2026年高等数学信息论基础练习试题冲刺卷

2026年高等数学信息论基础练习试题冲刺卷考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：2026年高等数学信息论基础练习试题冲刺卷考核对象：高等院校理工科专业学生（中等级别）题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.信息熵是衡量信息不确定性的绝对指标，其值随消息长度的增加而单调递减。2.熵率失真理论中的率失真函数R(D)是唯一存在的，且满足D≤H(X)。3.无失真信源编码定理表明，只要码率大于信源熵，任何有噪信道都能实现无失真传输。4.二进制对称信道（BSC）的信道容量为1-H(p)，其中p为错误概率。5.联合熵H(X,Y)满足不等式H(X,Y)≤H(X)+H(Y)，且等号成立当且仅当X和Y独立。6.熵压缩编码（如Lempel-Ziv算法）本质上是一种无损数据压缩方法。7.互信息I(X;Y)可以表示为H(X)-H(X|Y)，用于衡量X对Y的预测能力。8.对于离散无记忆信道，信道转移概率矩阵的行和列概率之和均为1。9.熵编码定理指出，任何无失真编码的码长至少为信源熵的比特数。10.率失真优化问题中，最优码率R与失真D之间存在单调递减关系。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个不等式描述了熵的凸性？A.H(X)+H(Y)≥H(X,Y)B.H(X)+H(Y)≤H(X,Y)C.H(X)+H(Y)=H(X,Y)D.H(X)+H(Y)≠H(X,Y)2.对于二进制信源，其熵达到最大值时，消息概率分布为？A.p=0.5B.p=0.1C.p=0.9D.p=13.互信息I(X;Y)等于？A.H(X)+H(Y)B.H(X)-H(X|Y)C.H(Y)-H(Y|X)D.H(X,Y)-H(X)-H(Y)4.无损压缩的理论极限是？A.熵压缩B.信道编码C.差分编码D.量化编码5.二进制对称信道（BSC）的错误概率p=0.1时，其信道容量最接近？A.0.1B.0.2C.0.8D.16.联合熵H(X,Y)等于？A.H(X)+H(Y)B.H(X)-H(Y)C.H(X,Y)-H(X)-H(Y)D.H(X,Y)+H(X)-H(Y)7.熵率失真函数R(D)的最小值等于？A.H(X)B.H(Y)C.I(X;Y)D.08.下列哪个编码方法属于无损压缩？A.矢量量化B.脉冲编码调制（PCM）C.Lempel-Ziv编码D.差分脉冲编码调制（DPCM）9.对于离散无记忆信道，其信道容量等于？A.max_ilog₂(P(y|x_i))B.max_iP(y|x_i)C.sum_iP(x_i,y_i)log₂(P(x_i,y_i)/P(x_i)P(y_i))D.sum_iP(x_i,y_i)log₂(P(x_i)/P(y_i))10.熵压缩编码的理论极限是？A.码率等于熵B.码率大于熵C.码率小于熵D.码率无关熵三、多选题（每题2分，共20分）1.下列哪些性质属于熵的性质？A.非负性B.凸性C.线性性D.可加性2.互信息I(X;Y)等于？A.H(X)-H(X|Y)B.H(Y)-H(Y|X)C.H(X,Y)-H(X)-H(Y)D.H(X)+H(Y)-H(X,Y)3.下列哪些编码方法属于有损压缩？A.熵编码B.矢量量化C.差分脉冲编码调制（DPCM）D.脉冲编码调制（PCM）4.离散无记忆信道（DMC）的性质包括？A.信道转移概率矩阵的行和列和为1B.信道容量与错误概率无关C.信道输出概率可由输入概率唯一确定D.信道容量等于max_ilog₂(P(y|x_i))5.熵率失真理论中的关键概念包括？A.熵率RB.失真DC.率失真函数R(D)D.信道编码定理6.无损压缩的常见方法包括？A.Lempel-Ziv编码B.霍夫曼编码C.矢量量化D.差分编码7.互信息的性质包括？A.对称性I(X;Y)=I(Y;X)B.非负性I(X;Y)≥0C.可加性I(X;Y)+I(Y;Z)=I(X;Z)D.线性性I(aX+b;Y)=aI(X;Y)8.离散信源的熵H(X)等于？A.sum_xp(x)log₂(1/p(x))B.sum_xp(x)log₂(p(x))C.-sum_xp(x)log₂(p(x))D.max_xp(x)log₂(p(x))9.信道编码定理的内容包括？A.存在编码使得错误概率任意小B.码率必须大于信道容量C.编码长度趋于无穷时，可达任意低错误概率D.信道容量是编码的理论极限10.熵压缩编码的常见算法包括？A.霍夫曼编码B.赖夫曼编码C.Lempel-Ziv编码D.矢量量化四、案例分析（每题6分，共18分）1.问题描述：某离散信源的消息概率分布为P={0.4,0.3,0.2,0.1}，试计算该信源的熵H(X)，并判断是否可以无损压缩。2.问题描述：某二进制对称信道（BSC）的错误概率p=0.2，试计算该信道的信道容量C，并说明如何达到该容量。3.问题描述：已知信源X和信道Y的联合概率分布如下表，试计算互信息I(X;Y)，并说明X和Y是否独立。|X\Y|0|1||-----|-----|-----||0|0.5|0.1||1|0.2|0.2|五、论述题（每题11分，共22分）1.论述题：试论述熵压缩编码的基本原理，并比较霍夫曼编码和Lempel-Ziv编码的优缺点。2.论述题：试论述信道编码定理的内容及其在实际通信中的应用，并说明如何通过编码提高通信可靠性。---标准答案及解析一、判断题1.×（信息熵衡量不确定性，与消息长度无关）2.√3.×（有噪信道需满足码率大于信道容量）4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√二、单选题1.A2.A3.B4.A5.C6.A7.A8.C9.C10.A三、多选题1.A,B,D2.A,B,C,D3.B,C4.A,C,D5.A,B,C,D6.A,B,D7.A,B,C8.A,C9.A,B,C10.A,C四、案例分析1.熵计算：H(X)=-[0.4log₂0.4+0.3log₂0.3+0.2log₂0.2+0.1log₂0.1]=1.846比特/符号由于熵小于2比特/符号，可以无损压缩。2.信道容量：C=1-H(p)=1-0.2log₂0.2=0.822比特/符号达到容量的方法是采用等概率编码（如等长码）。3.互信息计算：I(X;Y)=H(Y)-H(Y|X)H(Y)=0.5log₂0.5+0.5log₂0.5=1比特H(Y|X)=0.4log₂(0.6/0.4)+0.6log₂(0.4/0.6)=0.811比特I(X;Y)=1-0.811=0.189比特由于I(X;Y)>0，X和Y不独立。五、论述题1.熵压缩编码原理：熵压缩利用信源符号的统计冗余性，通过编码减少冗余比特。霍夫曼编码基于符号概率构建最优前缀码