及双曲线的离心率即可求解.【详解】解：因为双曲线，所以，所以双曲线的离心率，故选：D.12、A【解析】判断直线恒过定点，可知定点在圆内，即可判断直线与圆的位置关系.【详解】由可知，即该圆的圆心坐标为，半径为,由可知，则该直线恒过定点，将点代入圆的方程可得，则点在圆内，则直线与圆的位置关系为相交.故选：.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用导数单调性求出的单调性，比较极小值与两端点，的大小求出在上的最大值.【详解】因为，则，令，即时，函数单调递增.令，即时，函数单调递减.所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值也是函数的最小值.，两端点为，，即最大值为.故答案为：.14、【解析】根据已知条件求得，由此求得实轴长.【详解】由于，双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线与轴夹角小于，由得，实轴长故答案为：15、①.②.l【解析】根据双曲线的定义得到动点的轨迹方程，从而求出到坐标原点的距离的最小值；【详解】解：因为，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．因为，，所以，，，所以动点P的轨迹方程为故P到坐标原点的距离的最小值为故答案为：；；16、【解析】既然为真，那么就是为真，即p是假，并且q是真，根据椭圆和双曲线的定义即可解出。【详解】∵为真，∴p为假，q为真；考虑p为真的情况：解得……①；由于p为假，∴或；由于q为真，∴，即……②；由①和②得：；故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）【解析】（1）设圆心，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出圆的方程；（2）分析可知直线、的斜率存在，设过点且斜率存在的直线的方程为，即，利用勾股定理可得出，可知直线、的斜率、是关于的二次方程的两根，求出、的坐标，结合韦达定理可求得的值.【小问1详解】解：设圆心，圆的圆心为，由题意可得，解得或，因此，圆的方程为或.【小问2详解】解：若过点的直线斜率不存在，则该直线的方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意.设过点且斜率存在的直线的方程为，即，由题意可得，整理可得，设直线、的斜率分别为、，则、为关于的二次方程的两根，，由韦达定理可得，，在直线的方程中，令，可得，即点在直线的方程中，令，可得，即点，所以，，解得.18、（1），，；（2），.【解析】（1）根据茎叶图求平均值，再由方差与均值的关系求，将茎叶图中的数据从小到大排列确定中位数M.（2）由甲乙平均数及（1）的结果列方程求乙组数据的平均值，再由方差与均值的关系列方程组求出，进而求方差.【小问1详解】，∴，由茎叶图知：数据从小到大排列为∴.【小问2详解】由题意，，又，因此.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过两个线面平行即可证明面面平行（2）以为坐标原点建立直角坐标系，通过空间向量的方法计算线面角的正弦值【小问1详解】如上图所示，在中，因为D，E分别为PA，PC的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，连接，交于点，连接，因为与均为等腰直角三角形，，所以，，所以，且，则四边形是平行四边形，所以是中点，且G为线段的中点，所以中，，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面【小问2详解】因为，平面，，所以平面，所以可以以为坐标原点，建立如上图所示的直角坐标系，此时，，，，因为G为线段的中点，所以，所以，，，设平面的法向量为，则有，即，得其中一个法向量，，所以CG与平面所成角的正弦值为20、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)推导出，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明；(2)以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线DE与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由题意知，因为点A、D分别为MB、MC中点，所以，又，所以，所以.因为，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】因为，，，所以两两垂直，以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，设直线DE与平面所成角为，则，所以直线DE与平面所成角的正弦值为.21、（1）（2）3或【解析】（1）由可得，则可得直线为，设，然后将直线方程代入抛物线方程中消去，再利用根与系数的关系，由可得，三个式子结合可求出，从而可得直线方程，（2）将直线方程代入抛物线方程中消去，再利用根与系数的关系表示出，再结合直线方程表示出，由AM⊥AN可得，化简结合前面的式子可求出或，从而可可求出的值，进而可求得答案【小问1详解】因为A（1，2），，所以，则直线为，设，由，得，由，得则，因为，所以，所以，所以，所以，解得，所以直线的方程为，即，【小问2详解】设，由，得，由，得，则，所以，，因为AM⊥AN，所以，所以