湖北省罗田县一中2026届数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析

湖北省罗田县一中2026届数学高二上期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（）A. B.C. D.2．均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（）A. B.C. D.3．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.4．等轴双曲线渐近线是（）A. B.C. D.5．设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A. B.C. D.6．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为，若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A.或 B.或C.或 D.或7．直线：和圆的位置关系是（）A.相离 B.相切或相交C.相交 D.相切8．设函数，若的整数有且仅有两个，则的取值范围是（）A. B.C. D.9．若倾斜角为的直线过，两点，则实数（）A. B.C. D.10．已知等差数列，，则公差d等于（）A. B.C.3 D.-311．设函数是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立.则不等式的解集为（）A. B.C. D.12．命题“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在等比数列中，，则______14．过点，且垂直于的直线方程为_______________.15．设是定义在上的可导函数，且满足，则不等式解集为_______16．已知函数集合，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，（1）若，为真命题，为假命题，求实数x的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围18．（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）设的两个极值点分别为，证明：19．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，分别为，的中点（1）证明：平面；（2）证明：平面21．（12分）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）若直线和曲线C相交于E，F两点，求.22．（10分）在中，，，请再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，然后解答下列问题.（1）求角的大小；（2）求的面积.条件①：；条件②：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】依题意有，解得，所以.考点：等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算2、C【解析】设单位圆上一点为，经过题设变换后坐标为，则，代入圆的方程即可得曲线方程.【详解】由题设，单位圆上一点坐标为，经过横向均匀压缩至原来的一半，纵向均匀压缩至原来的，得到对应坐标为，∴，则，故中，可得：.故选：C.3、D【解析】根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围.【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：，故选：D4、A【解析】对等轴双曲线的焦点的位置进行分类讨论，可得出等轴双曲线的渐近线方程.【详解】因为，若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为；若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为.综上所述，等轴双曲线的渐近线方程为.故选：A.5、B【解析】先设，根据P在椭圆上得到，由，得到的范围，即为离心率的范围.【详解】由椭圆的方程可得，，设，由，则，即，由P在椭圆上可得，所以，代入可得所以，因为，所以整理可得：，消去得：所以，即所以.故选：B6、B【解析】根据题意列出的关系式，即可求得，再分焦点在轴与轴两种情况写出标准方程.【详解】根据题意，可得，所以椭圆的标准方程为或.故选：B7、C【解析】直线l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上，直线的斜率存在，故可知直线l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆C：x2+y2﹣2y＝0的关系【详解】圆C：x2+y2﹣2y＝0可化为x2+（y﹣1）2＝1∴圆心为（0，1），半径为1∵直线l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上且直线的斜率存在∴直线l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆C：x2+y2﹣2y＝0的关系是相交，故选C【点睛】本题考查的重点是直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线恒过定点，此题易误选B，忽视直线的斜率存在8、D【解析】等价于，令，，利用导数研究函数的单调性，作出的简图，数形结合只需满足即可.【详解】，即，又，则.令，，，当时，，时，，时，，在单调递减，在单调递增，且，且，，作出函数图象如图所示，若的整数有且仅有两个，即只需满足，即，解得：故选：D9、C【解析】根据直线的倾斜角和斜率的关系得到直线的斜率为，再根据两点的斜率公式计算可得；【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；故选：C10、B【解析】根据题意，利用公式，即可求解.【详解】由题意，等差数列，，可得等差数列的公差.故选：B.11、B【解析】根据当时，可知在上单调递减，结合可确定在上的解集；根据奇偶性可确定在上的解集；由此可确定结果.【详解】，当时，，在上单调递减，，，在上的解集为，即在上的解集为；又为上的奇函数，，为上的偶函数，在上的解集为，即在上的解集为；当时，，不合题意；综上所述：的解集为.故选：.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，确定所构造函数的单调性和奇偶性，进而根据零点确定不等式的解集.12、D【解析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可【详解】命题“，”的否定是：，，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用等比数列性质和通项公式可求得，根据可求得结果.【详解】，又，，.故答案为：.14、【解析】求出，可得垂直于的直线的斜率为，再利用点斜式可得结果.【详解】因为，所以，所以垂直于的直线的斜率为，垂直于的直线方程为，化为，故答案为.【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.15、【解析】构造函数，结合题意求得，由此判断出在上递增，由此求解出不等式的解集.【详解】令，，故函数在上单调递增，不等式可化为，则，解得：【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16、32【解析】作出的图像，由时，不等式成立，所以，判断出符合条件的非零整数根只有三个，即等价于时，；时，；利用数形结合，进行求解.【详解】作出的图像如图所示：因为时，不等式成立，所以，符合条件的非零整数根只有三个.由可得：时，；时，；所以在y轴左侧，的图像都在的下方；在y轴右侧，的图像都在的上方；而，，，，.平移直线，由图像可知：当时，集合A中除了0只含有1，2，3，符合题意，此时整数a可以取：-23，-22，-21……-9.一共15个；当时，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合题意.当时，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合题意，此时整数a可以取：5，6，7……20一共16个.所以整数a的值一共有15+1+16=32（个）.故答案为：32【点睛】分离参数法求零点个数的问题是转化为，分别做出和的图像，观察交点的个数即为零点的个数．用数形结合法解决零点问题常有以下几种类型：(1)零点个数：几个零点；(2)几个零点的和；(3)几个零点的积.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】(1)化简命题p，将m=3代入求出命题q，再根据或、且连接的命题真假确定p，q真假即可得解；(2)由给定条件可得p是q的必要不充分条件，再列式计算作答.【详解】(1)依题意，：，当时，：，因为真命题，为假命题，则与一真一假，当真假时，即且或，无解，当假真时，即或且，解得或，综上得：或，所以实数x的取值范围是；(2)因是的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件，于是得，解得，所以实数m的取值范围是18、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)对函数求导，把问题转化为导函数值为0的方程有两个正根，再构造函数求解作答.(2)将所证不等式等价转化，构造函数，利用导数探讨其单调性作答.【小问1详解】函数的定义域为，求导得：，依题意，函数在上有两个不同极值点，于是得有两个不等的正根，令，，则，当时，，当时，，于是得在上单调递增，在上单调递减，，因，恒成立，即当时，的值从递减到0(不能取0)，又，有两个不等的正根等价于直线与函数的图象有两个不同的公共点，如图，因此有，所以a取值范围是.【小问2详解】由(1)知分别是方程的两个不等的正根，，即，作差得，则有，原不等式，令，则，于是得，设，则，因此，在单调递增，则有，即成立，所以.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.19、（1）证明见解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.【详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，则，所以，，，，由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，所以，因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.【点睛】思路点睛：二面角大小求解时要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取中点，结合三角形中位线性质可证得四边形为平行四边形，由此得到，由线面平行判定定理可证得结论；（2）利用菱形特点和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直的判定定理可证得结论.【详解】（1）取中点，连接，分别为中点，，四边形为菱形，为中点，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）连接，四边形为菱形，，为等边三角形，又为中点，，平面，平面，，又平面，，平面.21、（1），曲线是一个双曲线，除去左右顶点（2）【解析】（1）设，则的斜率分别为，，根据题意列出方程，化简后即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.【